Teorema de Gödel - Fisicalandia : Teorema de incompletitud

El teorema de Gödel, o teorema de la incompletitud, establece límites fundamentales en las matemáticas, indicando que no es posible demostrar todas las fórmulas verdaderas utilizando únicamente la deducción dentro de un sistema lógico formal. Este teorema señala los confines del conocimiento accesible mediante la lógica formal, una cuestión que afecta tanto a las matemáticas como a disciplinas como la física.

De manera resumida, Gödel plantea que: «Existen fórmulas matemáticas verdaderas que no pueden ser demostradas dentro del sistema en el que se formulan». En realidad, lo que conocemos como el teorema de Gödel son dos teoremas: el primero aborda la existencia de proposiciones indemostrables en sistemas consistentes, mientras que el segundo afirma que dichos sistemas no pueden demostrar su propia consistencia. Estos conceptos clave serán analizados aquí en profundidad..

Índice

Algunas definiciones previas necesarias.

Axiomas

Los axiomas son las verdades fundamentales de un sistema lógico, a partir de los cuales se deducen los teoremas. Idealmente, estos axiomas deben ser mínimos y esenciales. En la geometría de Euclides, los axiomas principales son los siguientes:

Entre dos puntos se puede trazar una recta que los une.
Un segmento se puede prolongar en cualquier sentido.
Se puede trazar una circunferencia tomando un punto como centro, dado un radio.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Las rectas paralelas (que forman ángulo recto con una tercera secante) no se cruzan.

Con base en estos principios, Euclides desarrolló numerosos teoremas geométricos, los cuales recopiló en su influyente obra, Los Elementos. Este cuerpo de trabajo es la base de lo que conocemos como geometría euclidiana.

Sin embargo, posteriormente se descubrió que el quinto axioma no es universalmente válido. Al plantear alternativas a este axioma, como la posibilidad de que las rectas paralelas puedan cruzarse más de una vez o no cruzarse en absoluto, surgieron nuevas geometrías igualmente válidas, como la geometría hiperbólica y la geometría elíptica. Estas nuevas perspectivas ampliaron los horizontes del conocimiento matemático, permitiendo entender mejor la estructura del espacio en contextos no euclidianos.

Teorema de Godel, axiomas — Las paralelas se cortan dos veces en la esfera, divergen en la silla de montar, o mantienen la distancia en el plano (Geometría euclídea).

Otros ejemplos emblemáticos de axiomas surgen en el marco de la teoría de la relatividad. En esta, se toman como puntos de partida dos postulados clave: la constancia de la velocidad de la luz para todos los observadores independientemente de su estado de movimiento, y la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Estas verdades iniciales actúan como pilares fundamentales en la formulación de la teoría.

La axiomatización, en general, se considera un enfoque deseable en el desarrollo de cualquier sistema lógico, ya que permite estructurar las demostraciones de forma rigurosa y depurar las formulaciones al reducirlas a sus principios básicos. Este proceso no solo aporta claridad y consistencia, sino que también facilita la expansión de la teoría sobre bases sólidas.

En la física, esta tendencia hacia la axiomatización es una constante. Existe un esfuerzo continuo por reducir cada especialidad a un conjunto de principios esenciales que actúen como cimientos para deducir las leyes y fenómenos del universo. Es un movimiento hacia la simplicidad dentro de la complejidad, buscando orden en las estructuras que explican nuestra realidad.

Teoremas

Son enunciados verdaderos que se derivan de axiomas. Por ejemplo partiendo de los axiomas de Euclides se llega al teorema de Pitágoras. Otro ejemplo clásico sería la transformación de Lorentz en relatividad, que se deriva de la constancia de la velocidad de la luz para cualquier observador.

Sistema Consistente

Aquel en el que no se puede probar un enunciado y simultáneamente su negación. Exigir a un sistema lógico que sea consistente es un requisito muy débil, ya que lo mínimo que se debe exigir a un sistema lógico bien comportado es que no conduzca a contradicciones. Por ejemplo, en aritmética no se puede probar a la vez que $a+b=c$ , y a la vez $a+b\ne c$ .

