Nota previa: En lo que sigue se tratará solamente el álgebra exterior de espacios vectoriales de dimensión finita, y principalmente sobre \mathbb R, ya que es suficiente para el propósito de este artículo.
Índice
Los productos entre vectores
Cuando se calcula con vectores, se maneja un conjunto con una definición de suma y un producto por un escalar. Un espacio vectorial puede intuirse como un sistema de sumas, tal que cada elemento puede obtenerse sumando otros.
Sin embargo, la suma de vectores no aporta riqueza suficiente para todos los modelos matemáticos, y se requieren distintos productos entre vectores. El objeto de este artículo es profundizar en el último de esta lista, el producto exterior.
Un comentario sobre la notación: Se suelen escribir los vectores referidos a sus bases con componentes en superíndices \mathbf v=\alpha^1 \mathbf e_1+\alpha^2 \mathbf e_2+…+\alpha^n \mathbf e_n, y covectores al revés \bm \omega=\alpha_1 \mathbf e^1+\alpha_2 \mathbf e^2+…+\alpha_n \mathbf e^n, pero en este artículo se ha preferido usar siempre subíndices, con objeto de introducir de forma natural los corchetes de antisimetrización como subíndices; pedimos perdón por adelantado.
El producto interior
También producto escalar o producto punto, que devuelve un escalar cuyo valor es la proyección de un vector sobre el otro
\mathbf v . \mathbf u=v_1u_1+v_2u_2+...+v_nu_nEl producto vectorial
También producto cruz. Se define solo entre vectores tridimensionales, y devuelve un vector perpendicular a los otros dos en el sentido de la «regla del sacacorchos».
\mathbf v \times \mathbf u=\begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\v_x & v_y & v_z \\ u_x & u_y & u_z \end{bmatrix}El producto tensorial o producto externo
Sin entrar en profundidades, un caso particular es cuando multiplica dos vectores para devolver un operador bilineal (si te cuesta un poco éste, puedes ver el artículo sobre tensores)
\mathbf v \otimes \mathbf u= \begin{bmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}u_1 & u_2 & u_3 & u_4\end{bmatrix} = \\ =\begin{bmatrix}v_1u_1 & v_1u_2 & v_1u_3 & v_1u_4 \\ v_2u_1 & v_2u_2 & v_2u_3 & v_2u_4 \\ v_3u_1 & v_3u_2 & v_3u_3 & v_3u_4 \end{bmatrix}Finalmente existe otro producto que es el motivo de este artículo, el producto exterior. No confundir éste con el producto externo o tensorial, desgraciadamente en castellano la palabra puede conducir a equívocos.
El producto exterior
O producto cuña. La utilidad quizá más inmediata de este producto es trabajar con áreas y volúmenes n-dimensionales. Este producto aplicado por ejemplo a vectores de \mathbb R^2 devuelve un resultado cuya magnitud es comparable al área del paralelogramo formado por ellos.
\mathbf v \wedge \mathbf u \sim det \begin{bmatrix} v_1 & v_1 \\ u_1 & u_2 \end{bmatrix}Y para tres vectores en \mathbb R^3 devuelve un resultado cuya magnitud es comparable al volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores
\mathbf v \wedge \mathbf u \wedge \mathbf w \sim det \begin{bmatrix} v_1 & v_2 &v_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ w_1 & w_2 & w_3\end{bmatrix}y en general para n vectores n-dimensionales devuelve un resultado cuya magnitud es comparable al volumen n-dimensional correspondiente.
El sistema algebraico formado por un espacio vectorial al que se le dota de un producto exterior se llama álgebra exterior o álgebra de Grassmann (1844), en honor a su principal descubridor. El interés que tiene para la física el álgebra exterior es máximo:
- Invariablemente lo que se mete dentro de una integral, el integrando, será un elemento de línea, de superficie, de volumen o k-volumen «infinitesimales», que son elementos de un álgebra exterior. Se les denomina k-formas diferenciales .
- Todas las magnitudes físicas que se pueden expresar como tensores contravariantes antisimétricos son elementos de álgebra exterior como el trabajo infinitesimal, el tensor de Faraday, que es el invariante relativista que representa el campo electromagnético (una 2-forma), y el cuadripotencial electromagnético (una 1-forma).
