¿Dónde estoy? …

Se puede separar acaso la pregunta ¿Quién soy? de ¿Dónde estoy?, y de la final ¿Qué soy?

Este artículo trata sobre algunas de las respuestas que se han dado a la segunda ¿Dónde estoy? según han transcurrido las edades de la física, y de cómo los humanos construimos la necesaria explicación del marco material que se nos presenta simplemente al abrir los ojos cada mañana. Hoy lo llamamos espacio tiempo.

Índice

Tiempo circular vs. tiempo lineal

El concepto más inmediato del tiempo nos viene ligado a la vivencia de los ciclos naturales; primero el ciclo del día y de la noche dentro del ciclo lunar, luego las estaciones, el año… Estas periodicidades influyen directamente sobre los seres vivos, y su observación suponía, en la antigüedad más que hoy, la diferencia entre la vida y la muerte. En ellos hay un periodo ascendente y otro descendente donde encajar la existencia en una eterna reiteración. Los libros sagrados del hinduismo, los antiguos Vedas, describen el tiempo como un círculo, en el que el universo se repite insistentemente según se suceden los sueños de Buda en cosmogonías sin fin.

Al contrario, en el cristianismo, en el islamismo y en general en occidente, el tiempo es un concepto lineal; existe una creación y un final del todo, y la vida humana transcurre en una chispa de tiempo que nos es regalado vivir como una pequeña eternidad. Sin embargo estas nociones del tiempo son de carácter filosófico, y aunque son interesantes, se abandonarán por el momento en favor de otras más científicas… aunque al final volveremos a ellas.

Espacio y tiempo

Aristóteles

Es asombrosa la precisión con la que Aristóteles enunció su concepto de espacio tridimensional con el tiempo como un absoluto separado. Para Aristóteles, un punto en el espacio es siempre el mismo punto, o sea que no considera el movimiento giratorio ni orbital de La Tierra -ni en la galaxia, ni en el cumulo local, etc.- a lo que llamamos geocentrismo. Para ubicar un suceso usa 3+1 coordenadas absolutas: Tres para la posición y una más para el tiempo. Este es el punto de vista sobre el espacio y el tiempo que después adoptó el cristianismo al sumar a su doctrina directamente las ideas Aristotélicas, lo que a la postre casi le costó la vida a Galileo. Reproducimos algunas citas de Aristóteles sin comentarios, ya que no son necesarios aunque nos hable a través de los siglos

El lugar posee ciertamente la tres dimensiones, longitud, anchura y profundidad, las mismas por las que todo cuerpo es determinado (Física Libro 4, A-El lugar, 209 a:5)
Todo cuerpo sensible está por naturaleza en algún lugar, y hay un lugar propio para cada cuerpo.(Física Libro 3, B-El infinito, 205 a:10)
El tiempo es, pues, continuo (Física Libro 4, C-El tiempo, 220 a:5)
El tiempo es, pues, número (Física Libro 4, C-El tiempo, 220 a:10)
El tiempo es número del movimiento según el antes y después (Física Libro 4, C-El tiempo, 220 a:25)
El tiempo es simultáneamente el mismo en todas partes (Física Libro 4, C-El tiempo, 220 b:5)
Es el momento de hacer un paréntesis para introducir un comentario sobre Euclides, el padre de la geometría; y no por sus ideas sobre el espacio y el tiempo, sino por haber recopilado las ideas necesarias para medir el espacio y el tiempo. En el marco de la geometría euclídea los ángulos interiores de un triángulo suman $\bm \pi$ radianes, las rectas paralelas nunca se cruzan y sobre todo se cumple el teorema de Pitágoras. Sin embargo actualmente sabemos que existen otras geometrías en las que esto no es así: En la figura de abajo se representan en orden las geometrías esférica, hiperbólica y euclídea $\mathbb E^3$ , la última es a la que estamos acostumbrados y es la que generalmente se usa en ingeniería.

Ya que para Aristóteles un punto del espacio siempre es el mismo aunque cambie el tiempo, hoy diríamos que expone un modelo de espacio tiempo producto $\mathbb T \times \mathbb E^3$ , tal que en $\mathbb E^3$ se cumple el teorema de Pitágoras, y si se toma la precaución de definir un origen de coordenadas, la expresión matemática de esta idea de distancia $\Delta S$ es la familiar

\Delta S^2=\Delta x^2+ \Delta y^2+\Delta z^2

Galileo

Galileo defendió el modelo heliocéntrico del universo, lo que le valió la condena de la Inquisición romana en 1633. Pero además dio cuenta de una diferencia más que sutil con el modelo aristotélico: Un punto del espacio no es siempre el mismo. Teniendo en cuenta el giro de la tierra sobre si misma (465 m/s en el ecuador) y su desplazamiento alrededor del sol (30 km/s), es claro que un punto que señalamos con el dedo ahora, dentro de un segundo estará a unos 30 km de distancia. Es precisamente esta imposibilidad de identificar un punto en el espacio lo que justifica la noción de relatividad galileana, postulando que los sistemas inerciales -en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme- son indistinguibles. Esta idea de relatividad es la que Newton empleó para realizar su formulación de la mecánica clásica.

