Mecánica Hamiltoniana

Antes de que continúes, te recomendamos que visites el artículo sobre mecánica lagrangiana si no estás familiarizado con ella.  En éste vimos que las ecuaciones de Lagrange son n ecuaciones diferenciales de segundo orden definidas sobre las coordenadas generalizadas.   Ahora veremos cómo en algunos casos puede ser ventajoso rebajar el grado de estas ecuaciones diferenciales, y ésto es lo que buscaba Hamilton:  Reformuló la mecánica Lagrangiana en 2n ecuaciones de primer orden.

Y no solo eso; la formulación de Hamilton trascendió mucho más de lo esperado, entregando un modelo más rico de la mecánica que los anteriores, y de los que surgen teoremas de conservación que son joyas de la física como el de Liouville y los que se derivan de los corchetes de Poisson.  Algunos de ellos se tratan en este artículo, y otros en el de mecánica hamiltoniana avanzada.  Finalmente este marco teórico desemboca en la formulación de Hamilton-Jacobi, que entronca con los principios de la mecánica cuántica, tendiendo un elegante puente entre la mecánica clásica y la cuántica. Todo este gran conjunto de resultados es lo que hoy llamamos mecánica hamiltoniana.

Los conceptos básicos de la mecánica hamiltoniana son

Qué es el momento generalizado

Se define el momento generalizado, uno por cada velocidad generalizada, simplemente diferenciando la lagrangiana respecto a cada velocidad generalizada.

p_i= \frac{\partial \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) }{\partial \dot{q}_i}

Por ejemplo para una función lagrangiana típica que solamente involucra la energía cinética

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m\dot {x}^2 p_x=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}=m\dot x

Hay algunos momentos generalizados típicos. Por ejemplo para la derivada de la coordenada posición (la velocidad), el momento generalizado es el momento lineal. Para una coordenada angular, el momento generalizado será el momento angular.

La función hamiltoniana

Es la función escalar única que va a describir toda la dinámica del sistema por complejo que sea, y el hecho de que sea una función única es donde radica su belleza. Se define desde el conocimiento de la lagrangiana así

H=\sum p_i\dot{q}_i-\mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)

Pero ¡ojo! no se desea que aparezcan las velocidades generalizadas \dot{\mathbf{q}}. Como deseamos reducir el orden de las ecuaciones diferenciales, parece lógico intentar evitar variables de este tipo que son en sí una derivada primera derivada de nuevo (segundas derivadas). Se busca reescribir la expresión anterior en función de los {\mathbf{p}} eliminando las \dot{\mathbf{q}} , lo que puede acarrear alguna dificultad práctica. Para conseguirlo, se puede usar como ayuda la definición del momento generalizado, pero en todo caso puede ser que puestos a hacerlo en algunos casos prácticos no sea una tarea sencilla.

Retomando la cuestión, se requiere H en el formato

H( \mathbf{q},\mathbf{p},t)=\sum p_i\dot{q}_i( \mathbf{q},\mathbf{p},t) -\mathcal L(\mathbf{q},\mathbf{p},t)

Desarrollando sobre las definiciones anteriores, la mecánica hamiltoniana tiene una formulación especialmente evocadora por su simplicidad y simetría, las llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton.

\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}},~~~~\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}

Si el número de grados de libertad del sistema es n, las ecuaciones canónicas de Hamilton serán un sistema de 2n ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables \mathbf{q} y \mathbf{p}.

El espacio de fases

El espacio sobre el que se presenta la mecánica hamiltoniana llamado espacio de fases, tiene como dimensiones las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados o canónicos o conjugados. También se añade la coordenada temporal en el caso de que el hamiltoniano dependa de alguna forma del tiempo explícitamente. Mas abajo tienes un ejemplo de como resulta ser el espacio de fases de un péndulo simple.

Ejemplo de tiro parabólico

Recuperando el ejemplo que se ha presentado en los apartados de Newton y mecánica lagrangiana supóngase que se lanza una pelota a 45º de inclinación. Se desea calcular su movimiento.

Los pasos son

1. Encontrar el lagrangiano.
2. Escribir el hamiltoniano en función del lagrangiano.
3. Reescribir el hamiltoniano retirando las velocidades en favor de los momentos.
4. Resolver las ecuaciones canónicas.
5. Aprovecharemos para introducir las coordenadas cíclicas.