- Realiza el tratamiento riguroso del gradiente, rotacional y divergencia.
El objetivo de este artículo es por tanto el de ser la antesala de otro que tiene un interés más general en física, que se refiere a k-formas diferenciales.
Propiedades básicas del producto exterior
El producto exterior es distributivo para la suma, pero su propiedad estrella es que es anticonmutativo, esto es si \mathbf v, \mathbf u \in \mathbb R^n, entonces
\mathbf v \wedge \mathbf u=-\mathbf u \wedge \mathbf v \implies \mathbf v \wedge \mathbf v=0Adelantamos que si el producto exterior tiene mayor grado que la dimensión del espacio vectorial, el resultado es nulo porque necesariamente todos los elementos del producto tienen alguna base repetida, y por tanto se anulan.
Depende de cuantas veces se aplique el producto exterior a un espacio vectorial las propiedades del resultado son netamente diferentes, y vamos a desarrollarlo a base de ejemplos sobre \mathbb R^n. Comenzaremos por el más simple con interés, \Lambda^2 (\mathbb R^2).
Bivectores en R2
Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^2)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^2. Su producto exterior en componentes, teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería
\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2)= \\ =a_1b_2 \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2+ a_2b_1\mathbf e_2 \wedge \mathbf e_1 =\\= (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 = \\= det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix}\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2Este es el momento de introducir una idea que si no se interioriza puede llevar a confusión. Del desarrollo de arriba es claro que las componentes linealmente dependientes (l.d.) de coeficientes a_1b_2 y a_2b_1, se consolidan en una única componente con coeficiente (a_1b_2-a_2b_1). Pero ¿sabremos siempre cómo contribuye cada una de las componentes l.d. al valor escalar (a_1b_2-a_2b_1)? La solución salomónica pasa por otorgar a cada componente l.d. la mitad del valor final, y así se definen las 2=2! componentes del bivector como
a_1b_2=\frac{1}{2}(a_1b_2-a_2b_1) \qquad a_2b_1=\frac{1}{2}(a_2b_1-a_1b_2)De donde se deriva una conocida expresión para las componentes l.d. del producto exterior, definiendo los corchetes de antisimetrización como las sumas para índices i<j,
\qquad \color{red} a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)y se obtiene
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{1}{2}(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j= \color{red} a_{[i}b_{j]} \color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j \qquad \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}Dimensión: El resultado solo tiene una dimensión. La base es \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 , y no se trata de un vector, ya que los vectores son los elementos que se multiplican. El resultado es un bivector, y pertenece al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^2.
Magnitud: Casualmente el escalar que precede a la base \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 coincide con el área del paralelogramo formado por ambos vectores. Existen infinitos paralelogramos con un área dada con lo que interpretar geométricamente un bivector como el paralelogramo formado por ambos vectores es una cuestión de preferencia. Si se toman los coeficientes definidos con los corchetes de antisimetrización, se interpreta geométricamente como el paralelogramo de lados iguales cuya área es coincidente con la magnitud del bivector.
Orientación: Si conmutamos el producto exterior, éste cambia de signo, lo que permite definir una orientación de la figura «positiva» o «negativa» dados unos ejes.
Para el ejemplo de la figura superior con la orientación de ejes dada, y con \mathbf a=(2,1) y \mathbf b=(-1,2) , el signo representa la orientación de la figura.
\mathbf a \wedge \mathbf b=5 \qquad \mathbf b \wedge \mathbf a=-5Bivectores en R3
Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^3)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^3. El producto exterior en componentes, teniendo en cuenta que es anticonmutativo queda así
\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3)= \\ = (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (a_1b_3-a_3b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3+(a_2b_3-a_3b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3Igual que en el caso anterior se generalizan los coeficientes de las las 2=2! componentes linealmente dependientes de cada bivector con los corchetes de antisimetrización
\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)La expresión general para el producto exterior de bivectores en componentes ya enunciada sigue siendo válida
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{1}{2}(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j=\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_jDimensión: El resultado tiene tres dimensiones. La base está formada por el conjunto de bivectores \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 , y pertenecen al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^3.
Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de tres figuras planas inmersas en \mathbb R^3.
