Teorema de Gödel

El teorema de Gödel o teorema de incompletitud limita las posibilidades de las matemáticas de demostrar fórmulas a través de la deducción. Dibuja el límite a lo que es posible conocer a través de la lógica formal tal y como se plantea en física y otras disciplinas.  Muy resumidamente hablando, el teorema de Gödel viene a decir que «no se puede demostrar cualquier fórmula matemática, aunque sea verdadera». Realmente el teorema de Gödel son dos teoremas que se tratan aquí…

Algunas definiciones previas necesarias.

Axiomas

Son las verdades iniciales de un sistema lógico, de los que por deducción se llega a los teoremas. Los axiomas deberían ser los menos posibles y por ejemplo en la geometría de Euclides son

  1. Entre dos puntos se puede trazar una recta que los une.
  2. Un segmento se puede prolongar en cualquier sentido.
  3. Se puede trazar una circunferencia tomando un punto como centro, dado un radio.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Las rectas paralelas (que forman ángulo recto con una tercera secante) no se cruzan.

Partiendo de estos axiomas, Euclides dedujo una gran cantidad de teoremas geométricos, que publicó en su trascendente volumen “Los elementos”. A esta geometría se le llama euclídea.  Posteriormente se descubrió que el 5º axioma no es verdadero en general. Planteando como 5º axioma la posibilidad de que las paralelas se cortan más de una vez, o no se corten, se llega a otras geometrías (teoremas) igualmente válidas.

Teorema de Godel, axiomas
Las paralelas se cortan dos veces en la esfera, divergen en la silla de montar, o mantienen la distancia en el plano (Geometría euclídea).

Otros ejemplos clásicos de axiomas se presentan en la teoría de la relatividad, planteando como puntos de partida la constancia de la velocidad de la luz para cualquier observador, y la igualdad entre la masa inercial y la masa gravitatoria.

En principio la axiomatización se suele considerar deseable ya que proporciona una higiene en las demostraciones, y la reducción de los sistemas lógicos a sus principios mínimos. Existe una pulsión permanente por axiomatizar la formulación en todas las especialidades de la física.

Teoremas

Son enunciados verdaderos que se derivan de axiomas.  Por ejemplo partiendo de los axiomas de Euclides se llega al teorema de Pitágoras. Otro ejemplo clásico sería la transformación de Lorentz en relatividad, que se deriva de la constancia de la velocidad de la luz para cualquier observador.

Sistema Consistente

Aquel en el que no se puede probar un enunciado y simultáneamente su negación. Exigir a un sistema lógico que sea consistente es un requisito muy débil, ya que lo mínimo que se debe exigir a un sistema lógico bien comportado es que no conduzca a contradicciones. Por ejemplo, en aritmética no se puede probar a la vez que a+b=c , y a la vez a+b\ne c .

Sistema Completo

Aquel en el que pueden probarse o refutarse todas las proposiciones (teoremas) partiendo de los axiomas y aplicando la lógica en un número finito de pasos. En el contexto del teorema de Gödel, precisamente esta característica es la que está en cuestión.

Sistema Incompleto

Al contrario que el completo, existen enunciados que no pueden deducirse de los axiomas, a los que se denominan enunciados indecidibles.

Vistas las anteriores definiciones, estamos ya en condiciones de presentar el primer y segundo teorema de incompletitud. Ten en cuenta que no se van a tratar rigurosamente -como lo hizo Gödel- con la finalidad de divulgar el razonamiento general..

Primer teorema de incompletitud.

Un sistema axiomático consistente que se derive de la aritmética, es necesariamente incompleto. En consecuencia existen fórmulas matemáticas (físicas) verdaderas, que evidentemente se derivan de la aritmética, que no podrán deducirse de los axiomas matemáticos usuales.

Segundo teorema de incompletitud.

No puede probarse que un sistema axiomático que se derive de la aritmética sea consistente, dentro de la lógica del propio sistema. Es decir, que no se puede garantizar que un sistema que se deriva de la aritmética sea consistente sin involucrar elementos externos a él mismo.

Implicaciones del Teorema de Gödel para la física.

Conviene aclarar primero que el teorema de incompletitud no se refiere a cualquier sistema lógico, como puedan ser la legislación o la geometría. Gödel demostró el teorema solamente para cuerpos axiomáticos que incluyen la aritmética; por tanto sí que abarca toda la formulación matemática de las teorías físicas. Posteriormente fue resucitado por otros autores como Turing, quien lo aplicó a la computación, y también ha sido exportado a otras disciplinas relacionadas con la lógica, adoptando formas sutilmente diferentes.

El teorema de Gödel por tanto afecta a la física. Aplicándolo, vemos que el camino a la teoría del todo (ToE) puede incluya algo más que matemáticas. Por ejemplo puede que haya que considerar como teoremas algunos resultados experimentales, y quizá también deducciones provenientes de la suma de trabajo e intuición «a la Schrödinger».  Naturalmente no podríamos probar que fuera una teoría consistente, pero podría ser una posible ToE.

teorema de godel, consecuencias

A modo de conclusión.

La imposibilidad de predecir el comportamiento del universo se presenta en la física al menos con estos tres «sabores»:

  • El caos determinista de la mecánica clásica.
  • La formulación de la mecánica cuántica como teoría formalmente estadística, con el principio de indeterminación en punta de lanza.
  • El teorema de incompletitud de Gödel.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_Gódel

https://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gódel

Dificultades no faltan, pero son las que lo hacen interesante. Como siempre, espero que haya gustado este post sobre el Teorema de Gödel y cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.