Electromagnetismo 4, tensor de campo electromagnético

Este es el cuarto de una serie de cuatro artículos sobre electromagnetismo

Hemos visto hasta el momento que las ecuaciones de Maxwell están expresadas en un espacio euclídeo tridimensional:  En ellas el espacio está representado en el operador \nabla , y el tiempo se opera por separado. No hay atisbo de un marco Lorentziano, y el tiempo no es tiempo propio \tau sino coordenado t.  Por tanto no se trata de una formulación relativista «nativa», aunque sí es covariante ante una transformación de Lorentz.

\nabla \cdot {\mathbf E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \nabla \cdot {\mathbf B} = 0
\nabla \times {\mathbf E} = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} c^2 \nabla \times {\mathbf B} =\frac{\mathbf j}{\varepsilon_0} +\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}

Una formulación relativista nativa debería aportar una representación geométrica (independiente del sistema coordenado tetradimensional) del fenómeno. También se verá como en esta formulación tensorial las propiedades del campo electromagnético tienen una cabida más natural y con menos cálculos, si bien las matemáticas implicadas son más avanzadas que las necesarias para trabajar con las ecuaciones de Maxwell. Conviene sentirse algo cómodo con los conceptos de tensor, forma diferencial y diferencial exterior.

Tensor de campo electromagnético

Se van a ver a continuación dos formas de llegar al tensor de campo electromagnético. No voy a ocultar que la primera es mi favorita ya que nace de la necesidad de explicar un hecho experimental básico que son las fuerzas sobre cargas eléctricas. La segunda forma de llegar al tensor de campo electromagnético es como el invariante que se obtiene de la derivación exterior del cuadripotencial electromagnético.

Deducción desde la cuadrifuerza de Lorentz

Cualquier modelo científico debe dar respuesta a la realidad experimental, que en electromagnetismo aparece de inmediato como la fuerza de Lorentz, que en el espacio tridimensional euclídeo se representa así

\mathbf f=q ( \mathbf E+ \mathbf u \times \mathbf B)
Tensor de campo electromagnético, cuadrifuerza de Lorentz
[Figura 1] Representación de la 3-fuerza de Lorentz

Pero si desea realizar una formulación relativista, deberá dar cuenta del valor de la cuadrifuerza de Lorentz en lugar del vector fuerza tridimensional. Siguiendo este hilo de pensamiento veremos como se puede llegar al concepto de tensor de campo electromagnético con relativa rapidez. Denotando como \mathbf F y \mathbf P la cuadrifuerza y el cuadrimomento respectivamente, recuérdese la relación

\mathbf F= \frac {d \mathbf P}{d \tau}=\frac {d}{d\tau} \begin{bmatrix}{\frac{E}{c}} \\ { p^x } \\ {p^y } \\ { p^z } \end{bmatrix} \small \color {blue}[Ecuación 1] \color{black}

usando la notación habitual un poco confusa donde E es Energía, \mathbf E es el vector clásico del campo eléctrico, \mathbf f y \mathbf u respectivamente la 3-fuerza y 3-velocidad, el primer término de \mathbf F resulta ser

\frac {dE}{d\tau}=\gamma\frac{ \mathbf f. \mathbf u}{c}=\gamma e \frac{ \mathbf E. \mathbf u}{c}=\frac {\gamma e}{c} (E_x u^x+E_y u^y+E_z u^z)

y los restantes se pueden obtener de la fuerza de Lorentz clásica para una carga e

\frac {dp_x}{d\tau}=\gamma \frac {dp_x}{dt}=\gamma e\left(E_x+u^yBz-B_yu^z\right) \frac {dp_y}{d\tau}=\gamma \frac {dp_y}{dt}=\gamma e\left(E_y-u^xBz+B_xu^z \right) \frac {dp_z}{d\tau}=\gamma \frac {dp_z}{dt}=\gamma e\left(E_z+u^xBy-B_xu^y \right)

Visto lo anterior se puede reescribir la \small \color {blue}[Ecuación 1] \color{black}

\mathbf F= \frac {d \mathbf P}{d \tau}=\frac {d}{d\tau} \begin{bmatrix}{\frac{E}{c}} \\ { p^x } \\ {p^y } \\ { p^z } \end{bmatrix}=\gamma e \begin{bmatrix} 0 &\frac{E_x}{c} &\frac{E_y}{c}&\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0&B_z&-B_y \\ \frac{E_y}{c} &-B_z&0&B_x \\\frac{E_z}{c} &B_y&-B_x&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\\ u^x\\u^y\\u^z \end{bmatrix} \small \color {blue}[Ecuación 2] \color{black}

Identificando inmediatamente la matriz con la representación del tensor de campo electromagnético (tensor de Faraday) F^{\mu}_{\nu} en el sistema internacional. Aquí se usa \nu como índice covariante para indexar las columnas del tensor, ya que deben corresponderse una a una para la contracción con la cuadrivelocidad, que va indexada precisamente con \nu como índice contravariante. Por otra parte \mu es el índice contravariante del tensor que generará las filas del cuadrivector contravariante \mathbf F. Así, la fuerza de Lorentz queda determinada unívocamente por el tensor de campo electromagnético y la cuadrivelocidad de la carga. Las componentes de este tensor se miden en Teslas en el S.I.

