1 – Formas

Espacio dual del espacio tangente de una variedad

Se ha comentado en el post anterior de Espacio Dual, que existen algunos espacios duales interesantes, pero no se ha entrado en detalle en ellos. En este post veremos cómo es el espacio dual del espacio tangente de una variedad y su relación con el concepto de derivada total o 1-formas.

Coleccionando algunas ideas previas

Coordenadas: Las coordenadas de un vector indican cuantas veces hay que tomar cada elemento de la base, por ejemplo (2,3,5). Lo que así se escribe sin embargo NO indica nada acerca de cual es la base. De esta forma se puede decir que (2,3,5) NO es un vector, sino la representación de un vector dada una base. Usando esta representación sólo se evidencia que el cuerpo F sobre el que está definido el espacio vectorial podría ser \mathbb R o \mathbb C por ejemplo y, ah si! que es tridimensional, con coordenadas 2, 3 y 5.

La distinción sugerida arriba atrapa la idea de que cuando se denota (2,3,5), realmente no se está denotando ningún espacio vectorial concreto, sino que la tupla (2,3,5) denota a la vez elementos de infinitos espacios vectoriales. Estos espacios serán de diferentes tipo de vectores (flechas, tuplas, operadores derivada direccional, elefantes o lo que sea), con coordenadas sobre el mismo cuerpo F, y de la misma dimensión.

Dicho lo anterior queda claro que tomando como espacio vectorial «principal» el espacio tangente de una variedad T_pC , se puede encontrar un conjunto de vectores base de algún otro espacio vectorial T_pC^* «correspondientes uno a uno» con los vectores base del espacio principal. ¿Como sería entonces la correspondencia entre elementos de ambos espacios vectoriales? Pues una manera es teniendo las mismas coordenadas. ¿Este nuevo espacio sería util para algo? Pues depende de cual sea el tipo de vectores base, desde luego si se toma una base de elefantes no, pero si se elige bien otra base si.

Bases: La base del espacio «principal», tangente en un punto p a la variedad C (Como se ha comentado T_pC) es tal y como se vió en el post de Espacio tangente de una variedad de este tipo:

B_p=\left \{ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right \}

Se puede definir ahora la base de nuestro espacio dual T_pC^* como

B_p^*=\left \{ dx,dy,dz \right \}

No hay que olvidar que esta base no es sino un caso particular de un dual genérico V^*.

Qué es una 1-forma

Se ha visto que para un espacio V sobre un cuerpo F, su dual serán aplicaciones f:V \longrightarrow F. Para el caso concreto en el que el espacio V sea el espacio tangente de una variedad T_pC podemos decir que su dual T_pC^* son aplicaciones d\phi:T_pC \longrightarrow F. Veamos la correspondencia entre los elementos de estos dos espacios.

Para cada elemento de un espacio tangente de una variedad T_pC cuyas coordenadas son \xi= (\xi^1,\xi ^ 2,..., \xi ^ n), y que teniendo en cuenta cual es su base se puede denotar también como

\xi= \xi^1 \frac{\partial }{\partial x_1} + \xi^2 \frac{\partial }{\partial x_2} +...+\xi^n \frac{\partial }{\partial x_n}

resulta que existe un correspondiente dual que pertenece a T_pC^* cuyas coordenadas son d\phi= ( \xi^1,\xi^2 ,...,\xi^n), o sea, las mismas. Y teniendo en cuenta cual es su base se puede denotar también como

d\phi= \xi^1 dx_1 + \xi^2 dx_2 +...+\xi^n dx_n

Es decir que para cada \xi existe un d\phi correspondiente, que es su dual, al que se denomina 1-forma diferencial. También se le llama gradiente o derivada total, y lleva información de como es la tasa de variación de un campo escalar al moverse por sus líneas coordenadas.

Un ejemplo de 1-forma siguiendo el hilo anterior sería d\phi= 2 dx + 3dy+ 5dz

Interpretación geométrica de las 1-formas

Se puede interpretar geométricamente una 1-forma como un elemento de volumen de grosor infinitesimal en la dirección expresada por la línea coordenada correspondiente. La integración de este elemento de volumen es el abc de los modelos matemáticos de la física.

1-forma
Imagen figurativa de una 1-forma diferencial del tipo d\phi= f(x,y, z)dx

Interpretación de 1-formas como campo de covectores

Supongamos que tenemos una variedad 2-dimensional \mathcal C que sea por ejemplo el espacio de configuración de algún modelo lagrangiano.  Se define la diferencial total de una función escalar \phi(\mathcal C) definida sobre la variedad como

d\phi=\underbrace {\frac{\partial \phi}{\partial x}dx+\frac{\partial \phi}{\partial y}dy}_{1-forma}

En la práctica se evalúa una 1-forma en cada punto de una variedad, estructura a la que se denomina campo de covectores, atendiendo al origen de las 1-formas como casos particulares de covectores.  Algunos ejemplos son:

  • d\phi= 2x dx + 3ydy+ 5zdz
  • d\phi= 2yz dx + 3zy^2dy+ dz

La unión de todos los puntos de la variedad con todas las 1-formas genera el fibrado cotangente T^*(C) de la variedad

Producto escalar de operadores derivada direccional por 1-formas (vectores por covectores)

Recordemos el operador derivada direccional que se utilizó en el post sobre espacios tangentes y operadores derivada direccional:

\xi=4 \frac{\partial}{\partial x}+4 \frac{\partial}{\partial y} \equiv (4,4)

Hagamos la locura de multiplicar escalarmente una 1-forma, por ejemplo la que se deriva de \phi(C)=x^2+y^2, por este operador y veamos el resultado

d\phi.\xi= \left (\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y} \right ) .(4,4)=4 \frac{\partial \phi}{\partial x} + 4 \frac{\partial \phi}{\partial y} =4.2x+4.2y=\xi(\phi)

Resulta que el producto escalar del operador derivada direccional por una 1-forma, produce la derivada direccional de \phi(C) en cada punto de la variedad! (comparese con el mismo valor obtenido en el post de espacio tangente y operador derivada direccional)

Lo que justifica la visión de una 1-forma d\phi como una aplicación de un campo vectorial \xi a un campo escalar \xi(\phi). Esta aplicación d\phi se opera como un producto escalar: d\phi.\xi .

Y sin más espero haber aportado claridad en la interpretación de las 1-formas. Como siempre cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.

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