Relación con el producto vectorial: Los coeficientes que preceden a los bivectores base coinciden además con las componentes del producto vectorial. Es imposible no intentar realizar el paralelismo de éste producto exterior con el producto vectorial, pero existe una diferencia fundamental. El producto vectorial devuelve un vector cuya orientación (signo) depende del criterio de la «regla del sacacorchos», que es una definición arbitraria, motivo por el que se le denomina vector axial o pseudovector. En el caso del producto exterior, el resultado depende del orden en el que se multiplican los vectores. Además el producto exterior devuelve tres bivectores, y el producto vectorial un solo vector.
Orientación: Cada bivector se puede interpretar como una figura plana orientada. La longitud de los «lados» no está determinada siempre que el área coincida con el coeficiente que precede a cada base.
Trivectores en R3
Espacio: \Lambda^3 (\mathbb R^3)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b , \mathbf c \in \mathbb R^3. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo es
\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3) \wedge (c_1 \mathbf e_1+c_2 \mathbf e_2+c_3 \mathbf e_3)= \\ =det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_3 \\ b_1 & b_2& b_3 \\ c_1 & c_2& c_3 \end{bmatrix}\mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3Similarmente a los casos anteriores, se definen los 6=3! coeficientes de las componentes linealmente dependientes para «equilibrar sus pesos» con los corchetes de antisimetrización. Supone realizar todas las sumas para i<j<k, que deben ser 1.2.3=3! elementos.
\color {red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}=\frac{1}{3!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}Y de lo visto, resulta que la expresión generalmente conocida para el producto exterior de tres vectores en componentes es esta
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_j \mathbf e_k)=\frac{1}{3!} det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j\wedge\mathbf e_k= =\color{red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j\wedge\mathbf e_kDimensión: El resultado tiene una dimensión. La base es el trivector \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 , y pertenecen al espacio cubo exterior de \mathbb R^3.
Magnitud: La interpretación geométrica es el paralelepípedo formado por los tres vectores que se multiplican, ya que su coeficiente coincide con el volumen de esta figura, ¡aunque existen infinitos paralelepípedos que cumplen esta condición!.
Orientación: Al igual que para los bivectores, al cambiar el lugar de dos vectores cambia el signo del resultado. Sirve para caracterizar un elemento de volumen orientado.
Bivectores en R4
Espacio: \Lambda^2 (\mathbb R^4)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b \in \mathbb R^4. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo sería
\mathbf a \wedge \mathbf b=(a_1 \mathbf e_1+a_2 \mathbf e_2+a_3 \mathbf e_3+a_4 \mathbf e_4) \wedge (b_1 \mathbf e_1+b_2 \mathbf e_2+b_3 \mathbf e_3+b_4 \mathbf e_4)= \\ = (a_1b_2-a_2b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 + (a_1b_3-a_3b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3+ (a_1b_4-a_4b_1) \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_4+\\+(a_2b_3-a_3b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3+(a_2b_4-a_4b_2) \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_4+\\+(a_3b_4-a_4b_3) \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4Como para los bivectores ya vistos, se definen los 2=2! coeficientes de las componentes linealmente dependientes de los 6 bivectores considerados, con los corchetes de antisimetrización
\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}=\frac{1}{2}(a_ib_j-a_jb_i)La expresión general para el producto exterior de bivectores en componentes sigue siendo válida
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)=\frac{1}{2}(a_i b_j-a_jb_i)\mathbf e_i \wedge\mathbf e_j=\color{red}a_{[i}b_{j]}\color{black}\mathbf e_i \wedge\mathbf e_jDimensión: El resultado tiene seis dimensiones. La base está formada por los bivectores \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_4, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3, \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_4, \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4 y pertenecen al espacio cuadrado exterior de \mathbb R^4.
Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de seis figuras planas inmersas en \mathbb R^4, cuyas superficies coinciden con los coeficientes que preceden a las bases.
