Algebra Exterior

Nota previa: En lo que sigue se tratará solamente el álgebra exterior de espacios vectoriales de dimensión finita, y principalmente sobre \mathbb R, ya que es suficiente para el propósito de este artículo.

Los productos entre vectores

Cuando se usan vectores y espacios vectoriales, se maneja un conjunto con una definición de suma y un producto por un escalar. Intuitivamente un espacio vectorial puede entenderse como un sistema de sumas, tal que todos los elementos pueden obtenerse por medio de sumas de otros.

Sin embargo la suma de vectores no es suficiente para muchas aplicaciones, y se requiere definir productos entre vectores como:

\mathbf v=\alpha_1 \mathbf e_1+\alpha_2 \mathbf e_2+…+\alpha_n \mathbf e_n

El producto interior

También producto escalar o producto punto, que devuelve un escalar cuyo valor es la proyección de un vector sobre el otro

\mathbf v . \mathbf u=v_1u_1+v_2u_2+...+v_nu_n

El producto vectorial

También producto cruz. Se define solo entre vectores tridimensionales, y devuelve un vector perpendicular a los otros dos en el sentido de la «regla del sacacorchos».

\mathbf v \times \mathbf u=\begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\v_x & v_y & v_z \\ u_x & u_y & u_z \end{bmatrix}

El producto tensorial

Que de dos vectores entendidos como aplicaciones lineales, devuelve un operador bilineal (si te cuesta un poco éste, puedes ver el artículo sobre tensores)

\mathbf v \otimes \mathbf u= \begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}u_1 & u_2 & u_3 & u_4\end{bmatrix} = \\ =\begin{bmatrix}v_1u_1 & v_1u_2 & v_1u_3 & v_1u_4 \\ v_2u_1 & v_2u_2 & v_2u_3 & v_2u_4 \\ v_3u_1 & v_3u_2 & v_3u_3 & v_3u_4 \end{bmatrix}

Finalmente existe otro producto que es el motivo de este artículo…

El producto exterior

O producto cuña. La utilidad quizá más evidente de este producto es para trabajar con áreas y volúmenes n-dimensionales. Este producto aplicado por ejemplo a vectores de \mathbb R^2 devuelve el área del paralelogramo formado por ellos.

\mathbf v \wedge \mathbf u=det \begin{bmatrix} v_1 & v_1 \\ u_1 & u_2 \end{bmatrix}

Y para tres vectores en \mathbb R^3 devuelve el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores

\mathbf v \wedge \mathbf u \wedge \mathbf w=det \begin{bmatrix} v_1 & v_2 &v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{bmatrix}

y en general para n vectores n-dimensionales devuelve la magnitud del volumen n-dimensional correspondiente.

El sistema algebraico formado por un espacio vectorial al que se le dota de un producto exterior se llama álgebra exterior o álgebra de Grassmann (1844), en honor a su principal descubridor. El interés que tiene para la física el álgebra exterior es máximo:

  • Invariablemente lo que se mete dentro de una integral, el integrando, será un elemento de línea, de superficie, de volumen o k-volumen «infinitesimales», que son elementos de un álgebra exterior. Se les denomina k-formas diferenciales y se tratan más adelante.
  • El determinante de la matriz jacobiana que se introduce al realizar cambios de variable en una k-integral, como por ejemplo al cambiar el sistema de coordenadas, proviene del álgebra exterior.
  • También permite extender el concepto de derivada a k-formas diferenciales a través de la derivada exterior, desarrollo que debemos al matemático Élie Cartan. Por ejemplo el tensor de Faraday, que es el invariante relativista que representa el campo electromagnético (una 2-forma), se obtiene como derivada exterior del cuadripotencial electromagnético (una 1-forma).

El objetivo de este artículo es por tanto el de ser la antesala de otro (en construcción) que tiene un interés más general en física, que se refiere a k-formas diferenciales.

Propiedades básicas del producto exterior

El producto exterior es distributivo para la suma, pero su propiedad estrella es que es anticonmutativo, esto es si \mathbf v, \mathbf u \in \mathbb R^n, entonces

\mathbf v \wedge \mathbf u=-\mathbf u \wedge \mathbf v \implies \mathbf v \wedge \mathbf v=0

Adelantamos que si el producto exterior tiene mayor grado que la dimensión del espacio vectorial, el resultado es nulo porque necesariamente todos los elementos del producto tienen alguna base repetida, y por tanto se anulan.

Depende de cuantas veces se aplique el producto exterior a un espacio vectorial las propiedades del resultado son netamente diferentes, y vamos a desarrollarlo a base de ejemplos sobre \mathbb R^n. Comenzaremos por el más simple con interés, \Lambda^2 (\mathbb R^2).

