Electromagnetismo 2, Magnetostática

Este es el segundo de una serie de cuatro artículos sobre electromagnetismo.

• Electromagnetismo 1: Electrostática
• Electromagnetismo 2: Magnetostática
• Electromagnetismo 3: Ecuaciones de Maxwell
• Electromagnetismo 4: Tensor de campo electromagnético

MAGNETOSTÁTICA

Magnetismo como efecto relativista, fuerza de Lorentz

Cuando las cargas eléctricas están en reposo experimentan fuerzas (eléctricas) puramente atractivas o repulsivas. Sin embargo si están en movimiento aparecen otras fuerzas que se superponen a las anteriores, perpendiculares al movimiento, a las que llamamos magnéticas. Desde este punto de vista puede decirse que el campo magnético \vec \mathbf B, es la forma en la que percibimos los efectos relativistas del campo eléctrico \vec \mathbf E, es decir efectos que aparecen con la velocidad.  Por eso se considera que el efecto magnético no puede existir al margen del eléctrico, sino que sólo es un punto de vista del mismo que se percibe gracias al movimiento, motivo por el que se unifican en el concepto de electromagnetismo.

La fuerza que se ejerce sobre una carga tiene por tanto una componente que no depende de su movimiento y otra que sí. La fuerza total o fuerza de Lorentz viene dada por la ecuación vectorial

\vec \mathbf F=q (\vec \mathbf E+\vec \mathbf v \times \vec \mathbf B)

que describe la componente magnética de la fuerza electromagnética entre cargas, como perpendicular a la velocidad de la carga, y que se anula para velocidades nulas.

Ya se vio en el artículo sobre electrostática que las unidades de \vec \mathbf E son Newton/Culombio; igualmente deben serlo las de la parte magnética \vec \mathbf v \times \vec \mathbf B. La unidad de \vec \mathbf B es elTesla cuyas dimensiones deben ser a la vista de la fuerza de Lorentz (Newton/coulombio)(segundos/metro). Para hacerse una idea de cuanto es un Tesla, el campo magnético terrestre varía entre 25 uT y 65uT. El campo magnético en el interior de un motor eléctrico puede valer 1T en el espacio milimétrico entre el rotor y el estator. Para producir el campo magnético de 4T de un equipo de resonancia magnética en un volumen tan importante como para que quepa una persona se emplean superconductores.

Es importante notar que no existen campos magnéticos en sistemas físicos totalmente en reposo. Un campo magnético siempre es consecuencia de la dinámica de las cargas. No obstante el efecto magnético puede ser independiente del tiempo, y éste es el ámbito de aplicación de la magnetostática: Campos magnéticos constantes, que provienen de cargas en movimiento.

Alguno objetará y con razón, sobre el spin de las partículas subatómicas, pero quien esté en condiciones de hacerlo comprenderá que esta sorprendente, interesante y matemáticamente complicada cuestión sale fuera del ámbito de este artículo.

Fuerza sobre una corriente

Vamos a tratar este tema con un poco de detalle, ya que es la base del funcionamiento de los motores eléctricos y de un sinfín de máquinas que nos hacen la vida más fácil. Se ha presentado la fuerza de Lorentz como la fuerza sobre las cargas puntuales, pero nos interesaría tener una fórmula general para las corrientes eléctricas. De este modo podríamos predecir la fuerza sobre un cable y fabricar un motor. Comenzamos con la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico: definiendo en un volumen V, el número de cargas por unidad de volumen N, la fuerza total sobre el conductor sería

\vec \mathbf F=NV q\vec \mathbf v \times \vec \mathbf B

llamando \vec \mathbf j=N q\vec \mathbf v la densidad de corriente (cantidad de carga por unidad de volumen multiplicada por la velocidad), A el area de la base y l la longitud del conductor

\vec \mathbf F=\vec \mathbf j \times \vec \mathbf BV=\vec \mathbf j \times \vec \mathbf BAl \vec \mathbf F=\underbrace{\vec \mathbf I \times \vec \mathbf B}_{fuerza por unidad de longitud} l

Sólo comentar un par de cosas sobre este resultado, que pueden resultar curiosas a primera vista

• La fuerza no depende del signo de la carga.
• La intensidad es un vector. Aunque en una gran cantidad de actividades relacionadas con la resolución de circuitos con conocer su módulo basta, en el caso de que la intensidad aparezca en ecuaciones vectoriales, la dirección y sentido cuentan.

