Ecuación de Hamilton-Jacobi

Se han visto en el post anterior de Mecánica Hamiltoniana Avanzada los conceptos de integral de movimiento y función generatriz, con lo que ahora nos encontramos con la disyuntiva de encontrar integrales de movimiento o una función generatriz.  Si la función generatriz fuera excepcionalmente interesante (se obtiene precisamente con la ecuación de Hámilton-Jacobi), tendriamos una línea de trabajo.  La reflexión correspondiente a esta pregunta sería algo parecido a lo que viene a continuación.

  • Por una parte las integrales de movimiento son funciones constantes en el espacio de configuración, lo que permite bajar un orden las ecuaciones diferenciales que hay que resolver.  Se obtendrían las soluciónes para las coordenadas y momentos en función del tiempo más fácilmente.  Es conveniente recordar que no existe un método sistemático para encontrar todas las integrales de movimiento de un modelo.
  • Supongamos que se pudiera encontrar una función generatriz tal que la TC generada devenga en un nuevo hamiltoniano nulo. Aplicando las ecuaciones canónicas de Hamilton llegaríamos a que tanto las nuevas coordenadas como los nuevos momentos serían constantes.  \dot{\mathbf{Q}}=\frac{\partial K}{\partial \mathbf{P}}=0,\quad \dot{\mathbf{P}}=-\frac{\partial K}{\partial \mathbf{Q}}=0  

El mérito de la ecuación de Hamilton-Jacobi es precisamente encontrar esta función generatriz.  Expongo a continuación los fundamentos de esta impresionante construcción teórica.

 

Cómo se llega a la ecuación de Hamilton-Jacobi

Supongamos que existiera una función generatriz de una transformacion canónica (TC) del tipo F_2(q_i,P_i,t) tal que el nuevo hamiltoniano K sea nulo. Según se vio en el post de mecánica hamiltoniana avanzada, en este caso concreto se cumpliría que

p_i=\frac{\partial F_2 }{\partial q_i} Q_i=\frac{\partial F_2 }{\partial P_i} K=H (q_i,p_i,t) + \frac{\partial F_2 (q_i,P_i,t) }{\partial t}=0

Identificamos ahora S=F_2. Sustituyendo se obtiene la famosa ecuación de Hamilton-Jacobi, que es una ecuación en derivadas parciales de S no lineal.

0=H(q_i, \frac{\partial S}{\partial q_i} ,t)+ \frac{\partial S }{\partial t}

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Se puede derivar un caso particular de esta ecuación para la partícula libre sujeta a un potencial, que lo vamos a presentar ya, porque que un poco más adelante servirá para entroncar con la mecánica cuántica de Schrodinger (para H=\frac{p^2}{2m} y p=\frac{\partial S}{\partial q}).

0=\frac{1}{2m}( \nabla S )^2+V+\frac{\partial S }{\partial t}

Ecuación de Hamilton-Jacobi, para la partícula libre en un potencial

Tres años después su publicación, Jacobi demostró que a partir de una solución completa de la ecuación, se pueden obtener las soluciones de las ecuaciones canónicas de Hamilton.  Una solución completa no es la solución general, sino una solución de la forma

S=S(q_i,\alpha_i,t)+\alpha_{i+1}

Siendo las \alpha_i constantes que se identifican con los momentos generalizados en el nuevo sistema de coordenadas, es decir P_i \equiv \alpha_i.

A la función S se le denomina función principal de Hamilton.  Salvo la constante aditiva coincide con la integral de acción (ver el post de mecánica lagrangiana).

Se interpreta entonces la acción como la función generatriz de una transformación canónica que deviene en un hamiltoniano nulo.

En este sentido existen dos visiones de la mecánica diferentes y complementarias

  • La que procede de la interpretación natural de las ecuaciones canónicas de Hamilton, en la que el hamiltoniano es el generador del movimiento (ver el post de mecánica hamiltoniana).
  • La que se deriva de la ecuación de Hamilton-Jacobi, más poética, en la que la acción es un cambio de coordenadas tal que el espacio se distorsiona hasta que el movimiento se detiene (recordemos que en este contexto \dot Q=\dot P=0).  La constante aditiva en la acción significa que no existe un valor de referencia para la misma, sino que el punto de accion 0 podemos ponerlo donde queramos, igual que el punto E=0.

