Electromagnetismo 1, Electrostática

Este es el primero de una serie de cuatro artículos sobre electromagnetismo:

  • Electromagnetismo 1: Electrostática
  • Electromagnetismo 2: Magnetostática
  • Electromagnetismo 3: Ecuaciones de Maxwell (en construcción)
  • Electromagnetismo 4: Formulación relativista (en construcción)

ELECTROSTÁTICA

Las interacciones fundamentales

Los objetos del mundo que conocemos como las estrellas, los gases, las rocas, los átomos y en general todo lo que existe, interactúan entre sí de modo que podemos resumir las causas y efectos en cuatro tipos básicos de interacción

  • Gravitatoria, que se produce por la deformación del espacio-tiempo que se origina en las regiones del universo en las que hay energía.
  • Electromagnética, que se produce entre cargas eléctricas. En concreto los cinco sentidos están basados en interacciones de carácter electromagnético.
  • Débil, que se da entre partículas del modelo estándar como quarks, electrones y neutrinos, y que produce efectos como la emisión espontánea de electrones por parte de algunos átomos radioactivos.
  • Fuerte, que sucede entre los constituyentes de los núcleos atómicos, y que permite que existan los núcleos de los átomos a pesar de concentrarse cargas positivas (repulsivas) de los protones en ellos.

La experiencia humana es gravitatoria y electromagnética. Las interacciones débil y fuerte no las percibimos directamente sino a través de aparatos diseñados con este fin. Este artículo trata de sobre la interacción electromagnética cuando las cargas no se mueven: La electrostática.

La ley de Coulomb

La ley de Coulomb es la ley básica de la electrostática. Supongamos que tenemos un par de cargas estáticas.  La fuerza que las une o separa es directamente proporcional a las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.  Las cargas de igual signo se repelen y las de distinto signo se atraen.  En la fórmula \vec \mathbf u_{12} es el vector unitario en dirección q_2 \to q_1, y \vec \mathbf F_1 la fuerza percibida por la carga q_2, producida por la carga q_1

Electrostática ley de Coulomb
ElecgroElectrostática, ley de Coulomb
\vec \mathbf F_1=-\vec \mathbf F_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{q_1q_2}{r^2_{12}}\vec \mathbf u_{12}

La constante de proporcionalidad para adaptar la ecuación al sistema internacional es

\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}=10^{-7}c^2=9.10^9 \frac{N.m^2}{C^2}

Tiene la cómoda virtud de que si tenemos más de una carga actuando sobre una tercera, los efectos se suman vectorialmente. Esta característica se denomina principio de superposición. Permite definir el campo eléctrico como la suma de los efectos de fuerza creados por todas las cargas del universo sobre la carga en estudio, tal que

\vec \mathbf E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \displaystyle\sum_{i} \frac{q_i}{r^2_{1i}}\vec \mathbf u_{1i} \vec \mathbf F_1=q_1 \vec \mathbf E

a la vista de la ecuación superior, las unidades del campo eléctrico en el S.I. serán Newton/Coulombio.

Pero ¿El campo existe?

El campo es un objeto matemático que sirve para caracterizar alguna propiedad asociada a cada punto del espacio. El espacio se suele modelizar con una variedad, la más sencilla en general \mathbb R^3. En este caso la propiedad en cada punto es una fuerza que actúa sobre una carga. Asociando el par de vectores eléctrico y magnético a cada punto de la variedad, se describe la fuerza totalmente.

Este modelo matemático es notablemente cómodo porque sobre los vectores \vec \mathbf E y \vec \mathbf B (magnético) se concentran todos los efectos eléctricos y magnéticos de todas las partículas del universo sobre la partícula en estudio. Conociendo el valor de los campos, se evita considerar una infinidad de fuentes de perturbación electromagnética.

Pero ¿que es físicamente un campo? ¿se trata de una entidad físicamente «real»? Para contestar a esta pregunta es necesario salir del electromagnetismo clásico, que no responde a esta pregunta, y tomar conceptos de relatividad general y cuántica.