De modo que la fuerza sobre una corriente depende del campo magnético, sin embargo todavía no hemos visto cómo calcularlo, vamos con ello.

Ley de Biot y Savart

Históricamente la primera fórmula que se encontró para calcular el campo magnético es la de Biot y Savart, que es útil en el caso concreto de un alambre por el que circula una intensidad. Al igual que en electrostática existe una ley que permite el cálculo del campo eléctrico a partir de las cargas, la ley de Biot y Savart predice el campo magnético partiendo de las corrientes que lo originan.

\vec \mathbf B= \frac {1}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \int \frac{I \vec \mathbf {dl} \times \vec \mathbf u }{r^2}

siendo \vec \mathbf u el vector de posición (unitario) en la dirección que une el elemento de línea \vec \mathbf {dl} con el punto del espacio en el que se busca \vec \mathbf B, y r la distancia que los separa.

Integrando para la línea del alambre se podrá obtener el campo magnético en el punto de interés.

Ejemplo: Campo magnético en el centro de una espira

Usando la ley de Biot y Savart y partiendo del dibujo se ve que simplemente hay que integrar la longitud de la circunferencia de la espira para obtener el campo magnético en el centro, ya que todos los términos son independientes de \vec \mathbf {dl}.

\vec \mathbf B= \frac {1}{4 \pi \epsilon_0 c^2} \int \frac{I \vec \mathbf {dl} \times \vec \mathbf u }{r^2}=\frac{I}{2 \epsilon_0 r}

Ecuaciones de la magnetostática

Posteriormente se formuló el campo electromagnético con mayor generalidad que la ley de Biot y Savart, que aplica sobre todo a cables con corriente. Si el campo magnético no varía, las dos ecuaciones que vienen a continuación definen perfectamente su comportamiento.

	Ley de Gauss del campo magnético
\nabla \cdot {\vec \mathbf B} = 0	La divergencia del campo magnético es nula, así que este campo no tiene ni fuentes ni sumideros, ni existen cargas magnéticas en este marco teórico. Experimentalmente nunca se han detectado los monopolos magnéticos.
	Ley de Ampère
c^2 \nabla \times {\vec \mathbf B} =\frac{\vec \mathbf j}{\varepsilon_0}	Se puede obtener un campo magnético rotacional empleando una corriente eléctrica de densidad \vec \mathbf j (en el experimento de Oersted un simple cable con corriente continua desvía una brújula)

Ejemplo: Campo en el interior de un solenoide

Se comprueba experimentalmente que el campo magnético en un solenoide largo es mucho mayor en el interior que en el exterior. Además por motivos de simetría debe ser paralelo al eje del solenoide (si no es paralelo al girar el solenoide que es simétrico, giraría el campo), y resulta como en la figura.

En primer lugar se aplica el teorema de Stokes al campo magnético, esta es una operación puramente matemática. Se trata de que la integral (tangencial) del campo en el borde de un lazo es igual a la integral de superficie (normal) del rotacional del campo.

\oint _l {{\vec \mathbf B}.\vec \mathbf dl} = \oint_S {\nabla \times {\vec \mathbf B} dS}

Ahora se puede emplear la ley de Ampère para sustituir el molesto rotacional

\oint _l {{\vec \mathbf B}.\vec \mathbf dl} =\frac{1}{c^2\varepsilon_0}\oint_S {\vec \mathbf j } dS

Si el lazo tiene una longitud l dentro del solenoide, para N espiras, recordando que \vec \mathbf j=\vec \mathbf I A

Bl=\frac{1}{c^2\varepsilon_0}\oint_S {\vec \mathbf j } dS B=\frac{IN}{\epsilon_0 c^2 l}

Esta fórmula es la que se emplea para calcular transformadores. Se inserta un solenoide dentro de otro con diferente número de espiras, y como el campo es único, la proporción entre las intensidades que recorren los solenoides será inversa al número de espiras.  Si te interesa el uso de transformadores con núcleo de aire y  ferromagnéticos puedes ver más en cómo realizar una radio de galena, y en bobina Tesla.

