Mecánica Newtoniana

La mecánica de las fuerzas.

La mecánica de Newton está basada en el concepto de fuerza. Las conocidísimas leyes de gravitación universal y segunda ley definen, de hecho, fuerzas:

\vec F = G \frac{mM}{ r^2} \vec u \vec F = {m} \vec a

Aunque la obra de Newton es la de un genio de su tiempo, en relación con la mecánica tiene dos problemas que se suelen sacar injustamente a relucir.

  • Está basado en fuerzas, de modo que un sistema caracteriza su movimiento teniendo en cuenta procesos físicos ajenos al mismo. Se suele preferir determinar el movimiento de un sistema por características propias como la energía, que conduce a los métodos lagrangiano y hamiltoniano.
  • Por otra parte aparecen fuerzas virtuales (que no se derivan de un potencial ni de una interacción) como la centrífuga o la de Coriolis. Parecen más un artificio para cuadrar las ecuaciones que una representación de una realidad física subyacente.

Posteriormente Lagrange y Hamilton generalizaron la formulación de Newton encontrando nuevas leyes de conservación que hasta entonces habían estado ocultas.  Merece la pena penetrar en estas nuevas visiones de la física clásica, porque además de su propio valor, la mecánica hamiltoniana es la puerta de entrada a la mecánica cuántica no relativista.   Y por su parte porque la mecánica lagrangiana es el formalismo que encajó mejor en la mecánica cuántica relativista, hasta nuestros días.

Aquí se exponen los fundamentos la mecánica Newtoniana que es determinista en el sentido de que predice exactamente la evolución en el tiempo de un sistema, al igual que el resto de la mecánica clásica.  Hoy en día esta visión filosófica de la ciencia ha quedado relegada, no obstante resulta revelador descubrir cómo el determinismo científico ha ido siendo retirado del discurso.  En esta línea las causas físicas y los modelos matemáticos que refutan el determinismo son de máxima originalidad, profundidad e interés.  Se ha realizado un monográfico sobre determinismo aquí.

Las leyes de Newton.

Las leyes de Newton describen el movimiento de los cuerpos con masa, como consecuencia de las fuerzas aplicadas sobre los mismos. Como se ha comentado la visión actual de la física intenta eludir en lo posible el concepto de fuerza, pero en cualquier caso las leyes de Newton se suelen escribir así:

  • Ley de Inercia: Un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza no cambia su estado de movimiento. Si está en reposo seguirá en reposo, y si se mueve seguirá moviéndose sin cambios en dirección sentido ni velocidad.
  • Principio fundamental de la mecánica: Un cuerpo al que se aplica una fuerza desarrolla una aceleración proporcional a su masa. \vec F = {m} \vec aSiendo \vec p el momento lineal, también se puede escribir como \vec F= \frac {d{\vec p}}{dt} Para \vec F =0 define la ley de conservación del momento lineal, porque si su derivada es 0, el momento debe ser una constante. \vec F =0 equivale entonces a la primera ley. El formato diferencial interesa para ver más adelante la versión relativista de la segunda ley.  Se puede leer más acerca de mecánica relativista en este mismo sitio.
  • Ley de acción y reacción: Una fuerza siempre produce otra en la misma dirección y sentido contrario.

Esto significa que si se conocen las fuerzas que se aplican sobre un sistema, se puede conocer su movimiento. Este enfoque es usado habitualmente en ingeniería con muy buenos resultados. El enfoque energético lagrangiano o hamiltoniano es otra aproximación diferente, y con el tiempo se ha demostrado ser de más largo alcance.

La ley de gravitación universal.

Dentro del enfoque mecánico Newtoniano se predice además la fuerza entre dos masas debida a la gravitación. Es atractiva, en la dirección de la recta que las une, proporcional a las masas (denotadas por M y m) y disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia que las separa.

\vec F = -G \frac {Mm} {r^{2}}\vec u

La función de la constante G es ajustar los valores al sistema internacional, que define el metro, el segundo, etc.