El lagrangiano

Ya lo teníamos en el post de mecánica lagrangiana y los momentos generalizados son los momentos lineales en cada uno de los ejes

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot {x}^2+\dot {y}^2)-mgy p_x=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\dot y

El hamiltoniano

En función del lagrangiano (y todo en función de \mathbf p en detrimento de las \dot \mathbf q)

H=\mathbf{p\dot q}-\mathcal L H=\frac{p_x^2}{2m}+ \frac{p_y^2}{2m}+mgy

Usando las ecuaciones canónicas

\dot p=-\frac{\partial H}{\partial q}

En el eje x

\dot p_x=0 \implies p_x=Constante

En el eje y

\dot p_y=-mg \implies m\ddot y=-mg \implies \ddot y=-g

El sistema de ecuaciones diferenciales canónicas resultante no está acoplado y es lineal, así que su resolución se presupone sencilla.

Coordenadas cíclicas

Conviene fijarse en que hay casos en los que el lagrangiano no depende de una coordenada. A este tipo de coordenadas se les denomina coordenadas cíclicas o ignorables y son importantes porque nos permiten encontrar constantes del movimiento. Al cumplirse siempre que

\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=-\frac{\partial H }{\partial q_i}

entonces para que una coordenada sea cíclica tiene que suceder que

\frac{\partial H }{\partial q_i}=0

Lo que por ejemplo es trivial para el hamiltoniano del ejemplo superior, que no lleva la coordenada x…

¡EUREKA! – de Interestellar

Hemos encontrado una importante y conocida ley de conservación (de p_x) .

Ejemplo con el péndulo simple

A continuación se va a resolver el péndulo simple empleando la mecánica hamiltoniana, al igual que se ha resuelto anteriormente empleando la mecánica lagrangiana. Está claro que solo existe un grado de libertad, que es el ángulo del péndulo respecto de la vertical \theta. Conociendo este ángulo para cualquier instante de tiempo, el problema quedará resuelto.

Los pasos son

1. Encontrar el lagrangiano.
2. Escribir el hamiltoniano en función del lagrangiano.
3. Reescribir el hamiltoniano retirando las velocidades en favor de los momentos.
4. Resolver las ecuaciones canónicas.
5. Aprovecharemos para hablar sobre el espacio fásico

La Lagrangiana

Lo tenemos calculado en el post de mecánica lagrangiana:

\mathcal{L} =\underbrace{ \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2}_{E_c} + \underbrace{mgl\cos(\theta)}_{E_p }

El hamiltoniano

En función del lagrangiano (y todo en función de las velocidades):

H=\mathbf{p\dot q}-\mathcal L H=p_{\theta}\dot\theta-\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2- mgl\cos(\theta)

Conviene saber que por tratarse de campos conservativos, y dado que la lagrangiana no depende del tiempo, se puede plasmar directamente el hamiltoniano como la energía cinética más la potencial. Si no se dan estas dos casualidades, no se puede justificar en general esta abreviación.

Sustituyendo las velocidades por momentos

La definición de momento generalizado aporta la relación prometida entre los \mathbf p y las \dot \mathbf q, que resta un grado al orden de diferenciación. El único momento generalizado aparece como momento angular.

p_{\theta} =\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot\theta

Que sustituyendo en la ecuación de H y operando mínimamente

H=\frac{ p_{\theta}^2 }{2ml^2}- mgl\cos(\theta)

Usando las ecuaciones canónicas

Como se prometía son de primer orden, pero no son lineales y además están acopladas. Para eliminar la no linealidad se aproxima para pequeñas oscilaciones sin(\theta)\simeq \theta

\dot p_{\theta} =-\frac{\partial H}{\partial \theta}=-mgl\sin(\theta) \simeq -mgl\theta \dot \theta =\frac{\partial H}{\partial \theta}=\frac{ p_{\theta} }{ml^2}

Toca solucionar ya el sistema pero nos enfrentamos a una última y terrible disyuntiva:

• Derivar la segunda y sustituir en la primera, obteniendo un sistema sencillo de segundo orden  que no es lo prometido, y que ya se ha descrito en el post de mecánica lagrangiana.
• O buscar un método para solucionar el sistema acoplado en primer orden, que es un poco más largo, tiene el sabor de lo clásico, justifica la formulación hamiltoniana, y por completitud es el que se va a desarrollar aquí.