Bivectores en R2

Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^2)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^2. Su producto exterior en componentes, teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería

\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2)= \\ =a_1b_2 \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2- a_2b_1\mathbf e_2 \wedge \mathbf e_1 =\\= (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 = \\= det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2

Este es el momento de introducir una idea que si no se interioriza puede llevar a confusión. Del desarrollo de arriba es claro que las componentes linealmente dependientes (l.d.), de coeficientes a_1b_2 y a_2b_1, se consolidan en una única componente con coeficiente (a_1b_2-a_2b_1). Pero ¿sabremos siempre cómo contribuye cada una de las componentes l.d. al valor escalar (a_1b_2-a_2b_1)? La solución salomónica pasa por otorgar a cada componente l.d. la mitad del valor final, y así se definen las 2=2! componentes del bivector como

a_1b_2=\frac{1}{2}(a_1b_2-a_2b_1) \qquad a_2b_1=-\frac{1}{2}(a_2b_1-a_1b_2) \qquad \color{red} a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)

De donde se deriva una conocida expresión para el producto exterior en componentes

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{2!}{1!1!} \color{red} a_{[i}b_{j]} \color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j=(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j

Dimensión: El resultado solo tiene una dimensión. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 , y no se trata de un vector, ya que los vectores son los elementos que se multiplican. Este elemento es un bivector, y pertenece al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^2.

Magnitud: Casualmente el escalar que precede a la base \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 coincide con el área del paralelogramo formado por ambos vectores. Existen infinitos paralelogramos con un área dada con lo que interpretar geométricamente un bivector con el paralelogramo formado por ambos vectores es una cuestión de preferencia. Si se toman los coeficientes definidos con los corchetes de antisimetrización, se interpreta geométricamente como el paralelogramo de lados iguales cuya área es coincidente con la magnitud del bivector.

Orientación: Notemos que si conmutamos el producto, éste cambia de signo, lo que permite definir una orientación de la figura «positiva» o «negativa» dados unos ejes.

Algebra exterior, bivector
Representación de un bivector como superficie orientada en \mathbb R^2

Para el ejemplo de la figura superior con la orientación de ejes dada, y con \mathbf a=(2,1) y \mathbf b=(-1,2)

\mathbf a \wedge \mathbf b=5 \qquad \mathbf b \wedge \mathbf a=-5

De modo que el signo representa la orientación del producto.

Bivectores en R3

Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^3)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3. El producto exterior en componentes, teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería

\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3)= \\ = (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (a_1b_3-a_2b_3) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3+(a_2b_3-a_3b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3

Igual que en el caso anterior se generalizan los coeficientes de las las 2=2! componentes linealmente dependientes con los corchetes de antisimetrización

\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)

La expresión general para el producto exterior de bivectores en componentes ya enunciada sigue siendo válida

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{2!}{1!1!}\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j=(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j

Dimensión: El resultado tiene tres dimensiones. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 , son bivectores, y pertenecen al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^3.

Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de tres figuras planas inmersas en \mathbb R^3. Los coeficientes que preceden a los bivectores base coinciden con las componentes del producto vectorial.

Orientación: Cada bivector se puede interpretar como el área de una figura plana orientada. La longitud de los «lados» no está determinada siempre que el área coincida con el coeficiente que precede a cada base.

Algebra exterior, bivector
Representación de un bivector como superficie orientada en \mathbb R^3

Relación con el producto vectorial: Es imposible no realizar el paralelismo del producto exterior con el producto vectorial a la vista de las componentes, pero existe una diferencia fundamental. El producto vectorial devuelve un vector cuya orientación (signo) depende del criterio de la «regla del sacacorchos», que es una definición arbitraria, motivo por el que se le denomina vector axial o pseudovector. En el caso del producto exterior, el resultado depende del orden en el que se multiplican los vectores.

Adicionalmente notemos que el producto exterior devuelve tres bivectores, y el producto vectorial un vector. La diferencia es total.

Trivectores en R3

Espacio: \Lambda^3 (\mathbb R^3)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b , \mathbf c \in \mathbb R^3. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería

\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3) \wedge (c_1 \mathbf e_1+c_2 \mathbf e_2+c_3 \mathbf e_3)= \\ =det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_3 \\ b_1 & b_2& b_3 \\ c_1 & c_2& c_3 \end{bmatrix}\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3

Similarmente a los casos anteriores, se definen los 6=3! coeficientes de las componentes linealmente dependientes para «equilibrar sus pesos» así

\color {red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}=\frac{1}{3!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}

Y de lo visto, resulta que la expresión generalmente conocida para el producto exterior de tres vectores en componentes es esta

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_j \mathbf e_k)=\frac{3!}{1!1!1!}\color{red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j\wedge\mathbf e_k==det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j\wedge\mathbf e_k

Dimensión: El resultado tiene una dimensión. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 , es un trivector, y pertenecen al espacio cubo exterior de \mathbb R^3.