Algunos autores (Penrose 2004) proponen que la física Galileana expone un modelo geométrico del espacio tiempo como un fibrado, en el que la base es el tiempo $\mathbb T$ y la fibra un espacio euclídeo tridimensional $\mathbb E^3$ en el que se cumple el teorema de Pitágoras. En un fibrado no existe a priori una identificación de los elementos de una fibra con los de las demás, aunque se puede añadir al modelo algún tipo de relación entre fibras con el fin de honorar el problema de identificar un punto en el espacio a lo largo del tiempo.

Otro modelo más manejable de espacio tiempo galileano corresponde con una 4-variedad diferenciable $\mathbb E^4$ sobre la que se define un tensor métrico diagonal, en este caso por añadidura unidad, que permita definir distancias y ángulos según el 4-teorema de Pitágoras.

g_{\mu\nu}=\begin {bmatrix} 1 &0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {bmatrix}

¿El intervalo definido por esta métrica es invariante ante una transformación de Galileo?. Acordemos que ya está demostrado para $\mathbb E^3$ , es decir $\Delta \vec x^2=\Delta \vec x'^2$ ; como el tiempo es absoluto para Galileo $\Delta t^2=\Delta t'^2$ es constante así que en este contexto

\Delta S^2=\Delta t^2+\vec x^2=\Delta t'^2+\Delta \vec x'^2

con lo que $\Delta S^2$ así definido es un invariante de Galileo y el modelo puede valer. Veremos a continuación que además este modelo se puede refinar, para encajar la teoría de la relatividad especial.

Espacio tiempo

Minkowski

El modelo de espacio tiempo de Minkowski es el modelo de espacio tiempo de la relatividad especial, que vino a resolver el problema que se planteaba en el anterior modelo galileano cuando quedó patente que la velocidad de la luz era absoluta, constante para dos observadores en movimiento relativo. Este encaje lleva al descubrimiento de la «dilatación del tiempo» $\Delta t^2 \ne \Delta t'^2$ y la unificación de los conceptos separados de espacio y tiempo en una única entidad llamada desde entonces espacio-tiempo o espaciotiempo, en la que la longitud se mide con una extraña modificación del teorema de Pitágoras

\Delta S^2=\Delta (ct)^2-\Delta \vec x^2

El modelo de Minkowski de espacio tiempo que se denota por $\mathbb M$ , es el de una 4-variedad diferenciable con 3 dimensiones espaciales y una tercera de carácter temporal $ct$ . La métrica es hiperbólica para la relación entre la dimensión de carácter temporal y las espaciales, lo que se designa como métrica lorentziana. El tensor métrico puede tener dos «sabores» o signaturas dependiendo de las preferencias del autor en el contexto en que se emplea:

\eta_{\mu\nu}=\begin {bmatrix} 1 &0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end {bmatrix} \qquad \eta_{\mu\nu}=\begin {bmatrix} -1 &0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {bmatrix}

A mí me gusta en general más la primera porque permite definir un intervalo positivo para diferencias positivas de tiempo, y está más cerca del concepto de tiempo usual. En todo caso el intervalo que define $\Delta S^2$ es un invariante para la transformación de Lorentz, así que es consistente con la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores. Además de que la velocidad de la luz $c$ aparece como la asíntota de la hipérbola que relaciona el espacio y el tiempo, explicando la existencia de una velocidad límite en el universo. En la figura inferior se han dibujado dos dimensiones espaciales y una de carácter temporal, con el cono de luz que representa la unión de las asíntotas de las hipérbolas correspondientes a esta representación sesgada (por motivo de que intuimos mejor en 3D), $(\mathbb T, \mathbb E^2)$

El espacio de Minkowski es plano, ya que al ser el tensor métrico diagonal no existen proyecciones de unas dimensiones en otras. Esto tiene como consecuencia que el modelo de espacio tiempo no explica por ejemplo la curvatura de la luz al pasar cerca de una estrella (1919) ni da cuenta de las ondas gravitatorias (2015) entre otros.

