1-Forma diferencial

Antes de continuar es necesario comentar que este artículo es una continuación de los artículos sobre covectores y operadores derivada direccional.

Qué es una 1-forma diferencial

Previamente recordaremos que el espacio tangente de una variedad nos presenta varios isomorfismos, y uno de ellos es el espacio vectorial de operadores derivada direccional, al que se refiere implícitamente en todo este artículo.  Otros isomorfismos como pueden ser el de «haz de flechas tangentes en un punto de la variedad» o bien el de tuplas de números, no son los que aplican para la definición de una 1-forma.

Una 1-forma diferencial es un tipo particular de covector.  En concreto es un elemento del espacio dual del espacio tangente de una variedad.

Se ha visto en el post sobre covectores que para un espacio V sobre un cuerpo F, su dual serán aplicaciones f:V \longrightarrow F. Para el tipo particular en el que el espacio V sea el espacio tangente de una variedad T_pC, su dual T_pC^* deben ser aplicaciones d\phi:T_pC \longrightarrow F.

Veamos como se construye este espacio dual en particular.

Correspondencia vector-covector

Para cada elemento de un espacio tangente de una variedad T_pC cuyas componentes son \xi= (\xi^1,\xi ^ 2,..., \xi ^ n), y que teniendo en cuenta cual es su base, se puede denotar también como

\xi= \xi^1 \frac{\partial }{\partial x_1} + \xi^2 \frac{\partial }{\partial x_2} +...+\xi^n \frac{\partial }{\partial x_n}

existe un correspondiente dual que pertenece a T_pC^* cuyas componentes son d\phi= ( \xi^1,\xi^2 ,...,\xi^n), o sea, las mismas. Y teniendo en cuenta que su base es B_p^* =\{ dx,dy,dz \} se puede denotar también como

d\phi= \xi^1 dx_1 + \xi^2 dx_2 +...+\xi^n dx_n

Un ejemplo sería d\phi= 2 dx + 3dy+ 5dz

Es decir, que para cada elemento del espacio tangente \xi de una variedad C, existe un d\phi correspondiente, que es su dual, al que se denomina 1-forma diferencial o derivada total, y se ve que lleva información de cómo es la tasa de variación de un campo escalar \phi o 0-forma, al moverse por sus líneas coordenadas.

Bien, se ha definido el covector, pero no se ha demostrado que cumple los requisitos para serlo:

  • Debe proyectar elementos \xi \in T_pC sobre escalares, algo así como d\phi(\xi)\longrightarrow F
  • Debe cumplir las condiciones de linealidad
  • Sus componentes deben ser covariantes a un cambio de base en el espacio vectorial T_pC

Vamos con estas tres condiciones a continuación.

Proyección del espacio tangente de una variedad sobre escalares

En este apartado se va a demostrar que es posible proyectar elementos del espacio tangente de una variedad (operadores derivada direccional) sobre escalares, empleando como medio una 1-forma.  Se trata de encontrar alguna forma de calcular d\phi(\xi), siendo \xi un elemento del espacio tangente.

Para calcular d\phi(\xi) se define la operación como un producto escalar de los elementos del espacio tangente por la 1-forma diferencial, es decir se define d\phi(\xi) =d\phi.\xi

Veámoslo con un ejemplo, sean:

d\phi=2xdx+2ydy \equiv (2x,2y) \xi=4 \frac{\partial}{\partial x}+4 \frac{\partial}{\partial y} \equiv (4,4)

su producto escalar será directamente el escalar 8x+8y, pero si lo dejamos así estaríamos obviando una cuestión que no es trivial, ya que el desarrollo completo

d\phi(\xi) =d\phi.\xi=8xdx. \frac{\partial}{\partial x}+ 8xdx  .\frac{\partial}{\partial y}+8ydy  .\frac{\partial}{\partial x}+8ydy. \frac{\partial}{\partial y}

exige necesariamente interpretar los productos escalares de las bases como escalares (claro).  En concreto se requiere cumplir la definición de base dual, que aplicada a este caso obliga a que (no olvidar el que el símbolo . cuenta)

dx_i .\frac{\partial}{\partial x_j}=\delta_j^i

y puede que sea la mayor dificultad conceptual de este tema.