En el siglo XIX Heaviside ya dió cuenta de que un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas como en este caso, se puede asimilar a ¡un par de polinomios!. Todo hay que decirlo, este método de resolución fué muy criticado en su tiempo, sin embargo ya ha sido formalizado y es legítimo usarlo. Se toma el operador diferencial D=\frac{\partial}{\partial t} como si fuera una variable algebraica D. Las ecuaciones canónicas se escribirían como

Dp_\theta=-mgl\theta D\theta=\frac{p_\theta}{ml^2}

y operando algebraicamente el sistema de arriba (hay que tener cuidado con D y \theta ya que no conmutan) resulta en

(D^2l+g)lm\theta=0\implies D=\pm i\sqrt \frac{g}{l}

Lo cual otorga alegremente las soluciones a la ecuación en \theta expuestas de abajo. El detalle y justificación de este método no se presenta por claridad, pero se puede encontrar en un libro de ecuaciones diferenciales, y resulta que para D imaginarias, las soluciones son de la forma

\theta(t)=C_1\cos \left( \sqrt \frac{g}{l}t \right)+ C_2\sin \left(\sqrt \frac{g}{l}t \right)

Y para las condiciones de contorno \theta=0, t=0, resulta C_1=0, y se obtiene la sinusoide de frecuencia angular \sqrt \frac{g}{l} , ya conocida por el post de mecánica lagrangiana.

El espacio de fases del péndulo simple

Estamos ahora en condiciones de describir el espacio fásico en el que está definido el hamiltoniano.  Para n grados de libertad, se trata de una variedad en la que sus puntos son del tipo c=(q_i,p_i)  , c \in \mathbb{R} ^{2n}.

El sistema en su movimiento seguirá una trayectoria en el espacio fásico determinada por las ecuaciones canónicas.  Otra forma común de verlo es decir que el hamiltoniano produce el movimiento.

Es evidente que si las derivadas del hamiltoniano descritas en las ecuaciones canónicas se anulan, el sistema estará detenido en algún tipo de equilibrio estable o inestable, ya que las posiciones y momentos serán constantes en el tiempo.  Los puntos de la variedad en la que esto ocurre se denominan puntos críticos.

Los puntos críticos pueden ser atractores de trayectorias si son estables, o lo contrario si son inestables.  Como curiosidad cabe destacar que dentro de la teoría del caos se han encontrado atractores extraños que para su estudio requieren objetos  fractales.  Para leer algo más sobre este tema ver la entrada sobre determinismo y caos.

El espacio de fases tiene solo dos coordenadas \theta y p_\theta.  La función hamiltoniana relaciona y determina unívocamente ambas coordenadas. Si supiéramos que su valor es constante, llamémosle H=E (ya que equivale en este ejemplo a la energía mecánica total), podríamos despejar p_\theta en función de \theta, y dibujar el resultado para diferentes E.

E=\frac{ p_{\theta}^2 }{2ml^2}- mgl\cos(\theta) \implies p_\theta=\pm \sqrt {(E+mgl \cos(\theta))2ml^2}

Que para hacerse una idea se puede graficar con algún programa de matemáticas gratuito tipo Microsoft Mathematics, en este caso en forma abreviada tipo  y=\pm \sqrt{cos(x)+C}

El punto O es para \theta=0, y para pequeñas oscilaciones la trayectoria es un círculito en el espacio de fases. En el punto \theta=\pi el péndulo estará verticalmente arriba y parado, y podrá caer a derecha o izquierda, de ahí que existan dos posibles trayectorias. Las trayectorias azul y verde son giros completos sobre su eje tan rápido que no se detiene jamás, para éstas el momento no se anula nunca.

Y por el momento aquí acaba este post introductorio a la mecánica hamiltoniana. Para ampliar sobre estos conceptos y/o si te gustan la física y/o las matemáticas, no te pierdas el post de mecánica hamiltoniana avanzada. Como siempre espero haber sido claro y que a alguien le sirva. Y por supuesto cualquier comentario, duda, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Mecánicanica_hamiltoniana

https://es.wikipedia.org/wiki/Hamiltoniano_(mecánica_clásica)