1-Forma diferencial

Antes de continuar, si no te sientes cómodo con los conceptos de covector y operador derivada direccional puedes ver los correspondientes artículos.

Qué es una 1-forma diferencial

Recordemos que el espacio tangente de una variedad nos presenta varios isomorfismos, y uno de ellos es el espacio vectorial de operadores derivada direccional, al que nos referiremos implícitamente en todo este artículo.  Otros isomorfismos como pueden ser el de «haz de flechas tangentes en un punto de la variedad» o bien el de tuplas de números, no son los que aplican para la definición de una 1-forma diferencial.

Una 1-forma diferencial es un tipo particular de covector : Se trata de un elemento del espacio dual del espacio tangente de una variedad.

Se ha visto en el post sobre covectores que para un espacio V sobre un cuerpo F, su dual serán aplicaciones f:V \longrightarrow F. Para el tipo particular en el que el espacio V sea el espacio tangente de una variedad en un punto T_pC, su dual T_pC^* son aplicaciones d\phi:T_pC \longrightarrow F definidas empleando como ingrediente principal campos escalares previamente existentes \phi así

d\phi(\xi)=\xi(\phi) \quad \forall \xi \in T_pC

Por ejemplo sea \phi(x,y)=x^2+y^2 el campo escalar preexistente y \xi=3{\partial \over \partial x}+2{\partial \over \partial y}, entonces

\small d\phi \left(3{\partial \over \partial x}+2{\partial \over \partial y} \right)=3{\partial \phi \over \partial x}+2{\partial \phi \over \partial y}=6x+4y 

Por tanto la definición dada proyecta vectores del espacio tangente sobre el cuerpo de escalares.

Correspondencia con la noción de diferencial

¿La definición dada de 1-forma corresponde con la noción intuitiva de de diferencial de un campo escalar? Veámoslo siguiendo el ejemplo anterior. La diferencial del campo escalar sería d\phi=2xdx+2ydy. Si fuera aplicado al mismo vector, debería entregar el mismo escalar.

\small d\phi=(2xdx+2ydy)\left(3{\partial \over \partial x}+2{\partial \over \partial y} \right)=\\=6x+4y

No es sorprendente ya que la derivada parcial lleva implícito el cociente de diferenciales.

Base del espacio de 1-formas

A continuación veremos cómo B^*=\{dx_1, dx_2,...,dx_n\} es una base conveniente para el espacio de 1-formas.  

Puede costar visualizar la dualidad de las bases si se piensa en ellas como objetos geométricos «tangentes» y «normales» a una variedad.  Una posible ayuda puede ser pensar en que sus componentes se transforman ante un cambio de base de forma contravariante y covariante respectivamente.

Sin embargo es casi inmediato comprobar algebraicamente cómo se cumple la definición de base dual dada la definición que se ha visto arriba de 1-forma d\phi(v)=v(\phi) \quad \forall v \in T_pC.  Debe cumplirse también para las bases y por tanto

dx_i \left ({\partial \over \partial x_j} \right )={\partial x_i \over \partial x_j}=\delta^j_i

Covarianza

Esto vamos a verlo con un ejemplo en lugar de una demostración rigurosa, porque la primera vez puede resultar más claro. Se trata de comprobar que cuando cambia la base del espacio vectorial, las componentes de la 1-forma son covariantes, es decir, cambian en la misma medida.

Sea T_p(\mathbb R^2) el espacio tangente en un punto p de la variedad \mathbb R^2 con base B=\{\vec e_1, \vec e_2\}=\left \{ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right \}

La base del dual \mathbb R^{*2} es B^*=\{\epsilon^1, \epsilon^2\}=\{dx,dy \}

Se realiza el cambio de base «doble tamaño» en \mathbb R^2 a B'=\{\vec e'_1, \vec e'_2\}=\left \{2 \frac{\partial}{\partial x}, 2\frac{\partial}{\partial y} \right \}

Lo primero es encontrar ahora la nueva base dual. Resulta que por definición \epsilon'^i(\vec e'_j)=\delta_j^i, con lo que es necesario que si la base vectorial es «doble tamaño», la base dual sea «mitad de tamaño» para conservar \delta_j^i, o sea B'^*=\{\epsilon'^1, \epsilon'^2\}=\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}

Finalmente hay que ver como varían las componentes de alguna 1-forma diferencial, por ejemplo la que se deriva del campo escalar (0-forma)  \phi(C)=x^2+y^2.

\small d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy=2xdx+2ydy \equiv \\ \equiv \left (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y} \right ) =(2x,2y)

Se cambia la base dual a la de «mitad tamaño» {B'_p}^* =\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}=\{ dx',dy' \} , y sustituyendo en la expresión de la 1-forma

\small d\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \phi}{\partial y} dy=\frac{\partial \phi}{\partial x} {2dx' } + \frac{\partial \phi}{\partial y} {2dy' } \equiv \\ \equiv (4x,4y)

Como el cambio en la base del espacio vectorial al «doble tamaño», duplica las componentes de la 1-forma, se trata de una relación de proporción covariante, y la 1- forma se ha comportado en este caso como un covector.

1-formas diferenciales como campos de covectores

Supongamos que tenemos una variedad 2-dimensional \mathcal C que sea por ejemplo el espacio de configuración de algún modelo lagrangiano.  Se define la diferencial total de una función escalar \phi(\mathcal C) definida sobre la variedad como

d\phi=\underbrace {\frac{\partial \phi}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi}{\partial y}dy}_{1-forma}

En la práctica se evalúa una 1-forma en cada punto de una variedad, obteniendo un covector para cada punto.  El conjunto de todos estos covectores para una variedad se denomina campo de covectores.  Algunos ejemplos son:

  • d\phi= 2x dx + 3ydy+ 5zdz
  • d\phi= 2yz dx + 3zy^2dy+ dz

El conjunto unión de todos los puntos de la variedad con todas las 1-formas genera el fibrado cotangente T^*(C) de la variedad

Interpretación geométrica de 1-formas diferenciales

Sobre el plano

Si visitas el artículo sobre covectores verás que se puede interpretar un covector como una serie de líneas paralelas que trocean vectores.  El número de trozos sería la aplicación del covector a un vector, resultando un escalar que es el número de trozos en los que rompemos el vector.

Covector representacion geométrica
Covector representación geométrica

Para el caso de un campo covectorial, como pueden ser las 1-formas que se derivan del campo escalar «altura sobre el nivel del mar», se evalúa el covector en cada punto obteniendo las curvas de nivel del campo escalar.

1-Forma diferencial 2

En el espacio

Se puede continuar la analogía del ejemplo anterior, y encontraríamos superficies de nivel. Localmente se puede imaginar una 1-forma diferencial en un punto de una variedad como un trocito de una superficie de nivel. En el ejemplo concreto de d\phi= f(x,y, z)dx como un elemento de volumen de grosor infinitesimal en la dirección expresada por la línea coordenada correspondiente. La integración de este elemento de volumen es el abc de los modelos matemáticos de la física.

1-forma
Imagen figurativa de una 1-forma diferencial del tipo d\phi= f(x,y, z)dx en un punto

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/1-forma

https://es.wikipedia.org/wiki/Forma_diferencial

Y sin más espero haber aportado claridad en la interpretación de la 1-forma diferencial. Como siempre cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.

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