  • Desde el punto de vista de la relatividad general, cualquier región del espacio-tiempo que contenga energía produce una curvatura del espacio-tiempo. Esta curvatura es medible, y se propaga a la velocidad c (ondas gravitatorias detectadas en el 2015, postuladas por Einstein a principios del siglo XX). Se verá más adelante cómo el campo electromagnético contiene energía y por tanto produce curvatura del espacio-tiempo.
  • Por otra parte, la versión cuántica de la interacción electromagnética, la electrodinámica cuántica, describe las partículas mediadoras de la fuerza electromagnética en la región ocupada por el campo, que son los fotones. La teoría electrodinámica es una de las teorías más precisas de toda la física, y además describe procesos de aniquilación electrón-positrón que no son explicables según la teoría electromagnética clásica.

La suma de los puntos de vista relativista y cuántico modernos sugieren fuertemente que el campo electromagnético es físicamente real. En su región, el espacio-tiempo está perturbado con curvatura y partículas específicas. Al contrario que para el electromagnetismo clásico, para el que la acción entre cargas a distancia no involucra ningún tipo de mediador ni perturbación del espacio ocupado.

Ley de Gauss

La ley de Coulomb conduce a la forma de encontrar la fuerza sobre una carga conociendo el campo. La ley de Gauss proporciona información para poder calcular el campo teniendo en cuenta no solo cargas puntuales, sino una distribución de carga q, que deberá estar descrita por la densidad de carga \rho (carga por unidad de volumen, encerrada por una superficie S). La integral de superficie de la componente normal a la superficie del campo \vec \mathbf E debe ser

\oint_{S} \vec \mathbf E\cdot d\vec s=\frac {q}{\epsilon_0}

Sorprende que no depende de la distribución de las cargas sino de la cantidad total de carga encerrada por la superficie. Por otra parte aplicando el teorema de Stokes a la ecuación de arriba, y después tomando un elemento diferencial de volumen, se obtiene que la divergencia de \vec \mathbf E es igual

\nabla \cdot \vec \mathbf E=\frac {\rho}{\epsilon_0}

que es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss.

Potencial electrostático

El concepto de potencial electrostático surge cuando se demuestra que el trabajo para llevar una carga de un punto a otro dentro de un campo eléctrico no depende de la trayectoria seguida, sino únicamente de la posición inicial y final. De este modo se asocia una cantidad con unidades de energía a cada punto del campo denominada potencial electrostático \phi. Matemáticamente será una función escalar asociada a cada punto del espacio (campo escalar).

Sea el trabajo para llevar una carga del punto a al punto b

W=-\int^a_b \vec \mathbf F \cdot d\vec \mathbf s=-q \int^a_b \vec \mathbf E \cdot d\vec \mathbf s

Si este trabajo dependiera de la trayectoria podría obtenerse energía de la nada moviendo una carga del punto a al punto b y viceversa. Si se considera el principio de conservación de la energía en este contexto, se deduce inmediatamente que el trabajo no puede depender de la trayectoria con lo que debe ser una función exclusiva de la posición, del tipo

-\int^a_b \vec \mathbf E \cdot d\vec \mathbf s=\phi(b) -\phi(a)

y en concreto tomando como valor del potencial en el infinito \phi(\infty)=0 y para un punto a una distancia r de una carga estática, empleando la ley de Coulomb e integrando se llega a

\phi(a)=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac {1}{r}

Al igual que para el campo eléctrico existe el principio de superposición de los potenciales producidos por un conjunto de cargas. Naturalmente para diferentes distribuciones de cargas la función potencial electrostático será más complicada. Sin embargo por el principio de superposición se puede garantizar que

  • Si una carga se mueve entre dos puntos, el trabajo realizado no dependerá de la trayectoria
  • Si una carga se mueve por una superficie equipotencial, el trabajo empleado será nulo

Además se dispone del notable resultado \vec \mathbf E=-\nabla \phi, o sea que el campo eléctrico se puede calcular partiendo del potencial. Este potencial está determinado excepto por una constante que se anula al derivar, lo que permite asignarle un valor conveniente, usualmente 0 a distancia infinita de las cargas, ajustando C en \phi_2=\phi_1+C.

Aparte de su significado físico, en la práctica puede ser más fácil calcular el potencial y derivar (gradiente) que calcular directamente un campo vectorial partiendo de la ley de Gauss.

