Mecánica Hamiltoniana

Se ha visto en el post anterior de mecánica lagrangiana, que las ecuaciones de Lagrange son n ecuaciones diferenciales de segundo orden definidas sobre las coordenadas generalizadas.   En algunos casos puede ser ventajoso rebajar el grado de estas ecuaciones diferenciales, y ésto es lo que buscaba Hamilton:  Reformuló la mecánica en 2n ecuaciones de primer orden.

De todas formas, puede que un problema sea más inmediato (e intuitivo) de resolver a través de la mecánica newtoniana y lagrangiana.  En relación con la disminución del grado de las ecuaciones diferenciales, en casos como el que se describe abajo, el péndulo simple, puede que sea más fácil acoplar las 2n ecuaciones para subir el grado de las mismas y quede más simple.

En todo caso, en la física  vista como disciplina, el peso teórico de la formulación de Hamilton (y posterior de Hamilton-Jacobi) es clave.  Esta línea de trabajo trascendió mucho más de lo esperado, entregando un modelo más rico de la mecánica que los anteriores, y del que surgen además teoremas de conservación (que son joyas de la física en cualquier modelo matemático) como el de Liouville y los que se derivan de los corchetes de Poisson.  Algunos de ellos se tratan en este post, y otros en el post de mecánica hamiltoniana avanzada.  Finalmente este marco teórico desemboca en la formulación de Hamilton-Jacobi, que entronca con los principios de la mecánica cuántica canónica, tendiendo un elegante puente entre la mecánica clásica y la cuántica. Todo este gran conjunto de resultados es lo que hoy llamamos mecánica hamiltoniana.

Momento generalizado

Para empezar se define un momento generalizado por cada velocidad generalizada, simplemente diferenciando la lagrangiana.

p_i= \frac{\partial \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) }{\partial \dot{q}_i}

Hay algunos momentos generalizados típicos. Por ejemplo para la coordenada posición, el momento generalizado es el momento lineal. Para una coordenada angular, el momento generalizado será el momento angular.

La función hamiltoniana

Es la función escalar única que va a describir toda la dinámica del sistema por complejo que sea, y el hecho de que sea una función única es donde radica su belleza. Se define desde el conocimiento de la lagrangiana, empleando la transformación de Legendre. No se va a entrar en este post a deshuesar lo que es una transformada de Legendre, pero en todo caso queda así

H=\sum p_i\dot{q}_i-\mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)

Pero ¡ ojo ! no se desea que aparezcan las velocidades generalizadas \dot{\mathbf{q}}. Como deseamos reducir el orden de las ecuaciones diferenciales, parece lógico intentar evitar variables de este tipo. Esto exige reescribir la expresión en función de los {\mathbf{p}} eliminando las \dot{\mathbf{q}} , lo que puede acarrear alguna dificultad práctica. Para conseguirlo, se puede usar como ayuda la definición del momento generalizado, pero en todo caso puede que no sea una tarea sencilla. En resumen, se requiere H en el formato

H( \mathbf{q},\mathbf{p},t)=\sum p_i\dot{q}_i( \mathbf{q},\mathbf{p},t) -\mathcal L(\mathbf{q},\mathbf{p},t)

Desarrollando sobre las definiciones anteriores, la mecánica hamiltoniana tiene una formulación especialmente evocadora por su simplicidad y simetría, las llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton.

\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}},~~~~\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}

Si el número de grados de libertad del sistema es n, las ecuaciones canónicas de Hamilton serán un sistema de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables \mathbf{q} y \mathbf{p} .

El espacio de fases

El espacio sobre el que se presenta la mecánica hamiltoniana llamado espacio de fases, tiene como dimensiones las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados (o canónicos o conjugados). También se añade la coordenada temporal en el caso de que el hamiltoniano dependa de alguna forma del tiempo explícitamente.

Este espacio de fases es esencialmente diferente del espacio euclídeo de la mecánica newtoniana, y del espacio de configuración de la mecánica lagrangiana (fibrado sobre una variedad diferenciable). Éstos se pueden intuir como «espacios rígidos» debido a que se pueden calcular en general curvaturas diferentes para puntos diferentes en las variedades subyacentes. El modelo matemático de Hamilton es el de una variedad simpléctica, que no permite definir localmente una curvatura diferente para dos espacios diferentes, y resulta en un espacio que se puede intuir como «blando».

Ejemplo de tiro parabólico

Recuperando el ejemplo que se ha presentado en los apartados de Newton y mecánica lagrangiana supóngase que se lanza una pelota a 45º de inclinación. Se desea calcular su movimiento.