Sistema Completo

Aquel en el que pueden probarse o refutarse todas las proposiciones (teoremas) partiendo de los axiomas y aplicando la lógica en un número finito de pasos. En el contexto del teorema de Gödel, precisamente esta característica es la que está en cuestión.

Sistema Incompleto

Al contrario que el completo, existen enunciados que no pueden deducirse de los axiomas, a los que se denominan enunciados indecidibles.

Vistas las anteriores definiciones, estamos ya en condiciones de presentar el primer y segundo teorema de incompletitud. Ten en cuenta que no se van a tratar rigurosamente -como lo hizo Gödel- con la finalidad de divulgar el razonamiento general..

Primer teorema de incompletitud.

Un sistema axiomático consistente que se derive de la aritmética, es necesariamente incompleto. En consecuencia existen fórmulas matemáticas (físicas) verdaderas, que evidentemente se derivan de la aritmética, que no podrán deducirse de los axiomas matemáticos usuales.

Segundo teorema de incompletitud.

No puede probarse que un sistema axiomático que se derive de la aritmética sea consistente, dentro de la lógica del propio sistema. Es decir, que no se puede garantizar que un sistema que se deriva de la aritmética sea consistente sin involucrar elementos externos a él mismo.

Implicaciones del Teorema de Gödel para la física.

Es importante aclarar que el teorema de incompletitud de Gödel no se aplica a cualquier sistema lógico, como la legislación o la geometría. Gödel demostró este teorema exclusivamente para sistemas axiomáticos que incluyen la aritmética, lo que implica que sí abarca toda la formulación matemática utilizada en las teorías físicas. Más tarde, este teorema fue retomado por autores como Alan Turing, quien lo adaptó al ámbito de la computación, y también ha sido extendido a otras disciplinas relacionadas con la lógica, adoptando interpretaciones ligeramente distintas.

Por lo tanto, el teorema de Gödel tiene repercusiones en la física. Aplicándolo, se puede deducir que el camino hacia una teoría del todo (ToE, Theory of Everything) podría requerir algo más que matemáticas puras. Podría ser necesario considerar ciertos resultados experimentales como axiomas, así como incluir deducciones basadas en una combinación de trabajo riguroso e intuición científica, al estilo de Schrödinger. Naturalmente, no sería posible demostrar la consistencia de dicha teoría, pero podría representar una aproximación válida a una posible ToE.

A modo de conclusión.

La impredecibilidad del universo se manifiesta en la física principalmente en tres formas:

Determinismo caótico: Aunque los sistemas deterministas, como los que describe la mecánica clásica, tienen leyes que definen su evolución, algunos de ellos son increíblemente sensibles a las condiciones iniciales. Esto significa que, en la práctica, es imposible predecir su comportamiento a largo plazo debido a la amplificación de pequeños errores o incertidumbres en las medidas iniciales. Ejemplo de esto son sistemas como el clima o el movimiento de los cuerpos en el sistema solar.
Indeterminismo cuántico: En la mecánica cuántica, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece un límite fundamental a nuestro conocimiento sobre pares de propiedades de las partículas, como posición y momento. Esto no es una cuestión de limitaciones tecnológicas, sino una característica inherente del universo cuántico, donde ciertos eventos suceden de manera probabilística en lugar de determinista.
Limitaciones por el teorema de incompletitud: Como señaló Gödel, incluso en los sistemas axiomáticos utilizados en la formulación matemática de las teorías físicas, existen verdades que no pueden ser demostradas dentro del sistema. Esto implica que, aunque las matemáticas sean la herramienta principal de la física, no son suficientes para describir o prever todos los fenómenos del universo.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_Gódel

https://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gódel

Dificultades no faltan, pero son las que lo hacen interesante. Como siempre, espero que haya gustado este post sobre el Teorema de Gödel y cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.