Mecánica Hamiltoniana Avanzada

En el post anterior de mecánica hamiltoniana se han tocado los fundamentos de esta formulación de la mecánica con ejemplos, sin embargo esta rama de la física ha desarrollado infinidad de resultados adicionales.  Deseamos presentar algunos de ellos bajo este título de mecánica hamiltoniana avanzada; casi todos ellos tienen como hilo conductor el santo grial de la mecánica:  Encontrar una transformación de coordenadas tal que la integración de las ecuaciones de Hamilton sea trivial.

Si deseas entender el nirvana de la mecánica clásica que es la formulación de Hamilton-Jacobi, y su bellísima interpretación de la acción, es necesario tener alguna familiaridad con los conceptos que vienen bajo estas líneas. ¡Ánimo, merece la pena !

Las integrales de movimiento.

Se llama integral de movimiento a cualquier función que sea constante en el espacio de fases, a lo largo de una trayectoria. Dicho de otra forma, a cualquier función constante que sea solución de las ecuaciones de Lagrange.

\frac{d}{dt} f( \mathbf q,\mathbf { \dot q},t) =0 \implies f( \mathbf q,\mathbf { \dot q},t) = \mathcal Cte

Es muy interesante encontrar este tipo de funciones constantes, porque la ecuación diferencial que despeja \mathbf q baja de segundo a primer orden, lo que facilita enormemente la integración.

Hay cuatro marcos típicos en los que toparse con integrales de movimiento:

1. Las que se derivan de la existencia de coordenadas cíclicas
2. Cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo
3. Las identificadas usando el paréntesis de Poisson del hamiltoniano
4. Cuando se usa el teorema de Jacobi-Poisson

Veamos cada uno de ellos

Integrales de movimiento que se derivan de coordenadas cíclicas

Y se vío en el post de mecánica hamiltoniana que para que una coordenada sea cíclica el lagrangiano no puede depender explícitamente de ella, e interesa porque encontraremos una ley de conservación, lo que siempre congratula.

\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0

Y sustituyendo directamente en la i-ésima ecuación de Lagrange

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal L }{\partial \dot{q}_i} \right) - \cancel {\frac{\partial \mathcal L }{\partial q_i}} = 0 \implies \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal L }{\partial \dot{q}_i} \right) =0

Así que directamente se obtiene que el correspondiente momento es una integral primera del movimiento

\frac{\partial \mathcal L }{\partial \dot{q}_i} = p_i=\mathcal Cte

EJEMPLO: Publicado en el artículo de mecánica hamiltoniana, en el que para el tiro parabólico la lagrangiana no depende de x, y por tanto el correspondiente momento p_x es constante. La integración de primer grado es trivial m\dot x=Cte.

El hamiltoniano como integral de movimiento

Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, es decir

\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}=0

Se puede demostrar (no en este post) que el hamiltoniano se conserva.

\frac{dH}{dt}=-\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}=0

En este caso el tiempo actúa como coordenada cíclica, y el hamiltoniano es la función conservada, que además coincide frecuentemente (no obligatoriamente) con la energía mecánica del sistema.

EJEMPLO: Del post de mecánica hamiltoniana, en el que para el péndulo simple, la lagrangiana no depende del tiempo, por tanto el hamiltoniano (la energía) se conserva. La integración en el caso general no es trivial pero sí es de primer grado en \theta, que es la recompensa por haber encontrado una integral de movimiento. Sería cuestión de resolver

E=\frac{1}{2}I\dot\theta^2-mgl\cos(\theta)

Integrales de movimiento identificadas con el corchete de Poisson del hamiltoniano

Previamente se define el paréntesis de poisson de dos funciones dependientes de p_i y q_i como

\{f,g\}=\sum_{i=1}^{N}\left [ \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i }- \frac{\partial f}{\partial p_i }\frac{\partial g}{\partial q_i } \right ]

Por otra parte desarrollando la definición de derivada total de una función f(t,\mathbf q,\mathbf p) usando la regla de la cadena, se llega rápidamente a la expresión

\dot f=\cancel {\frac{\partial f}{\partial t}}+ \{f,H\}

y si la función f no depende del tiempo y \{f,H\}=0 , entonces f es también una integral primera.

¿Como se puede usar este resultado? Es una práctica común conmutar el hamiltoniano con todas las coordenadas y momentos para ver cuales anulan el corchete de Poisson. Estas serían integrales primeras.