Einstein

La revisión del modelo de espacio tiempo que sí explica todos los experimentos realizados hasta la fecha es el modelo de la relatividad general. Toma como modelo de espacio tiempo local el de Minkowski, pero a gran escala es curvo y esta curvatura es producida por la masa-energía. Esto significa que en presencia de curvatura el movimiento en una dirección puede producir a su vez un «pequeño» movimiento en otras direcciones, lo que se manifiesta como una curvatura en la trayectoria global.

Por ejemplo si la luz viaja cerca del sol, curva su trayectoria. Los planetas curvan también su trayectoria en el espacio (espacio tiempo) alrededor del sol, dando lugar a las órbitas planetarias. Los efectos más exóticos aparecen cuando una de las dimensiones es de carácter temporal, de modo que la curvatura espacial supone también desfase temporal (comprobado en la tecnología GPS); o bien cuando aparecen soluciones matemáticas como circuitos cerrados temporales (por confirmar experimentalmente, y que recuerdan al concepto de tiempo circular de algunas religiones) igual que existen las órbitas circulares. También surgen de la teoría efectos mixtos de desplazamiento espacial y temporal estilo agujero de gusano (por confirmar experimentalmente), que vienen bien en los guiones de ciencia ficción.

El modelo matemático es el de una 4-variedad diferenciable con 3 dimensiones espaciales y una tercera de carácter temporal $ct$ igual que en el espacio Minkowskiano, pero abrazando los tensores métricos no diagonales para expresar las relaciones no nulas entre diferentes dimensiones, que se manifiestan con el desplazamiento.

Nuevos modelos de espacio tiempo

La relatividad general se comprueba experimentalmente a nivel macroscópico, pero a nivel microscópico por el momento es imposible con la tecnología de que disponemos por la debilidad de la interacción gravitatoria (aunque recientemente se ha comprobado para masas menores que 10 mg). Por otra parte, el espacio tiempo de la mecánica cuántica aceptada es lorentziano (Minkowski), y culmina con el modelo estándar de partículas, que es una teoría de campos cuánticos que se cerró con el descubrimiento del bosón de Higgs (2012).

¿Pero por que puede ser necesario un nuevo modelo de espacio tiempo que no sea el modelo de espacio tiempo curvo de Einstein?

Por el momento el modelo de espacio tiempo de la relatividad general no tiene cabida dentro de los modelos de campos cuánticos, motivo por el que se están buscando nuevos modelos de espacio tiempo compatibles con ambas. En este sentido la teoría de cuerdas propone un modelo de espacio tiempo de 11 dimensiones no demostrado, y es el candidato mas popular para una teoría de la nueva física. Otras corrientes de investigación buscan soluciones sobre modelos de espacio tiempo mas modestos en dimensiones, y también en los modelos ya conocidos.
Por el descubrimiento de la materia oscura, que debe suponer un al menos un 25% de la materia del universo. Es una materia no detectada directamente pero de la que se tiene constancia de sus efectos gravitatorios: La Vía Láctea presenta brazos espirales girados solamente una vuelta, sin embargo estos dos brazos tan definidos no concuerdan con la velocidad de rotación esperada. Esta debería ser mucho mayor en el centro que en la periferia; de acuerdo a las leyes de Kepler $T^2 \sim R^3$ con $T$ el periodo de rotación y $R$ el radio, y por tanto los brazos deberían presentar un enrollamiento importante. Se especula con que la galaxia entera está contenida dentro de una masa esférica de materia oscura, de modo que frena el giro de la galaxia entera. Nadie sabe por el momento que partículas pueden ser las que componen la materia oscura, pero parece casi seguro que precise física ajena al modelo estándar de partículas, y quizá acotar la horquilla de validez del modelo de espacio tiempo curvo de Einstein.

Por el descubrimiento de la energía oscura, que debe suponer aproximadamente el 70% de la masa del universo. Se trata de un tipo de energía negativa que aparece como contrapartida a la expansión acelerada del universo. Al contrario que la materia oscura no debe estar concentrada en galaxias y otras formaciones, sino que debe estar distribuida uniformemente en todo el espacio. La suma de las acciones gravitatorias de la materia oscura mas la energía oscura y la materia «normal» debe ser tal que la métrica del universo a gran escala sea plana, como demuestra el estudio de la radiación de fondo de microondas. De nuevo, una explicación satisfactoria acaso precise un nuevo modelo de espacio tiempo, como el de la teoría de cuerdas.

Por ahora los físicos experimentales van por delante presentando más material del que los teóricos son capaces de explicar, y existe una gran intriga sobre la validez de las teorías físicas que involucran nuevos modelos de espacio tiempo. ¿Cuál será la próxima forma de entender el espacio tiempo, tal que compatibilice la relatividad, la cuántica y los nuevos descubrimientos?

Y con esta pregunta termina este artículo. Como siempre espero que te haya gustado, y como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.