Resolución para coordenadas cíclicas y hamiltonianos independientes del tiempo.

Realmente en la mayoría de las ocasiones se usa la técnica de separación de variables para resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales, que se puede aplicar si las coordenadas son cíclicas o si el hamiltoniano es independiente del tiempo.

Las coordenadas cíclicas aparecen típicamente en escenarios en los que existe un movimiento periódico, bien oscilatorio (como péndulos) o bien giratorio (como en potenciales centrales y problema de Kepler).  Si el hamiltoniano no depende de alguna coordenada concreta q_j (es cíclica), existen soluciones de la forma  S=F(q_0,...,q_{j-1}, q_{j+1},...,q_n,P_i )-\alpha_1 q_j

En este caso se reduce en una el número de variables de la función característica, sobre la que aplica la derivada parcial.

Si el hamiltoniano no depende en concreto del tiempo, entonces éste funciona como una coordenada cíclica, y se puede proponer que S=W(q_i,P_i)-Et

Llamándose a W función característica de Hamliton, de modo que la ecuación de Hamilton-Jacobi queda algo más simple: H(q_i,\frac{\partial W(q_i,P_i)}{\partial{q_i}})=E

Ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo

Ejemplo para el tiro parabólico

Para un cuerpo en caída libre en un campo gravitatorio constante, se obtiene un hamiltoniano independiente del tiempo.  Tomamos del post de mecánica hamiltoniana :

Newton Tiro Parabolico
H=\frac{p_x^2}{2m}+ \frac{p_y^2}{2m}+mgy

Para este hamiltoniano hay que encontrar la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo.  Sustituyendo

p_x=\frac{\partial S}{\partial x}, \quad  p_y=\frac{\partial S}{\partial y}

y proponiendo esta separacion de variables

S(q_i)=W_x(x)+W_y(y)-\underbrace{(\alpha_1+\alpha_2)}_{E}t

se obtiene la famosa ecuación buscada

E=\frac{1}{2m}\left({\frac{\partial W_x(x)}{\partial x}}\right)^2+ \frac{1}{2m}\left({\frac{\partial W_y(y)}{\partial y}}\right)^2+mgy

[Ecuación 1]

Para resolver la ecuación 1, hay que tener en cuenta que si la energía es constante, deberán serlo cada uno de los sumandos por separado, lo que nos lleva a un par de ecuaciones más tratables

\alpha_x=\frac{1}{2m}\left({\frac{\partial W_x(x)}{\partial x}}\right)^2, \quad \alpha_y=\frac{1}{2m}\left({\frac{\partial W_y(y)}{\partial y}}\right)^2+mgy

Es claro que \alpha_x y \alpha_x tienen dimensiones de Energía.  Por otra parte según la demostración de Jacobi, se deben identificar las constantes \alpha_i con los momentos generalizados en el nuevo sistema de coordenadas.  Puede parecer sorprendente que un momento generalizado tenga dimensiones de energía recordando los típicos momentos lineales y angulares.  Sin embargo no hay que olvidar que en general P_i \equiv P_i(q_i,p_i,t) con lo que la teoría no ofrece ninguna garantía sobre cuales deben ser las dimensiones de P_i.

Es mas, usando la intuición se puede entrever que si la transformación de coordenadas que supone S debe abocar a un sistema de momentos constantes (hamiltoniano nulo), ¡la energía es un buen candidato ya que es constante si el hamiltoniano no depende del tiempo!