\frac {d \mathbf P}{d \tau}=e \mathbf F^{\mu}_{\nu} u^{\nu} \small \color {blue}[Ecuación 3] \color{black}

Aunque la forma habitual de encontrárselo es en componentes covariantes, lo que se consigue con un poco de gimnasia de índices premultiplicando matricialmente por el tensor métrico en el espacio de Minkowski. Se puede aprovechar de que se trata de un cálculo con dos tensores de rango 2 que permiten su representación matricial, y permiten usar el producto matricial para calcular el producto tensorial. Usando la signatura (-+++) queda

\eta_{\mu\alpha}\mathbf F^{\alpha}_{\nu}=\mathbf F_{\mu\nu}= \begin{bmatrix}-1 &0 &0&0\\ 0 & 1&0&0 \\ 0 &0&1&0 \\0 &0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 &\frac{E_x}{c} &\frac{E_y}{c}&\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0&B_z&-B_y \\ \frac{E_y}{c} &-B_z&0&B_x \\\frac{E_z}{c} &B_y&-B_x&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &-\frac{E_x}{c} &-\frac{E_y}{c}&-\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0&B_z&-B_y \\ \frac{E_y}{c} &-B_z&0&B_x \\\frac{E_z}{c} &B_y&-B_x&0 \end{bmatrix}

El tensor de campo electromagnético presenta 6 componentes independientes, y unifica los campos eléctrico y magnético en una sola entidad de carácter geométrico independiente de cualquier base.

Deducción como derivada exterior del cuadripotencial

Es común toparse con esta forma más artificial de llegar al tensor de Faraday, así entendida porque no surge de la exigencia de dar respuesta directa a un hecho experimental como la cuadrifuerza de Lorentz. Sin embargo su recorrido teórico es mayor ya que permite escribir las ecuaciones de maxwell de una forma particularmente sencilla como se verá un poco más adelante. Se desea por tanto realizar la diferencial exterior del cuadripotencial electromagnético \mathbf A

A^\mu = \begin{bmatrix} \frac{\phi}{c}\\ A^x \\ A^y \\ A^z \end{bmatrix} \bm F=d \bm A

Se comienza eligiendo coordenadas contravariantes o covariantes para el cuadripotencial \bm A. Si acaso estuviera en el formato contrario, multiplicando por el tensor métrico se convierte; en este caso se eligen covariantes con la finalidad de obtener el tensor de Faraday en covariantes, así que:

\eta_{\nu\mu}\bm A^\nu =\bm A_\mu = \begin {bmatrix} -\frac{\phi}{c} & A_x &A_y&A_z \end{bmatrix}

Deseamos realizar la derivación exterior de este covector, aplicaremos la \color{blue} \small [Fórmula 2] del artículo sobre la diferencial exterior d \bm A_\mu=(\partial_i A_j-\partial_j A_i) (\bm dx_i \otimes \bm dx_j-\bm dx_j \otimes \bm dx_i) para índices 0 \le i < j \le 3. Aparecen un total de 10 términos en el lenguaje del cálculo exterior, de los que se extraen las 16 componentes del tensor en el lenguaje del cálculo tensorial por la expansión \bm \alpha \wedge \bm \beta=\bm \alpha \otimes \bm \beta -\bm \beta \otimes \bm \alpha que supone el cambio de un lenguaje a otro, y que se trata con algo de detalle en el artículo sobre formas diferenciales. Estas 16 componentes son de los tres tipos siguientes:

  • los que llevan derivada temporal, con i=0, del tipo
F_{0j}=\frac{1}{c}\left [\frac{\partial Aj}{\partial t} +\frac{\partial \phi}{\partial x_j}\right ]=-\frac{E_j}{c}
  • los que son derivadas espaciales como por ejemplo
F_{12}=\frac{1}{c} \left [\frac {\partial A_y}{\partial x} -\frac{\partial A_x}{\partial y}\right ]=B_z\\F_{13}=-B_y\\F_{23}=B_x
  • los que tienen los dos índices iguales, que se anulan por antisimetría

Las componentes así obtenidas para \bm F coinciden una a una con las obtenidas en el apartado anterior a partir de la cuadrifuerza de Lorentz.