G = 6.674\times 10^{-11} \; \cfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}

Tomando la segunda ley y la de gravitación universal, se puede igualar la fuerza y expresar

{m} \vec a = -G \frac {Mm} {r^{2}}\vec u

Que eliminando la referencia a m, nos indica que la aceleración gravitacional ejercida sobre un cuerpo no depende de la masa del cuerpo en sí, sino que sólo depende de la masa del otro

\vec a= -G \frac {Mm} {r^{2}}\vec u

y su módulo vale 9,81 \frac{m}{ s ^{2} } en la superficie de la tierra, apuntando hacia el centro. Esto significa que un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la tierra cae 9,81 \frac{m}{ s } más deprisa cada segundo que pasa, y no depende de la masa. Por eso se cuenta que cuando Galileo dejó caer desde la torre de Pisa dos bolas de distinto peso llegaron al suelo a la vez.

Por ejemplo la gravedad en otros astros menos pesados como la Luna es 1,6 \frac{m}{ s ^{2} } y Marte 3,7 \frac{m}{ s ^{2} }. Sin embargo en otros más pesados como Júpiter es de 24,8 \frac{m}{ s ^{2} } o el Sol nada menos que 274 \frac{m}{ s ^{2} }. Una persona pesaría en el Sol 27 veces más que en la Tierra.

Atención al detalle de que la fórmula de la fuerza gravitacional se refiere a masas puntuales. Usando el cálculo integral se puede demostrar que una masa esférica se comporta como si toda su masa estuviera en su centro. Esto facilita los cálculos de órbitas y en general el estudio de la dinámica de los cuerpos masivos sujetos a la acción gravitatoria. En esta línea tenemos …

Un ejemplo Newtoniano de tiro parabólico.

El tiro parabólico es el ejemplo cásico del uso de las tres leyes, la gravitación universal y el cálculo diferencial: En resumen la esencia del trabajo de Newton. Se obtiene la trayectoria de un cuerpo sujeto a la aceleración de la gravedad suponiéndola de dirección y sentido constante, y resulta ser una parábola.

No puedo continuar escribiendo sin recordar que esta simplificación no se puede realizar siempre. Por ejemplo en un campo gravitatorio planetario, dos posiciones orbitales separadas no tienen gravedad paralela, lo que produce órbitas elípticas. La aproximación parabólica para objetos pequeños en la superficie de la tierra no es más que una simplificación conveniente.

Supóngase que se lanza una pelota a 45º de inclinación, tal que sus velocidades vertical y horizontal sean de 40 Kms/hora respectivamente.

Newton Tiro Parabolico

De la definición diferencial de aceleración se puede realizar esta deducción bien conocida.

\frac{d \vec v}{dt}= \vec a \implies \int \frac{d \vec v}{dt} dt=\int \vec a dt \implies \vec v= \vec at+ \vec v_{0}

Desarrollando ahora la velocidad como diferencial del espacio recorrido respecto del tiempo, se obtiene la ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

\vec v=\frac{d \vec s}{dt}= \vec at+ \vec v_{0} \implies \int \frac{d \vec s}{dt} dt=\int \vec a t dt +\int \vec v_{0}dt \implies \vec s=\frac {1}{2} \vec at^2+ \vec v_{0}t+ \vec s_{0}

Esta última ecuación se puede aplicar a este problema. Se tendrá una ecuación particular para la componente horizontal del movimiento y otra para la componente vertical. Suponiendo que \vec s_{0} =0 y que a_{x}=0 (la gravedad es sólo vertical porque no hay fuerza centrífuga de rotación de la tierra ni Coriolis), se pueden escribir las ecuaciones escalares para las coordenadas del vector de posición \vec s como

x = v_{x}t y = v_{y}t- \frac {1}{2} a _{y} t^2

Se trata de una pareja de ecuaciones paramétricas, en las que el parámetro es el tiempo. Para cada instante de tiempo obtenemos así las coordenadas x e y.

Un poco de software.

Para relajarse un poco, se toma ahora algún software de matemáticas, por ejemplo Microsoft Mathematics. Permite ecuaciones paramétricas introduciendo los valores mínimo y máximo del parámetro. Si se introducen las ecuaciones para ver la gráfica, sale una bonita parábola.

Newton grafica tiro parabólico

Con lo que queda resuelta la trayectoria en este caso como era prometido.

Y aunque la física de Newton da para escribir muchísimos libros, este post se termina aquí.  Si te gusta el tema merece la pena seguir la pista a la reformulación de la mecánica realizada por Lagrange y Hamilton.  Está llena de sorpresas y llegarás hasta los principios teóricos de la mecánica cuántica.

Como siempre espero haber sido claro en aspectos básicos de la física Newtoniana, y cualquier comentario, corrección o sugerencia es bienvenido.

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