Magnitud: La interpretación geométrica es el paralelepípedo formado por los tres vectores que se multiplican, ya que su coeficiente coincide con el volumen de esta figura, ¡aunque existen infinitos paralelepípedos que cumplen esta condición!.

Orientación: Al igual que para los bivectores, al cambiar el lugar de dos vectores cambia el signo del resultado. Sirve para caracterizar un elemento de volumen orientado.

Algebra exterior, trivector
Representación de un trivector como volumen orientado en \mathbb R^3

Bivectores en R4

Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^4)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^4. El producto en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería

\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3+a_4 \mathbf e_4) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3+b_4 \mathbf e_4)= \\ = (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (a_1b_3-a_3b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3+ (a_1b_4-a_4b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_4+\\+(a_2b_3-a_3b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3+(a_2b_4-a_4b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_4+\\+(a_3b_4-a_4b_3) \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4

Como para los bivectores ya vistos, se definen los 2=2! coeficientes de las componentes linealmente dependientes de los 6 bivectores considerados, con los corchetes de antisimetrización

\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)

La expresión general para el producto exterior de bivectores en componentes sigue siendo válida

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{2!}{1!1!}\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j=(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j

Dimensión: El resultado tiene seis dimensiones. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_4, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_4, \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4 y son bivectores que pertenecen al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^4.

Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de seis figuras planas inmersas en \mathbb R^4, cuyas superficies coinciden con los coeficientes que preceden a las bases.

Orientación: El comentario es el mismo que para \Lambda^2 (\mathbb R^3)

Trivectores en R4

Espacio: \Lambda^3 (\mathbb R^4)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^4. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo, teniendo en cuenta que el lector ya debe haber recogido la idea general, denotando los multivectores base como \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \equiv \mathbf e_{123}, y los coeficientes como \mathcal C_n, por abreviar la notación …

\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c= \mathcal C_1 \mathbf e_{123}+ \mathcal C_2 \mathbf e_{124}+ \mathcal C_3 \mathbf e_{134}+ \mathcal C_4 \mathbf e_{234}\mathcal C_1=det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_3 \\ b_1 & b_2& b_3 \\ c_1 & c_2& c_3 \end{bmatrix} \qquad \mathcal C_2=det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_4 \\ b_1 & b_2& b_4 \\ c_1 & c_2& c_4 \end{bmatrix}\mathcal C_3=det \begin{bmatrix} a_1 & a_3& a_4 \\ b_1 & b_3& b_4 \\ c_1 & c_3& c_4 \end{bmatrix} \qquad \mathcal C_4=det \begin{bmatrix} a_2 & a_3& a_4 \\ b_2 & b_3& b_4 \\ c_2 & c_3& c_4 \end{bmatrix}

Se definen los 6=3! coeficientes de las componentes linealmente dependientes de cada uno de los 4 trivectores independientes, con la finalidad de «equilibrar sus pesos», así

\color {red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}=\frac{1}{3!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}

Y de lo visto y a riesgo de resultar pesado, la expresión generalmente conocida para el producto exterior de tres vectores en componentes es esta

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_j \mathbf e_k)=\frac{3!}{1!1!1!}\color{red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}\mathbf e_{ijk}==det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}\mathbf e_{ijk}

Dimensión: El resultado tiene cuatro dimensiones. La base es \mathbf e_{123}, \mathbf e_{124}, \mathbf e_{134}, \mathbf e_{234} y son trivectores que pertenecen al espacio cubo exterior de \mathbb R^4.

Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de cuatro paralelepipedos inmersos en \mathbb R^4, cuyos 3-volumenes coinciden con los coeficientes \mathcal C_n.

Orientación: El comentario es el mismo que para \Lambda^3 (\mathbb R^3)

4-vectores en R4

Espacio: \Lambda^4 (\mathbb R^4)

Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c, \mathbf d \in \mathbb R^4. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo será…

\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c \wedge \mathbf d= det \begin{bmatrix} a_1 & a_2&a_3& a_4 \\ b_1 & b_2&b_3& b_4\\c_1 & c_2&c_3& c_4\\d_1 & d_2&d_3& d_4\end{bmatrix} \mathbb e_{1234}

Este objeto tiene 24=4! componentes linealmente dependientes, que se aglutinan en una sola. Si por curiosidad deseamos conocer cada una de ellas, se definen como se ha visto en los casos anteriores… pero ya no son muy manejables.