Vectores axiales y polares

Tanto en la ley de Biot y Savart como en la de Ampère, aparece el producto vectorial. Se define como el vector perpendicular a los otros dos, en la dirección según la «regla de la mano derecha» o «regla del sacacorchos» (personalmente tengo mas experiencia con la segunda). Al multiplicar dos vectores, girando el primero hacia el segundo, el vector resultado avanza en la dirección en que lo haría un sacacorchos.

Es claro que existe una arbitrariedad en esta elección. Bien si los sacacorchos avanzaran en la otra dirección o bien se hubiera decidido universalmente por la «regla de la mano izquierda», sería justo al revés. A este tipo de vectores se les llama vectores axiales. Otros ejemplos clásicos de este tipo son los que proceden de un producto vectorial como la velocidad angular y el momento de una fuerza.

Existen otros vectores que no adolecen de este problema a los que se les llaman vectores polares. Estos son por ejemplo la fuerza \vec \mathbf F, la velocidad \vec \mathbf v, y en general los que corresponden a magnitudes físicas directamente observables.

¿Significa esto que el campo \vec \mathbf B no es directamente observable? Efectivamente así es. Lo que sí es observable es la fuerza sobre cargas o fuerza de Lorentz, que exige realizar un producto vectorial adicional para obtener \vec \mathbf F después de calcular el campo \vec \mathbf B. Aplicar dos veces el producto vectorial orientado anula la orientación, por tanto las interacciones electromagnéticas son invariantes ante reflexiones.

El potencial vectorial

En el artículo sobre electrostática se vio como se puede deducir el campo \vec \mathbf E de las primeras derivadas (gradiente) de un potencial escalar \phi tal que \vec \mathbf E=-\nabla \phi.  Del mismo modo se puede obtener el campo magnético \vec \mathbf B desde una primera derivada (rotacional) de un campo vectorial, al que se denomina por este motivo potencial vectorial.  Se puede realizar esta afirmación debido a un conveniente teorema matemático que dice que si la divergencia de un campo es cero, se puede representar como el rotacional de otro campo vectorial, así.

\vec \mathbf B=\nabla \times \vec \mathbf A

También para el campo eléctrico se vio que el potencial estaba determinado excepto por una constante arbitraria \phi_2=\phi_1+C.  En el caso del potencial vectorial \vec \mathbf A también se procede igual, sumando un campo vectorial gradiente (de algún campo escalar \psi).  Se suele elegir \psi, tal que  \nabla \cdot A=0 en magnetostática.

\vec \mathbf B=\nabla \times (\vec \mathbf A+\nabla \psi)

Veamos el ejemplo para el campo magnético estático (0,0,B_z) . Por la definición de rotacional deben de cumplirse las ecuaciones

\frac{\partial A_y}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial y}=0 \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}=0 \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}=B_z

se puede comprobar visualmente que hay al menos dos soluciones posibles (0,xB_z,0) y (-yB_z,0,0) , y sus combinaciones lineales, por lo que no tiene porqué haber un único potencial vectorial para un campo magnético dado. En este caso se puede comprobar que el potencial vectorial \vec \mathbf A rota alrededor del eje z (lo que intuitivamente es evidente por \vec \mathbf B=\nabla \times \vec \mathbf A).

Introducimos en este momento el potencial vectorial ya que más adelante se verá que forma parte de uno de los invariantes relativistas más importantes, el cuadripotencial electromagnético, y su derivada exterior el tensor de Faraday.

Energía del campo magnético

Al igual que para el campo electrostático, se puede asociar una densidad de energía (energía por unidad de volumen) al campo magnético. Esta energía es la necesaria para crear el campo y se libera al destruirse el campo, y en el vacío toma el valor.

u=\frac{\epsilon_0 c^2}{2}B^2

A la vista de que la energía se asocia al campo, no a los potenciales, ¿Qué tipo de realidad cabe atribuir al potencial vectorial que ni siquiera está unívocamente determinado? Te dejamos con esa pregunta.

por el momento esto es todo en relación con el electromagnetismo y la electrostática, espero que te haya gustado y como siempre, cualquier comentario, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Para continuar aquí tienes el índice sobre electromagnetismo

• Electromagnetismo 1: Electrostática
• Electromagnetismo 2: Magnetostática
• Electromagnetismo 3: Ecuaciones de Maxwell
• Electromagnetismo 4: Tensor de campo electromagnético

Otras fuentes

• https://es.wikipedia.org/wiki/Magnetostática