Orientación: El comentario es el mismo que para \Lambda^2 (\mathbb R^3)
Trivectores en R4
Espacio: \Lambda^3 (\mathbb R^4)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c \in \mathbb R^4. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo, teniendo en cuenta que el lector ya debe haber recogido la idea general, denotando los multivectores base como \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \equiv \mathbf e_{123}, y los coeficientes como \mathcal C_n, por abreviar la notación …
\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c= \mathcal C_1 \mathbf e_{123}+ \mathcal C_2 \mathbf e_{124}+ \mathcal C_3 \mathbf e_{134}+ \mathcal C_4 \mathbf e_{234} \mathcal C_1=det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_3 \\ b_1 & b_2& b_3 \\ c_1 & c_2& c_3 \end{bmatrix} \qquad \mathcal C_2=det \begin{bmatrix} a_1 & a_2& a_4 \\ b_1 & b_2& b_4 \\ c_1 & c_2& c_4 \end{bmatrix} \mathcal C_3=det \begin{bmatrix} a_1 & a_3& a_4 \\ b_1 & b_3& b_4 \\ c_1 & c_3& c_4 \end{bmatrix} \qquad \mathcal C_4=det \begin{bmatrix} a_2 & a_3& a_4 \\ b_2 & b_3& b_4 \\ c_2 & c_3& c_4 \end{bmatrix}Se definen los 6=3! coeficientes de las componentes linealmente dependientes de cada uno de los 4 trivectores independientes, con la finalidad de «equilibrar sus pesos» de nuevo con los corchetes de antisimetrización,
\color {red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}=\frac{1}{3!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}Y de lo visto y a riesgo de resultar pesado, la expresión generalmente conocida para el producto exterior de tres vectores en componentes es esta
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_j \mathbf e_k)=\frac{1}{3!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k \\ b_i & b_j& b_k \\ c_i & c_j& c_k \end{bmatrix}\mathbf e_{ijk}= =\color{red}a_{[i}b_jc_{k]}\color{black}\mathbf e_{ijk}Dimensión: El resultado tiene cuatro dimensiones. La base está formada por los trivectores \mathbf e_{123}, \mathbf e_{124}, \mathbf e_{134}, \mathbf e_{234} y pertenecen al espacio cubo exterior de \mathbb R^4.
Magnitud: En este caso la interpretación geométrica es la de cuatro paralelepipedos inmersos en \mathbb R^4, cuyos 3-volumenes coinciden con los coeficientes \mathcal C_n.
Orientación: El comentario es el mismo que para \Lambda^3 (\mathbb R^3)
4-vectores en R4
Espacio: \Lambda^4 (\mathbb R^4)
Componentes: Sean \mathbf a, \mathbf b, \mathbf c, \mathbf d \in \mathbb R^4. El producto exterior en componentes teniendo en cuenta que es anticonmutativo será…
\mathbf a \wedge \mathbf b \wedge \mathbf c \wedge \mathbf d= det \begin{bmatrix} a_1 & a_2&a_3& a_4 \\ b_1 & b_2&b_3& b_4\\c_1 & c_2&c_3& c_4\\d_1 & d_2&d_3& d_4\end{bmatrix} \mathbb e_{1234}Este objeto tiene 24=4! componentes linealmente dependientes, que se aglutinan en una sola. Si por curiosidad deseamos conocer cada una de ellas, se definen como se ha visto en los casos anteriores… pero ya no son tan manejables porque son muchas. El corchete de antisimetrización lleva las sumas en todos los índices i<j<k<l que son 1.2.3.4=4!.
\color{red}a_{[i}b_jc_kd_{l]}\color{black}=\frac{1}{4!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k &a_l\\ b_i & b_j& b_k & b_l \\ c_i & c_j& c_k & c_l \\ d_i & d_j& d_k & d_l\end{bmatrix}No debe ser una sorpresa encontrar que
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j)\wedge (c_k \mathbf e_k)\wedge (d_l \mathbf e_l)=\frac{1}{4!}det \begin{bmatrix} a_i & a_j& a_k &a_l\\ b_i & b_j& b_k & b_l \\ c_i & c_j& c_k & c_l \\ d_i & d_j& d_k & d_l\end{bmatrix}\mathbf e_{ijkl}= =\color{red}a_{[i}b_jc_kd_{l]}\color{black}\mathbf e_{ijkl}Dimensión: El resultado tiene de nuevo una sola dimensión. La base es el 4-vector \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \wedge \mathbf e_4 y pertenece al espacio cuarta potencia exterior de \mathbb R^4.
Magnitud: La interpretación geométrica es la de un elemento de hipervolumen o 4-volumen en \mathbb R^4, ya que el coeficiente que precede a la base coincide con este volumen.