Campo en el interior de una distribución homogénea de carga

Supongamos una distribución de carga esférica y homogénea, como lo que podría ser una aproximación a la carga dentro del núcleo de un átomo. Calculemos el flujo a través de la superficie esférica interior de radio r

\oint_{S} \vec \mathbf E\cdot d\vec s=E \oint_{S} ds=E4\pi r^2

Por otra parte aplicando directamente el teorema de Stokes a la ecuación de arriba

\oint_{S} \vec \mathbf E\cdot d\vec s=\oint_v \nabla \cdot \vec \mathbf E dv =\oint_v {\rho \over \epsilon_0} dv ={\rho \over \epsilon_0}{4 \over 3}\pi r^3

igualando se llega a que el campo aumenta linealmente desde el centro hasta la superficie.

E=\frac{\rho r}{3 \epsilon_0}

y por motivos de simetría el campo \vec \mathbf E debe ser radial.

Campo en el exterior de una esfera cargada

Supongamos una esfera cargada, aplicando directamente la ley de Gauss sobre una superficie esférica exterior a la carga

\oint_{S} \vec \mathbf E\cdot d\vec s=E \oint_{S} ds=E4\pi r^2=\frac{q}{\epsilon_0}

de donde

E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}

y por motivos de simetría el campo \vec \mathbf E debe ser también radial como en el caso anterior. Este cálculo junto con el anterior permite realizar una aproximación al campo en el núcleo de un átomo así

Electrostática, campo electrostático de una distribución esférica de carga
Electromagnetismo, campo electrostático de una distribución esférica de carga

Campo en el interior de un conductor hueco, jaula de Faraday

En un contexto electrostático en el que las cargas en un conductor hueco han llegado a una situación de equilibrio, se puede demostrar inmediatamente que el campo en el interior es nulo. Efectivamente, en una esfera cualquiera inmersa en el hueco interior en el que no existe material, no hay cargas, con lo que el flujo total del campo debe ser nulo.

\oint_{S} \vec \mathbf E\cdot d\vec s=0

Por la simetría de la esfera el campo \vec \mathbf E no puede ser diferente en puntos diferentes de la misma, por tanto debe ser nulo. Por este motivo un teléfono móvil envuelto en papel de aluminio o dentro de una lata de galletas no puede recibir llamadas, pruébalo!

Electrostática jaula de Faraday
Electrostática En el hueco interior de un conductor cargado, cualquier esfera tiene campo \vec \mathbf E nulo

Atención al hecho de que se están considerando situaciones de equilibrio electrostático. Si en el conductor las cargas están en movimiento, por ejemplo porque están siendo influidas por fuertes campos variables externos, lo anterior no es válido, y el campo en el interior hueco de un conductor no tiene porqué ser nulo.

Energía del campo electrostático

Es posible trabajar un rato con las ecuaciones que se han presentado aquí hasta el momento y llegar al resultado de que el campo \vec \mathbf E lleva una energía por unidad de volumen dada por

u=\frac{\epsilon_0}{2} \mathbf E ^2

demostración que se puede encontrar en cualquier buen libro de electromagnetismo. El interés de esta fórmula es que asocia energía al campo, no a las cargas. De esta forma se puede asignar una energía a una onda viajera que se considera muy lejana a las cargas que la han originado.

El fracaso del electromagnetismo clásico para cargas puntuales

El campo para una carga puntual desde el punto de vista del electromagnetismo clásico, tiene el problema de que cuando r \to 0 el campo \mathbf E \to \infty

\mathbf E=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}

También se pueden intentar aplicar los resultados vistos para calcular la energía del campo creado por una carga puntual. La energía por unidad de volumen a una distancia r de la carga debe ser

u=\frac{\epsilon_0}{2} \mathbf E ^2 = \frac{q^2}{32 \pi^2 \epsilon_0 r^4 }

es claro que cuando r \to 0 la densidad de energía u \to \infty también. La conclusión es que asociar energía al campo es incompatible con la existencia de cargas puntuales. Algunas formas de solventar este incómodo asunto son

  • Asumir la inexactitud del electromagnetismo clásico en las vecindades de las cargas elementales.
  • O bien otra mas arriesgada: Considerar las partículas elementales como distribuciones de carga, pero en ese caso si no son puntuales ¿Que forma tienen y cual es la causa? ¿Entonces son o no son elementales?
  • Todavía mas arriesgada: Anular el principio de conservación de la energía en la vecindad de cargas elementales.

Y aquí dejamos el tema para que cada uno haga su propia reflexión. Por el momento esto es todo en relación con el electromagnetismo y la electrostática, espero que te haya gustado y como siempre, cualquier comentario, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Otras fuentes

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