Volviendo a las soluciones de las ecuaciones de arriba que son

W_x=\sqrt{2m\alpha_1}x, \quad W_y=\sqrt{\frac{8}{9mg^2}}(\alpha_2-mgy)^{\frac{3}{2}}

Y recordando la separación de variables propuesta para la función característica W, se obtiene la función principal de Hamilton

S(q_i)=\sqrt{2m\alpha_1}x+\sqrt{\frac{8}{9mg^2}}(\alpha_2-mgy)^{\frac{3}{2}}-\underbrace{(\alpha_1+\alpha_2)}_{E}t

Ahora recordando las propiedades de la función generatriz de tipo F_2(q_i,P_i,t) citadas al principio de la página, tenemos que las nuevas coordenadas generalizadas son

\beta_1=\frac{\partial S}{\partial \alpha_1}=\sqrt{\frac{m}{2\alpha_1}x}-t, \quad \beta_2=\frac{\partial S}{\partial \alpha_2}=\sqrt{\frac{2(\alpha_2-mgy)}{mg^2}}-t

Ecuaciones de transformación de coordenadas

Si se imaginara un extraño mundo en el que las coordenadas fueran \beta_i y los momentos fueran \alpha_i, en este mundo el movimiento estaría detenido.  La transformación vendría dada por las ecuaciones de arriba.  En todo caso en nuestro mundo el movimiento lo describimos dando la vuelta a las ecuaciones de transformación como

x=\sqrt{\frac{2\alpha_1}{m}}(\beta_1+t), \quad y=\frac{\alpha_2}{mg}-\frac{(\beta_2-t)^2g}{2}

Que se asimilan tras una mínima inspección a las conocidas

x=x_o+v_{x_o}t, \quad y=y_o+v_{y_o}t+a_{y_o}t^2

El puente hacia la mecánica cuántica

Una buena parte del interés de la ecuación de Hamilton-Jacobi, es que resulta ser el límite clásico de la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo, y levanta un puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Este límite se encuentra cuando h \to 0. Se interpreta de forma que si el cuanto de acción tiende a 0 porque el universo es contínuo, entonces la mecánica cuántica se convierte en clásica.

Merece la pena realizar uno mismo los cálculos al menos una vez en la vida. Se trata de tomar la solución de onda plana libre de la ecuación de Schrodinger que vincula la función de onda \psi con la acción S y sustituirla en la propia ecuación de Schrodinger. El resultado es directamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para la partícula libre que se ha mostrado antes como caso particular de la ecuación general de Hamilton-Jacobi. Vayamos con ello, detallando algo más de lo habitual el cálculo, porque es bonito.

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec r,t) = -\frac{h^2}{2m}\nabla^2 \psi( \vec r,t)+V \psi( \vec r,t)

Ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo

\psi(\vec r,t) = e^{iS(\vec r,t)/\hbar}

Solución de onda plana(normalizada) de la ec. de Schrodinger

Se van calculando los sumandos (por claridad en la notación se van a ignorar las variables de \psi)

\frac{\partial \psi }{\partial t} =\frac{i}{\hbar} \frac{\partial S}{\partial t} e^{iS/\hbar} = \frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t} \psi \nabla \psi=\frac{i}{\hbar}\nabla S\psi \nabla^2 \psi=\nabla (\frac{i}{\hbar}\nabla S\psi)= \frac{i}{\hbar} (\nabla^2S\psi+\nabla S\nabla\psi) = \frac{i}{\hbar} \nabla^2 S \psi +\left( \frac{i}{\hbar} \nabla S\right)^2 \psi

Ahora sustituyendo en la ecuación de Schrodinger

i\hbar\left( \frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t} \psi \right)= -\frac{h^2}{2m} \left[ \frac{i}{\hbar} \nabla^2 S \psi +\left( \frac{i}{\hbar} \nabla S\right)^2 \psi \right] + V \psi -\frac{\partial S}{\partial t}=-\frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 S + \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V\psi

Que como se ha comentado para el límite clásico h \to 0, es el caso particular de la ecuación de Hamilton-Jacobi para la partícula libre en un potencial.

-\frac{\partial S}{\partial t}= \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 +V\psi

tendiendo un bello puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. El mundo cuántico aparece retratado así en el valor de la constante de Planck h \approx 6,6.10^{-34} J x seg, que a nuestra escala humana (sistema internacional) es ligerísimamente distinto de 0, dotándola de un significado natural muy profundo .

Y por el momento esto es todo en relación con la ecuación de Hamilton-Jacobi. Como siempre cualquier comentario, duda o sugerencia son bienvenidos.


NOTA:  En todo el texto se ha escrito incorrectamente Schrodinger en lugar de Schrödinger.  No se ha usado el carácter ö por motivos de SEO.

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