Norma del tensor de campo electromagnético

Es conocido que la norma de un vector es invariante ante cambios de base. Extendamos esta idea hasta encontrar la norma del tensor de campo electromagnético, ya que descubrirá un invariante relativista. No olvides que los invariantes en física son pequeños tesoros que permiten seguir la pista a un proceso físico abstrayendo muchos detalles que con frecuencia son complicados de manejar, y a veces incluso poco interesantes en el contexto real del problema.

Se define el cuadrado de la norma de un tensor como la contracción consigo mismo

\| \bm F \| ^2={F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}

El tensor de campo electromagnético ya lo teníamos en componentes covariantes, ahora es necesario en contravariantes. Para obtenerlas elegimos partir del tensor tal como se ha deducido para hacer honor a la cuadrifuerza de Lorentz \mathbf F^{\mu}_{\nu}

\mathbf F^{\alpha}_{\nu}\eta^{\alpha\mu}=\mathbf F^{\mu\nu}=\begin{bmatrix} 0 &\frac{E_x}{c} &\frac{E_y}{c}&\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0&B_z&-B_y \\ \frac{E_y}{c} &-B_z&0&B_x \\\frac{E_z}{c} &B_y&-B_x&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 &0 &0&0\\ 0 & 1&0&0 \\ 0 &0&1&0 \\0 &0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &\frac{E_x}{c} &\frac{E_y}{c}&\frac{E_z}{c}\\ -\frac{E_x}{c} & 0&B_z&-B_y \\ -\frac{E_y}{c} &-B_z&0&B_x \\ -\frac{E_z}{c} &B_y&-B_x&0 \end{bmatrix}

Ahora hay que entretenerse en desarrollar el convenio de sumación de Einstein; el escalar que se obtiene es un invariante y tiene unidades de Tesla cuadrado en el S.I.

\| \bm F \| ^2=\sum_{\mu}\sum_{\nu}{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}=-\frac{2}{c^2}(\bm E^2-c^2\bm B^2)

Como se ha comentado, esta norma \| \bm F \| ^2 es un invariante que puede ser mas o menos interesante, sin embargo su potencia radica en que es casi el lagrangiano del campo electromagnético

\mathcal L=- \frac{1}{4\mu_0} {F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}

y con éste se pueden encontrar las expresiones para la energía electromagnética vistas en los artículos de electrostática y magnetostática (no se desarrollan aquí).

El tensor de Maxwell

Los tensores antisimétricos de rango 2 construidos sobre \mathbb R^4 como el tensor de campo electromagnético, forman un subespacio tensorial de \mathbb R^4 \otimes \mathbb R^4 definiendo el producto como \bm \alpha \wedge \bm \beta=\bm \alpha \otimes \bm \beta - \bm \beta \otimes \bm \alpha , denotado por \Lambda ^2(\mathbb R^4). Recordemos del artículo sobre álgebra exterior, que \Lambda ^2(\mathbb R^4) tiene dimensión 6 al igual que su dual de Hodge. Se define el tensor de Maxwell como el dual de Hodge de \bm F, que se calcula multiplicándolo por el tensor totalmente antisimétrico de Levi-Civita (vale 0 para índices repetidos, vale 1 para un número par de permutaciones de índices y -1 para impares).

\bm {^*F_{\alpha\beta}}=\frac{1}{2} \epsilon_{\alpha\beta\mu\nu} \bm F^{\mu\nu}

Ecuaciones de Maxwell

Obtenidos los tensores de campo electromagnético \bm F y de Maxwell \bm {^*F}, las ecuaciones de Maxwell toman una forma especialmente simple, denotando con \bm {^*J} el dual de Hodge de la cuadricorriente.

d \bm F=0 d \bm {^*F}=\mu_0 {\bm {^*J}}

Notemos que las fórmulas no muestran referencia alguna a coordenadas, sino que los objetos \bm F y \bm {^*F} «existen» en el espacio a la espera de que algún docto investigador determine el sistema de coordenadas que prefiere.

También recordemos que \bm F=d \bm A, por tanto el tensor de campo electromagnético es una forma cerrada siempre. Del mismo modo, el tensor de Maxwell sólo es una forma cerrada en ausencia de cargas, y como consecuencia el campo electromagnético en el vacío no tiene fuentes ni sumideros: Los «tubos» que empleamos para representar estas 2-formas diferenciales no convergen, algo al estilo de la [Figura 2].

tensor de campo electromagnético, representación como 2 forma
[Figura 2] representación de una 2-forma exacta

Resumiendo todo lo visto, es patente a la vista de la [Figura 2] que el modelo tensorial del campo electromagnético es una representación geométrica independiente del sistema coordenado 4-dimensional. Además las leyes de Maxwell toman una forma más compacta, y en general el modelo es relativista compatible en el sentido de que las coordenadas espaciales y temporal se tratan sin distinción.

Y aquí terminamos por el momento: Espero que este artículo sobre la intuición del tensor de campo electromagnético te haya gustado, y como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

Otras referencias

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