Orientación: Son elementos de 4-volumen orientados en \mathbb R^4
Generalización del producto exterior de vectores en componentes
Hasta aquí se han presentado las expresiones particulares de las componentes del producto exterior para todos los ejemplos vistos. Se pueden generalizar para a,b, ... , d \in \mathbb R^n
(a_i \mathbf e_i)\wedge (b_j \mathbf e_j) \wedge ... \wedge (d_n \mathbf e_n)=a_{[i}b_j ... d_{n]}\mathbf e_{ij ... n}El álgebra exterior completa
Observemos que la dimensión del espacio \Lambda^k (\mathbb R^n) es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k.
{\displaystyle n \choose k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}Y se puede construir la tabla de dimensión para las distintas potencias exteriores, identificando \Lambda^0 con los números reales así:
| \Lambda^0 | \Lambda^1 | \Lambda^2 | \Lambda^3 | \Lambda^4 | |
| \mathbf R números reales | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| \mathbf R^1 vectores | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| \mathbf R^2 plano | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 |
| \mathbf R^3 espacio | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 |
| \mathbf R^4 4-espacio | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Finalmente se define el álgebra exterior de un espacio vectorial \mathbf V como el producto tensorial
\Lambda(\mathbf V)=\Lambda^0 (\mathbf V) \otimes \Lambda^1 (\mathbf V) \otimes ... \otimes \Lambda^k (\mathbf V)Se dice que es un álgebra graduada ya que lleva la suma de todos los grados del producto exterior, y su dimensión es 2^n. Se puede comprobar prosaicamente sumando los enteros de cada fila de la tabla superior.
Un elemento de \Lambda(\mathbf V) se dice homogéneo si sólo contiene sólo uno de los grados del álgebra, de modo que por ejemplo \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3 \equiv \mathbf e_{123} es homogéneo, pero 1+\mathbf e_{23}+\mathbf e_{123} no lo es.
Dualidad de Hodge
Comprobemos que a partir de un cierto momento aparece una simetría en las filas de la tabla anterior que permite definir isomorfismos entre espacios de la misma dimensión.
El término de mayor grado tiene siempre dimensión 1 igual que el cuerpo de escalares, y por analogía se le llama pseudoescalar. Hemos visto que los pseudoescalares sólamente se diferencian unos de otros por un coeficiente, ¡aunque la base es completamente diferente!.
Para otros grados, por ejemplo \Lambda^2 \mathbb R^3 y \Lambda^1 \mathbb R^3 la dimensión es la misma, en este caso 3, y permite asignar a cada bivector un vector. El isomorfismo entre diferentes grados del álgebra se le llama dualidad de Hodge. El operador estrella de Hodge relaciona un grado, con su dual de Hodge así:
*:\Lambda^k(V) \to \Lambda^{n-k}(V)Introducción a las k-formas diferenciales
Una parte del interés para la física del producto exterior es el manejo de elementos de línea, superficie, volumen e hipervolumen infinitesimales, que después se integrarán. Si se toman vectores diferenciales en cada punto de una variedad -que viven en el espacio diferenciales, cotangente a cada punto de una variedad diferenciable- realizando el producto cuña se obtendrá un multivector de tamaño proporcional al elemento de superficie o volumen considerado. Este elemento es lo que después se integrará y el álgebra \Lambda(V^{n*}) de estos objetos merece, por tanto, una atención especial. Además adelantaré que
- Un elemento de grado k (una k-forma diferencial), es un tensor covariante antisimétrico. Se desea formar un álgebra cerrada tal que el producto exterior de dos k-formas diferenciales sea otra k-forma diferencial, no vaya a ser que al operar obtengamos un objeto matemático que no es coherente con los operandos. Esto obliga a caracterizar de una forma concreta el producto exterior en estos casos, y no vale caracterizarlo como un simple producto tensorial, porque el producto tensorial de dos k-formas diferenciales no tiene porqué ser otra k-forma diferencial. Puedes ver el artículo sobre k-formas diferenciales si te interesa el tema.
- Se requiere definir un operador de diferenciación que partiendo de una k-forma devuelva una (k+1)-forma – una diferencial-exterior -, con la finalidad de poder derivar tensores habituales en la física, como el tensor de Faraday del campo electromagnético.
Por el momento esto es todo en relación con el álgebra exterior. Como siempre cualquier comentario, aporte o corrección son bienvenidos.