Newton Tiro Parabolico
Tiro Parabólico

 

Los pasos son

  1. Encontrar el lagrangiano.
  2. Escribir el hamiltoniano en función del lagrangiano.
  3. Reescribir el hamiltoniano retirando las velocidades en favor de los momentos.
  4. Resolver las ecuaciones canónicas.
  5. Aprovecharemos para introducir las coordenadas cíclicas.

El lagrangiano

Ya lo teníamos en el post de mecánica lagrangiana y los momentos generalizados son los momentos lineales en cada uno de los ejes

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot {x}^2+\dot {y}^2)-mgy p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\dot y

El hamiltoniano

En función del lagrangiano (y todo en función de \mathbf p en detrimento de las \dot \mathbf q)

H=\mathbf{p\dot q}-\mathcal L H=\frac{p_x^2}{2m}+ \frac{p_y^2}{2m}+mgy

Usando las ecuaciones canónicas

\dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}

En el eje x

\dot p_x=0 \implies p_x=Constante

En el eje y

\dot p_y=-mg \implies m\ddot y=-mg \implies \ddot y=-g

El sistema de ecuaciones diferenciales canónicas resultante no está acoplado y es lineal, así que su resolución se presupone sencilla.

Coordenadas cíclicas

Conviene fijarse en que hay casos en los que el lagrangiano no depende de una coordenada. A este tipo de coordenadas se les denomina coordenadas cíclicas o ignorables y son importantes porque nos permiten encontrar constantes del movimiento. Al cumplirse siempre que

\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H }{\partial q_i}

entonces para que una coordenada sea cíclica tiene que suceder que

\frac{\partial H }{\partial q_i}=0

Lo que por ejemplo es trivial para el hamiltoniano del ejemplo superior, que no lleva la coordenada x

¡EUREKA! – de Interestellar

Hemos encontrado una importante y conocida ley de conservación (de p_x) .

Ejemplo con el péndulo simple

A continuación se va a resolver el péndulo simple empleando la mecánica hamiltoniana, al igual que se ha resuelto anteriormente empleando la mecánica lagrangiana. Está claro que solo existe un grado de libertad, que es el ángulo del péndulo respecto de la vertical \theta. Conociendo este ángulo para cualquier instante de tiempo, el problema estará resuelto.

Mecánica Hamiltoniana 1

Los pasos son

  1. Encontrar el lagrangiano.
  2. Escribir el hamiltoniano en función del lagrangiano.
  3. Reescribir el hamiltoniano retirando las velocidades en favor de los momentos.
  4. Resolver las ecuaciones canónicas.
  5. Aprovecharemos para hablar sobre el espacio fásico

El Lagrangiano

Lo tenemos calculado en el post de mecánica lagrangiana:

\mathcal{L} =\underbrace{ \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2}_{E_c} + \underbrace{mgl\cos(\theta)}_{E_p }

El hamiltoniano

En función del lagrangiano (y todo en función de las velocidades):

H=\mathbf{p\dot q}-\mathcal L H=p_{\theta}\dot\theta-\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2- mgl\cos(\theta)

Conviene saber que por tratarse de campos conservativos, y dado que la lagrangiana no depende del tiempo, se puede plasmar directamente el hamiltoniano como la energía cinética más la potencial. Si no se dan estas dos casualidades, no se puede justificar en general esta abreviación.

Sustituyendo las velocidades por momentos

La definición de momento generalizado aporta la relación prometida entre los \mathbf p y las \dot \mathbf q, que resta un grado al orden de diferenciación. El único momento generalizado aparece como momento angular.

p_{\theta} =\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot\theta

Que sustituyendo en la ecuación de H y operando mínimamente

H=\frac{ p_{\theta}^2 }{2ml^2}- mgl\cos(\theta)

Usando las ecuaciones canónicas

Como se prometía son de primer orden, pero no son lineales y además están acopladas. Para eliminar la no linealidad se aproxima para pequeñas oscilaciones sin(\theta)\simeq \theta

\dot p_{\theta} =-\frac{\partial H}{\partial \theta}=-mgl\sin(\theta) \simeq -mgl\theta \dot \theta =\frac{\partial H}{\partial \theta}=\frac{ p_{\theta} }{ml^2}

Toca solucionar ya el sistema pero nos enfrentamos a una última y terrible disyuntiva:

  • Derivar la segunda y sustituir en la primera, obteniendo un sistema sencillo de segundo orden  que no es lo prometido, y que ya se ha descrito en el post de mecánica lagrangiana.
  • O buscar un método para solucionar el sistema acoplado en primer orden, que es un poco más largo, tiene el sabor de lo clásico, justifica la formulación hamiltoniana, y por completitud es el que se va a desarrollar aquí.