EJEMPLO: Supongamos un sólido rígido libre, con 6 coordenadas (x_i,\theta_i) y 6 momentos generalizados independientes (p_i,L_i). Tomando el sistema de referencia que diagonaliza el tensor de inercia, se obtienen las expresiones siguientes para el hamiltoniano y los momentos

H= \frac{1}{2m}(p_x^2+ p_y^2+ p_z^2)+ \frac{1}{2} \left ( \frac{L_x}{I_x}+ \frac{L_y}{I_y}+ \frac{L_z}{I_z} \right ) p_i=m \dot x_i L_i=I_i \dot \theta_i

y aplicando directamente la definición de corchete te poisson para el hamiltoniano y las coordenadas,

\{p_i,H\}=0 \{L_i,H\}=0

implica que se conservan los momentos lineales y angulares en todas las direcciones.

NOTA: Por cierto, que además en este caso como la lagrangiana no depende del tiempo, el hamiltoniano es una función conservada (aplicando el caso 2).

Integrales de movimiento derivadas del Teorema de Jacobi-Poisson

Ahora estamos en condiciones de encontrarnos con integrales de movimiento que se derivan del uso del teorema de Jacobi-Poisson. Este teorema dice que si tenemos dos funciones \dot f=0 y \dot g=0 que son integrales primeras, su paréntesis de poisson que será una tercera función h= \{f,g\} , también será una integral primera (no se demuestra aquí, perdón). Con este método no se garantiza que las terceras funciones constantes encontradas h sean independientes de las que ya había, ni que se encuentren todas; pero con un poco de suerte la nueva h será una integral primera de movimiento .

EJEMPLO: Supongamos una partícula para la que L_x y p_z son constantes, esto implica que \{L_x,p_z\} es constante del movimiento, pero cual? En este caso p_y según

\{L_x,p_z\}= \{yp_z,p_z\}-\{zp_y,p_z\} = \cancel {y\{p_z,p_z\}}+\cancel{p_z\{y,p_z\}} - \cancel{ z\{p_y,p_z\}}-p_y\{z,p_z\} =-p_y

NOTA: Para el ejemplo se ha utilizado primero L_x=yp_z-p_yz y luego la propiedad del corchete de poisson \{hf,g\}=\{h,g\}f-h\{f,g\}.

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Transformaciones canónicas.

Son transformaciones de coordenadas que convierten un sistema hamiltoniano en otro sistema hamiltoniano, es decir, que mantiene la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si se consigue una transformación canónica (TC) tal que las nuevas coordenadas sean cíclicas, implica que tenemos un conjunto de momentos generalizados constantes, como se ha visto en el apartado de arriba «integrales de movimiento que se derivan de coordenadas cíclicas». O sea que se habrán encontrado las leyes de conservación del sistema, lo que no está nada mal.

Para llegar a este punto dulce sin salirse del marco formal de la teoría, primero es necesario caracterizar aquellas transformaciones canónicas (TC) que mantienen la forma de los hamiltonianos. O sea que se buscan transformaciones de coordenadas Q_i(q_i,p_i,t) y P_i(q_i,p_i,t), y una reescritura del hamiltoniano K(Q_i,P_i,t) que satisfagan las ecuaciones de Hamilton aunque el hamiltoniano en sí quede transformado (K, o función Kantiana). Vamos a ver en lo que sigue las condiciones necesarias y suficientes que tienen que cumplir estas transformaciones canónicas (TC).

Condiciones directas de una TC

Para encontrar las condiciones que tienen que cumplir las TC, obligamos a la TC a cumplir las ecuaciones de Hamilton. Por simplicidad se va a realizar la demostración sólo para transformaciones independientes del tiempo, sin embargo valga decir que la condición final también se puede demostrar para transformaciones dependientes del tiempo.

