Electromagnetismo 3, Ecuaciones de Maxwell

Este es el tercero de una serie de cuatro artículos sobre electromagnetismo

  • Electromagnetismo 1: Electrostática
  • Electromagnetismo 2: Magnetostática
  • Electromagnetismo 3: Ecuaciones de Maxwell
  • Electromagnetismo 4: Formulación relativista (en construcción)

Ecuaciones de Maxwell

En los dos artículos precedentes se ha visto qué son y cómo se comportan los campos eléctrico y magnético cuando son independientes del tiempo. Sin embargo al considerar fenómenos variables, la situación cambia drásticamente ya que experimentalmente se encuentra que un campo eléctrico variable produce siempre un campo magnético, y a su vez un campo magnético variable produce siempre un campo eléctrico.

Estos efectos fueron estudiados por numerosos científicos, sin embargo fue Maxwell quien reunió todo lo habido en sólo cuatro ecuaciones que describen el campo electromagnético variable. Estas cuatro ecuaciones en versión diferencial para el vacío son:

Ley de Gauss del campo eléctrico
\nabla \cdot {\mathbf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} La divergencia del campo es proporcional a la densidad de carga, de modo que las cargas eléctricas son las fuentes y sumideros del campo eléctrico.
Ley de Gauss del campo magnético
\nabla \cdot {\mathbf B} = 0 La divergencia del campo magnético es nula, así que este campo no tiene ni fuentes ni sumideros, ni existen cargas magnéticas en este marco teórico. Experimentalmente nunca se han detectado los monopolos magnéticos.
Ley de Faraday
\nabla \times {\mathbf E} = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} Se puede obtener un campo eléctrico rotacional variando un campo magnético. O sea que en ausencia de cargas es posible crear un campo eléctrico «en lazo cerrado» usando un campo magnético variable. Esta idea es el origen de una dinamo por ejemplo.
Ley de Ampère generalizada
c^2 \nabla \times {\mathbf B} =\frac{\mathbf j}{\varepsilon_0} +\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} Se puede obtener un campo magnético rotacional o bien empleando una corriente eléctrica de densidad \mathbf j (en el experimento de Oersted un simple cable con corriente continua desvía una brújula), o bien con un campo eléctrico variable (motores eléctricos).

Notemos que estas ecuaciones están expresadas en un espacio euclídeo tridimensional. En ellas el espacio está representado en el operador \nabla , y el tiempo se opera por separado. No hay atisbo de un marco Lorentziano, y el tiempo no es tiempo propio \tau sino coordenado t: No se trata de una formulación relativista «nativa», aunque sí que estas fórmulas son covariantes ante una transformación de Lorentz.

El gauge en electromagnetismo

Ya se vió en el primer artículo sobre electrostática, que el potencial electrostático está determinado excepto por una constante arbitraria \phi '=\phi+C que no hace variar la teoría, y que se suele tomar de modo que el potencial en el infinito \phi(\infty)=0.

De igual modo tomando los valores de \mathbf E y \mathbf B en función del potencial vectorial \mathbf A

\mathbf E=-\nabla \phi -\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\qquad \mathbf B=\nabla \times \mathbf A

Si se redefine \mathbf A'=\mathbf A+\nabla \psi con \psi algún campo escalar, resulta que las ecuaciones tampoco varían. Esto significa que es posible modificar los potenciales (\phi,\mathbf A) escogiendo un gauge o calibración a medida de nuestros intereses. De este modo se dice que las ecuaciones de Maxwell son covariantes ante transformaciones gauge, y a la teoría electromagnética se le añade el adjetivo gauge.

Un apunte lingüístico: La palabra covariante se usa en ciencia con distintos significados dependiendo de donde se aplique. Si se trata de vectores covariantes significa que sus componentes tienen un tipo concreto de comportamiento ante cambios de base. Si se aplica a ecuaciones significa que no varían ante ciertos cambios en el modelo matemático, como simetrías, rotaciones o gauges.

Solución para campos libres

Una solución exacta de las ecuaciones de Maxwell es la que permite la existencia del campo electromagnético libre, en forma de ondas electromagnéticas viajeras lejanas a sus fuentes. De hecho fué Maxwell el primero que sugirió que la luz era una onda electromagnética, ya que se dio cuenta de que la velocidad de su onda coincidía con la velocidad de la luz.