En el siglo XIX Heaviside ya dió cuenta de que un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas como en este caso, se puede asimilar a ¡un par de polinomios!. Todo hay que decirlo, este método de resolución fué muy criticado en su tiempo, sin embargo ya ha sido formalizado y es legítimo usarlo. Se toma el operador diferencial D=\frac{\partial}{\partial t} como si fuera una variable algebraica D. Las ecuaciones canónicas se escribirían como

Dp_\theta=-mgl\theta D\theta=\frac{p_\theta}{ml^2}

y operando algebraicamente el sistema de arriba (hay que tener cuidado con D y \theta ya que no conmutan) resulta en

(D^2l+g)lm\theta=0\implies D=\pm i\sqrt \frac{g}{l}

Lo cual otorga alegremente las soluciones a la ecuación en \theta expuestas de abajo. El detalle y justificación de este método no se presenta por claridad, pero se puede encontrar en un libro de ecuaciones diferenciales, y resulta que para D imaginarias, las soluciones son de la forma

\theta(t)=C_1\cos \left( \sqrt \frac{g}{l}t \right)+ C_2\sin \left(\sqrt \frac{g}{l}t \right)

Y para las condiciones de contorno \theta=0, t=0, resulta C_1=0, y se obtiene la sinusoide de frecuencia angular \sqrt \frac{g}{l} , ya conocida por el post de mecánica lagrangiana.

El espacio de fases del péndulo simple

Estamos ahora en condiciones de describir el espacio fásico en el que está definido el hamiltoniano.  Para n grados de libertad, se trata de una variedad en la que sus puntos son del tipo c=(q_i,p_i)  , c \in \mathbb{R} ^{2n}.

El sistema en su movimiento seguirá una trayectoria en el espacio fásico determinada por las ecuaciones canónicas.  Otra forma común de verlo es decir que el hamiltoniano produce el movimiento.

Es evidente que si las derivadas del hamiltoniano descritas en las ecuaciones canónicas se anulan, el sistema estará detenido en algún tipo de equilibrio estable o inestable, ya que las posiciones y momentos serán constantes en el tiempo.  Los puntos de la variedad en la que esto ocurre se denominan puntos críticos.

Los puntos críticos pueden ser atractores de trayectorias si son estables, o lo contrario si son inestables.  Como curiosidad cabe destacar que dentro de la teoría del caos se han encontrado atractores extraños que para su estudio requieren objetos  fractales.  Para leer algo más sobre este tema ver la entrada sobre determinismo y caos.

El espacio de fases tiene solo dos coordenadas \theta y p_\theta.  La función hamiltoniana relaciona y determina unívocamente ambas coordenadas. Si supiéramos que su valor es constante, llamémosle H=E (ya que equivale en este ejemplo a la energía mecánica total), podríamos despejar p_\theta en función de \theta, y dibujar el resultado para diferentes E.

E=\frac{ p_{\theta}^2 }{2ml^2}- mgl\cos(\theta) \implies p_\theta=\pm \sqrt {(E+mgl \cos(\theta))2ml^2}

Que para hacerse una idea se puede graficar con algún programa de matemáticas gratuito tipo Microsoft Mathematics, en este caso en forma abreviada tipo  y=\pm \sqrt{cos(x)+C}

Mecánica Hamiltoniana, Pendulo simple espacio de fases
Pendulo simple espacio de fases

El punto O es para \theta=0, y para pequeñas oscilaciones la trayectoria es un círculito en el espacio de fases. En el punto \theta=\pi el péndulo estará verticalmente arriba y parado, y podrá caer a derecha o izquierda, de ahí que existan dos posibles trayectorias. Las trayectorias azul y verde son giros completos sobre su eje tan rápido que no se detiene jamás, para éstas el momento no se anula nunca.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Mecánicanica_hamiltoniana

https://es.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mecánica_clásica)

Y por el momento aquí acaba este post introductorio a la mecánica hamiltoniana. Para ampliar sobre estos conceptos y/o si te gustan la física y/o las matemáticas, no te pierdas el post de mecánica hamiltoniana avanzada. Como siempre espero haber sido claro y que a alguien le sirva. Y por supuesto cualquier comentario, duda, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.