La transformación de coordenadas debe cumplir por la regla de la cadena en el primer = y después por las ecuaciones de Hamilton:

\dot Q_i=\underbrace{\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\dot q_j+ \frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\dot p_j}_{Regla~de~la~cadena}= \underbrace{\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}- \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial q_j}}_{Aplica~ecs.~ Hamilton} \dot P_i=\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot q_j+ \frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot p_j= \frac{\partial P_i}{\partial q_j}\frac{\partial H}{\partial p_j}- \frac{\partial P_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial q_j}

Por otra parte según las ecuaciones de Hámilton tenemos que

\dot Q_i=\frac {\partial H}{\partial P_i}= \frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial P_i}+ \frac{\partial H}{\partial p_j} \frac{\partial p_j}{\partial P_i} \dot P_i=-\frac {\partial H}{\partial Q_i}=- \frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}- \frac{\partial H}{\partial p_j} \frac{\partial p_j}{\partial Q_i}

Comparando uno a uno los bloques superiores se tiene que para que una transformación sea canónica las condiciones necesarias y suficientes son:

\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}= \frac{\partial p_j}{\partial P_i}	\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}= -\frac{\partial q_j}{\partial P_i}
\frac{\partial P_i}{\partial q_j}= -\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}	\frac{\partial P_i}{\partial p_j}= \frac{\partial q_j}{\partial Q_i}

De modo que si ya tenemos una lista de transformaciones, serán canónicas si cumplen las condiciones de arriba. Pero ATENCIÓN al hecho de que por el momento no sabemos cómo encontrarlas.

Funcion generatriz de una TC

Se ha visto en el apartado anterior que dada una transformación de coordenadas, es posible comprobar si es canónica o no, sin embargo no se ha presentado un método para encontrar tales transformaciones. A continuación consideramos a grandes rasgos el método de las funciones generatrices. No es que tenga una transcendencia práctica importantísima, pero forma parte de la construcción de la formulación de Hamilton-Jacobi, que es el culmen de la mecánica teórica clásica.

Se sabe que una TC debe mantener el principio de Hamilton antes y después de una transformación como la denotada a lo largo de este texto como Q_i(q_i,p_i,t), P_i(q_i,p_i,t) y K(Q_i,P_i,t), o sea que debe cumplir:

\underbrace{ \delta \int_{t_1}^{t_2} (P_i \dot Q_i-K) \,dt}_{Integral~de~acción~tras~la~transformación}= \underbrace{ \delta \int_{t_1}^{t_2} (p_i \dot q_i-H) \,dt}_{Integral~de~acción~original} =0

Pero esta relación también se cumple si se añade una función arbitraria de las coordenadas, y si acaso también del tiempo, de la forma F(q_i,p_i,Q_i,P_i,t) llamada función generatriz, de modo que se obtiene la condicion definitoria de una TC:

\delta \int_{t_1}^{t_2} (P_i \dot Q_i-K) \,dt= \delta \int_{t_1}^{t_2} (p_i \dot q_i-H-\color{red}\frac{dF}{dt}\color{black}) \,dt =0

Encontrar una función generatriz es un reto, pero se suelen dividir en cuatro tipos básicos, dependiendo de las variables de las que dependan:

• F_1(q_i,Q_i,t)
• F_2(q_i,P_i,t)
• F_3(p_i,Q_i,t)
• F_4(p_i,P_i,t)

La virtud de una función generatriz de los tipos de arriba, es que es posible encontrar la transformación en función de ella. Por ejemplo para el primer caso de F_1(q_i,Q_i,t) tendríamos concretamente

p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q_i} P_i=-\frac{\partial F_1}{\partial Q_i} K=H+\frac{\partial F_1}{\partial t}

Y por ejemplo para una función generatriz de tipo F_2(q_i,P_i,t)=F_1(q_i,Q_i,t)+Q_iP_i , las transformaciones también son sencillas

p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q_i} Q_i=\frac{\partial F_2}{\partial P_i} K=H+\frac{\partial F_2}{\partial t}

con lo que tenemos directamente la transformación de las coordenadas y la forma del nuevo hamiltoniano K, de ahí el nombre de función generatriz. Para los demás casos de funciones generatrices existen relaciones formalmente similares que se pueden encontrar en la literatura sobre este tema, pero que no se copian aquí por claridad.

Hasta el punto en que hemos avanzado, no existe una forma sistemática de encontrar la función generatriz de la TC, tal que las nuevas coordenadas sean cíclicas, hay que tantear, y existen buenos libros en los que encontrar ejemplos. Por otra parte hay TC que no son generadas por ninguno de los cuatro tipos, aunque Caratheodory demostró que siempre existe una función generatriz de una TC. Es patente que las dificultades para encontrar TC que interesan son notables. En todo caso el método está ahí y siempre sucede que una función F(q_i,p_i,Q_i,P_i,t) generatriz determina una (de hecho infinitas) TC.