Por simple inspección de las ecuaciones de Maxwell se puede ver que en ausencia de cargas y corrientes un campo magnético variable produce un campo eléctrico (rotacional), y a su vez un campo eléctrico variable produce un campo magnético (rotacional). Por lo tanto cuando uno desaparece, su variación negativa pero al fin y al cabo variación, produce el otro y así sucesivamente, de modo que se suceden los campos eléctricos y magnéticos en el orden \Delta \mathbf E \to \Delta \mathbf B \to \Delta \mathbf E \to \Delta \mathbf B \to \Delta \mathbf E \to... .

Se obtiene así un campo electromagnético libre, que se sustenta por sí mismo y tal que la relación entre los módulos del campo eléctrico y magnético debe ser E=cB. Además debe cumplirse la ecuación de onda tridimensional tanto para \mathbf E, \mathbf B, \mathbf A y \mathbf \phi

\nabla^2 \mathbf E- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}=0

Estas ecuaciones se pueden solucionar con cierta comodidad en el caso particular de ondas planas, y se obtienen resultados interesantes: El campo \mathbf E debe ser perpendicular a la dirección de propagación, \mathbf E y \mathbf B deben ser perpendiculares, deben estar en fase y deben satisfacer la ecuación de onda unidimensional

\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial x^2}- \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}=0

.

Ecuaciones de Maxwell onda plana
Ecuación de onda plana polarizada para \mathbf E y \mathbf B

En el caso general por el principio de superposición, se pueden sumar este tipo de soluciones rotadas para producir vectores \mathbf E y \mathbf B que giran alrededor del eje x.

Energía, vector de Poynting y momento del campo electromagnético

Se han definido una serie de magnitudes interesantes para caracterizar mejor el campo electromagnético:

La densidad de energía por unidad de volumen (J.m-3) será la suma las energías de los campos eléctrico y magnético que se vieron en los dos primeros artículos, y además teniendo en cuenta E=cB

u=\frac{\epsilon_0}{2}E^2+\frac{\epsilon_0 c^2}{2}B^2=\epsilon_0cEB

El vector de Poynting \mathbf S (W.m-2), que indica la rapidez y dirección con la que se mueve la energía por el espacio

\mathbf S=\epsilon_0 c^2 \mathbf E \times \mathbf B \qquad S=cu

La intensidad (W.m-2), tomando el valor medio del módulo del vector de Poynting

I=<\mathbf S>=c<u>

El momento (Kg.m.s-1): Existe un resultado notable en mecánica que dice que siempre que hay un flujo de energía, es tal que este flujo por unidad de área y tiempo es igual al momento por unidad de volumen multiplicado por c^2. Este resultado aplicado al electromagnetismo resulta en que existe un momento asociado al campo cuyo valor es

\mathbf p=\frac{1}{c^2}\mathbf S

La presión de radiación (Pa o N.m-2) de una onda totalmente absorbida y totalmente reflejada son respectivamente

P_{abs}=\frac{<S>}{c} \qquad P_{ref}=\frac{2<S>}{c}

La presión de la radiación en La Tierra es aproximadamente de 9 \frac {\mu N}{m^2} y en Marte es de 3 \frac {\mu N}{m^2} lo que ha permitido especular en la realidad y también en la ciencia ficción con las velas solares. Un cálculo rápido y burdo de un viaje de un año para un microrobot para una distancia Tierra-Marte de siete millones de km, requeriría una aceleración aproximada de 6.10^{-4} \frac {m}{s^2}.

Para conseguir esta aceleración para una masa de 1 Kg, se requeriría una vela de unos 200 m2 o 14 m de lado. Aunque el cálculo es aproximado, es patente que el material del que está hecha la vela es clave por la relación tamaño/masa que hay que conseguir, y es un campo activo en investigación hoy en día.

Ecuaciones de Maxwell, vela solar
Vela solar de 20 m de lado, foto cortesía de la NASA

Y por el momento aquí acaba el artículo sobre las leyes de Maxwell. Queda por ver cómo se puede realizar una formulación covariante relativista de las ecuaciones de Maxwell, esto es, independientes del sistema de referencia, para descubrir los interesantes invariantes que esconde. Esto lo encontrarás en el cuarto artículo sobre electromagnetismo (formulación relativista) por ahora en construcción. Suscribete a twitter para ser avisado en cuanto lo soltemos… Espero como siempre que te haya gustado, y que al que lo lea le haya servido para algo. Como siempre cualquier comentario, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Para continuar, aquí tienes el índice sobre electromagnetismo:

  • Electromagnetismo 1: Electrostática
  • Electromagnetismo 2: Magnetostática
  • Electromagnetismo 3: Ecuaciones de Maxwell
  • Electromagnetismo 4: Formulación relativista (en construcción)

Otras fuentes

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