\color{red}a_{[i}b_jc_kd_{l]}\color{black}=\frac{1}{24}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k &a_l\\ b_i & b_j& b_k & b_l \\ c_i & c_j& c_k & c_l \\ d_i & d_j& d_k & d_l\end{bmatrix}

No debe ser una sorpresa encontrar que

(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_k \mathbf e_k)\wedge (d_l \mathbf e_l)=\frac{4!}{1!1!1!1!}\color{red}a_{[i}b_jc_kd_{l]}\color{black}\mathbf e_{ijkl}==det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k &a_l\\ b_i & b_j& b_k & b_l \\ c_i & c_j& c_k & c_l \\ d_i & d_j& d_k & d_l\end{bmatrix}\mathbf e_{ijkl}

Dimensión: El resultado tiene de nuevo una sola dimensión. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4, es un multivector que pertenece al espacio cuarta potencia exterior de \mathbb R^4.

Magnitud: La interpretación geométrica es la de un elemento de hipervolumen o 4-volumen en \mathbb R^4, ya que el coeficiente que precede a la base coincide con este volumen.

Orientación: Son elementos de 4-volumen orientados en \mathbb R^4

Algebra exterior, hipervolumen
Representación figurada del 4-volumen correspondiente con el multivector en \mathbb R^4

El álgebra exterior completa

Visto todo lo anterior, se pueden obtener algunas generalizaciones:

La dimensión del espacio \Lambda^k (\mathbb R^n) es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k.

{\displaystyle n \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}

Y se puede construir la tabla de dimensión para las distintas potencias exteriores, identificando \Lambda^0 con los números reales así:

\Lambda^0\Lambda^1\Lambda^2\Lambda^3\Lambda^4
\mathbf R números reales10000
\mathbf R^1 vectores11000
\mathbf R^2 plano12100
\mathbf R^3 espacio13310
\mathbf R^4 4-espacio14641
Dimensión de \Lambda^k(\mathbb R^n)

Finalmente se define el álgebra exterior de un espacio vectorial \mathbf V como el producto tensorial

\Lambda(\mathbf V)=\Lambda^0 (\mathbf V) \otimes \Lambda^1 (\mathbf V) \otimes ... \otimes \Lambda^k (\mathbf V)

Se dice que es un álgebra graduada ya que lleva la suma de todos los grados del producto cuña, y su dimensión es 2^n. Se puede comprobar prosaicamente sumando los enteros de cada fila de la tabla superior.

Un elemento de \Lambda(\mathbf V) se dice homogéneo si sólo contiene sólo uno de los grados del álgebra, de modo que por ejemplo \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \equiv \mathbf e_{123} es homogéneo, pero 1+\mathbf e_{23}+\mathbf e_{123} no lo es.

Dualidad de Hodge

Notemos que a partir de un cierto momento aparece una simetría en las filas de la tabla anterior que permite definir isomorfismos entre espacios de la misma dimensión.

El término de mayor grado tiene siempre dimensión 1 igual que el cuerpo de escalares, y por analogía se le llama pseudoescalar. Hemos visto que los pseudoescalares sólamente se diferencian unos de otros por un coeficiente, ¡aunque la base es completamente diferente!.

Para otros grados, por ejemplo \Lambda^1 \mathbb R^3 y \Lambda^2 \mathbb R^3 la dimensión es la misma, en este caso 3, y permite asignar a cada vector un bivector. El isomorfismo entre diferentes grados del álgebra se le llama dualidad de Hodge. El operador estrella de Hodge relaciona un grado, con su dual de Hodge así:

*:\Lambda^k(V) \to \Lambda^{n-k}(V)

Introducción a las k-formas diferenciales

Una parte del interés para la física del producto exterior es el manejo de elementos de línea, superficie, volumen e hipervolumen infinitesimales. En este caso, el espacio vectorial es el espacio de diferenciales, cotangente a cada punto de una variedad diferenciable. El álgebra \Lambda(V^{*n}) que se construye sobre éste espacio vectorial merece una consideración especial, debido a un par de detalles prácticos que no son triviales

  • Un elemento de grado k (una k-forma diferencial), es un tensor covariante antisimétrico. Se desea formar un álgebra cerrada tal que el producto cuña de dos k-formas diferenciales sea otra k-forma diferencial. Ello obliga a caracterizar de una forma concreta el producto cuña, y no vale un simple producto tensorial porque éste NO garantiza un álgebra cerrada para las k-formas diferenciales.
  • Se requiere definir un operador de diferenciación que partiendo de una k-forma devuelva una (k+1)-forma con la finalidad de poder derivar tensores.

En un próximo artículo se desarrollarán estas cuestiones. Por el momento esto es todo en relación con el álgebra exterior. Como siempre cualquier comentario, aporte o corrección son bienvenidos.

Otros puntos de vista y referencias

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