Sin embargo se verá en el post sobre la ecuación de Hamilton-Jacobi que maravillosamente se puede considerar la acción como una función de tipo F_2, generadora de una transformación canónica de coordenadas muy interesante: La que hace que el nuevo hamiltoniano sea nulo, lo que hace que todas las coordenadas y momentos sean constantes.

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Invariantes Canónicos.

Siempre se agradece que una teoría física aporte teoremas de conservación o invariantes. Facilitan la solución de problemas y permiten hacerse una idea intuitiva más profunda de la teoría, aparte de que pueden convertirse en descubrimientos fundamentales.

En el caso de la mecánica hamiltoniana, además de las integrales de movimiento ya vistas, aparecen como invariantes de la teoría los corchetes de Poisson y el volumen fásico (teorema de Liouville).

Corchetes de Poisson

Ya hemos topado un poco más arriba con los corchetes de Poisson que para dos funciones dependientes de f(p_i,q_i) y g(p_i,q_i), se define como:

\{f,g\}=\sum_{i=1}^{N}\left [ \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i }- \frac{\partial f}{\partial p_i }\frac{\partial g}{\partial q_i } \right ]

Se puede demostrar que el corchete de Poisson de estas dos funciones es invariante bajo una transformación canónica. En el caso particular de que las funciones sean idénticamente p_i y q_i, se demuestra que aparte de ser invariantes, tienen un valor concreto:

\{q_i,q_j\}=0 \{p_i,p_j\}=0 \{q_i,p_j\}=\delta_{ij} \{p_i,q_j\}=-\delta_{ij}

Teorema de Liouville

Dentro de la imagen hamiltoniana de la mecánica, el teorema de conservación de Liouville es un resultado notable. Demuestra que dado un volumen inicial en el espacio de fases ocupado por un sistema, éste se conserva a lo largo de una trayectoria en el tiempo aunque su frontera cambie con el tiempo, como es esperado. Dado que se puede entender el transcurso del tiempo como un tipo de transformación canónica, el volumen fásico resulta ser un invariante canónico.

De este modo, el teorema de Liouville proporciona una bella intuición de un sistema evolucionando en el tiempo en el espacio de fases, como una blanda medusa que conserva el volumen, y determina su evolución temporal por medio de una única función escalar, la función hamiltoniana.

Ejemplo para el oscilador armónico unidimensional

Supongamos un oscilador armónico en una dimensión representado por las coordenadas (p,q). Comprobemos que el volumen del espacio fásico es constante para una TC. Tomamos por ejemplo la TC al sistema de coordenadas (P,Q) definido por:

q=\sqrt{\frac{2P}{m\omega}}\sin Q p=\sqrt{2Pm\omega}\cos Q

Ejemplo para sistemas de un gran número de partículas

Es posible llegar a un conocido resultado de la mecánica estadística a través del teorema de Liouville, que dice que la densidad de un gas en equilibrio debe ser constante. Los fundamentos de la demostración matemática son los siguientes:

• El volumen en el espacio fásico es constante como ya se ha visto.
• Por otra parte se considera la frontera del volumen, en donde tendremos una gran cantidad de partículas. Cualquier punto del espacio fásico que aparentemente vaya a entrar o salir de la frontera debe pasar por ella, por tanto en un momento dado tendrá las mismas condiciones iniciales que algún punto de la frontera, con lo que evolucionará a la par que el existente y no saldrá del volumen. Por tanto al transcurrir el tiempo el volumen se moverá al moverse los puntos de la frontera, pero el número de puntos que componen el volumen es tambien constante.

Dado que el volumen y el número de puntos de un sistema de este tipo es constante, se deduce que la densidad en equilibrio de un sistema de este tipo (un gas) es constante a pesar de que exista movimiento de las partículas que lo componen.

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Así que ya equipados con los conceptos que se han visto de integrales de movimiento, transformaciones canónicas e invariantes canónicos, se puede abordar la formulación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica, que es objeto del siguiente post.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_movimiento

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformación_canónica

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Liouville_(mecánica_hamiltoniana)

Como siempre espero haber sido claro y que a alguien le sirva. Por supuesto cualquier comentario, duda o sugerencia son bienvenidos.