 

Linealidad de las 1-formas

Sencillamente sean d\phi_1 una 1-forma, \xi_1,\xi_2 dos operadores derivada direccional , y \lambda un escalar. Por las propiedades del producto escalar

\lambda d\phi(\xi_1+\xi_2) =\lambda d\phi.(\xi_1+\xi_2)=\lambda d\phi.(\xi_1)+\lambda d\phi.(\xi_2)

las 1-formas cumplen la condición de linealidad.

Covarianza

Esto vamos a verlo con un ejemplo en lugar de una demostración rigurosa, porque la primera vez puede resultar más claro. Se trata de comprobar que cuando cambia la base del espacio vectorial, las componentes de la 1-forma son covariantes, es decir, cambian en la misma medida.

Sea T_p(\mathbb R^2) el espacio tangente en un punto p de la variedad \mathbb R^2 con base B=\{\vec e_1, \vec e_2\}=\left \{ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right \}

La base del dual \mathbb R^{*2} es B^*=\{\epsilon^1, \epsilon^2\}=\{dx,dy \}

Se realiza el cambio de base «doble tamaño» en \mathbb R^2 a B'=\{\vec e'_1, \vec e'_2\}=\left \{2 \frac{\partial}{\partial x}, 2\frac{\partial}{\partial y} \right \}

Lo primero es encontrar ahora la nueva base dual. Resulta que por definición \epsilon'^i(\vec e'_j)=\delta_j^i, con lo que es necesario que si la base vectorial es «doble tamaño», la base dual sea «mitad de tamaño» para conservar \delta_j^i, o sea B'^*=\{\epsilon'^1, \epsilon'^2\}=\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}

Finalmente hay que ver como varían las componentes de alguna 1-forma diferencial, por ejemplo la que se deriva del campo escalar (0-forma)  \phi(C)=x^2+y^2.

d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy=2xdx+2ydy \equiv \left (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y} \right ) =(2x,2y)

Cambiamos la base a la de «mitad tamaño» {B'_p}^* =\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}=\{ dx',dy' \} , y sustituyendo en la expresión de la 1-forma

d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy=\frac{\partial \phi}{\partial x} {2dx' } + \frac{\partial \phi}{\partial y} {2dy' } \equiv (4x,4y)

Como el cambio en la base del espacio vectorial al «doble tamaño», duplica las componentes de la 1-forma, se trata de una relación de proporción covariante, y la 1- forma se ha comportado en este caso como un covector.

Interpretación de 1-formas diferenciales como campos de covectores

Supongamos que tenemos una variedad 2-dimensional \mathcal C que sea por ejemplo el espacio de configuración de algún modelo lagrangiano.  Se define la diferencial total de una función escalar \phi(\mathcal C) definida sobre la variedad como

d\phi=\underbrace {\frac{\partial \phi}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi}{\partial y}dy}_{1-forma}

En la práctica se evalúa una 1-forma en cada punto de una variedad, obteniendo un covector para cada punto.  El conjunto de todos estos covectores para una variedad se denomina campo de covectores.  Algunos ejemplos son:

  • d\phi= 2x dx + 3ydy+ 5zdz
  • d\phi= 2yz dx + 3zy^2dy+ dz

El conjunto unión de todos los puntos de la variedad con todas las 1-formas genera el fibrado cotangente T^*(C) de la variedad

Interpretación geométrica de 1-formas diferenciales

Sobre el plano

Si visitas el artículo sobre covectores verás que se puede interpretar un covector como una serie de líneas paralelas que trocean vectores.  El número de trozos sería la aplicación del covector a un vector, resultando un escalar que es el número de trozos en los que rompemos el vector.

Covector representacion geométrica
Covector representación geométrica

Para el caso de un campo covectorial, como pueden ser las 1-formas que se derivan del campo escalar «altura sobre el nivel del mar», se evalúa el covector en cada punto obteniendo las curvas de nivel del campo escalar.

1-Forma diferencial 2

En el espacio

Se puede continuar la analogía del ejemplo anterior, y encontraríamos superficies de nivel. Localmente se puede imaginar una 1-forma diferencial en un punto de una variedad como un trocito de una superficie de nivel. En el ejemplo concreto de d\phi= f(x,y, z)dx como un elemento de volumen de grosor infinitesimal en la dirección expresada por la línea coordenada correspondiente. La integración de este elemento de volumen es el abc de los modelos matemáticos de la física.

1-forma
Imagen figurativa de una 1-forma diferencial del tipo d\phi= f(x,y, z)dx en un punto

Y sin más espero haber aportado claridad en la interpretación de la 1-forma diferencial. Como siempre cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.

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