Covector

Definición de covector

Supongamos un espacio vectorial genérico V sobre un cuerpo F, por ejemplo \mathbb R^3.

Ahora podemos definir funciones lineales que tengan como dominio el espacio vectorial V y como imagen el cuerpo F de escalares.

Pues bien, cada una de esas funciones es un covector o 1-forma, así de sencillo. El nombre de 1-forma proviene de que en general las formas son funciones de n-tuplas de espacios vectoriales sobre escalares, siendo las 1-formas un caso particular.

Las funciones deben ser lineales, por tanto deben cumplir la condición de linealidad: Para \vec v_1, \vec v_2 \in V, y \lambda \in F

\lambda f(\vec v_1+\vec v_2)=\lambda f(\vec v_1)+\lambda f(\vec v_2)

Espacio dual

El conjunto de todas las funciones lineales posibles de este tipo forman el espacio dual de V, que se denota con V^*, y por tanto f \in V^*

Covector y espacio dual

Figura1: En la imagen el grupo de flechas rojas representa un elemento concreto del espacio dual de V, denotado por V*

Base del espacio dual

Dado que los elementos del espacio dual V* (covectores) cumplen la condición de linealidad, son elementos de un espacio vectorial y es natural preguntarse cómo encontrar una base de este espacio. Seguimos con el ejemplo de \mathbb R^3 en el que su base es \{\vec e_1, \vec e_2,\vec e_3\} y denotamos por B^*=\{\epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3\} la base natural de su dual \mathbb R^{3*}, que por definición debe cumplir

\epsilon^i(\vec e_j)=\delta^i_j

que así escrito puede parecer confuso, pero las tres aplicaciones hacen corresponder para cada vector de \mathbb R^3 la primera, segunda y tercera componente respectivamente y por ejemplo para el vector (3,-5,4.5) funcionan así:

\epsilon^1(3,-5,4.5)=3 \epsilon^2(3,-5,4.5)=-5 \epsilon^3(3,-5,4.5)=4.5

Cualquier otra función lineal, es decir cualquier otro covector, deberá tomar n_1 veces la primera componente del vector, n_2 veces la segunda componente y n_3 veces la tercera, con lo que su representación en función de elementos de la base sería

f=n_1 \epsilon^1+n_2 \epsilon^2+n_3 \epsilon^3

La generalización a otro número de dimensiones y otros espacios vectoriales es inmediata.

Correspondencia vector-covector

Una vez visto que para cada espacio vectorial V existe un espacio dual V* de covectores, la pregunta evidente es ¿cómo puede asignarse a cada vector un covector?

La forma más inmediata es asignarle el que tenga las mismas componentes, es decir dada una base de V por ejemplo \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} para \mathbb R^3, y dada una base de V* por ejemplo \{\epsilon^1,\epsilon^2,\epsilon^3\} para R^{3*}, se puede hacer corresponder a cada vector

\vec v=\alpha \vec e_1+\beta \vec e_2+\gamma \vec e_3

el covector con las mismas componentes

f=\alpha \epsilon^1+\beta \epsilon^2+\gamma \epsilon^3

Pero esta asignación presenta un problema, si cambia la base la relación se rompe, ya que las componentes de vectores y covectores no cambian igual al cambiar la base, como se verá mas adelante. Sería mucho más interesante buscar una relación vector-covector invariante ante un cambio de base.

Para obtener una relación vector-covector invariante tras un cambio de base, se asigna a cada vector \vec v el covector que resulta al preparar un producto escalar de \vec v, que figuradamente sería \vec v. . Usar el producto escalar para definir el covector correspondiente a un vector tiene varias ventajas

  • El producto escalar cumple las condiciones de linealidad
  • El producto escalar del vector \vec v por cualquier otro vector devuelve un escalar.
  • Es invariante tras un cambio de base si se tiene en cuenta la definición de producto escalar que involucra el tensor métrico.

Así que se puede considerar legítimamente \vec v. como una función lineal de V sobre los escalares, o sea, como un covector. Teniendo en cuenta la definición de tensor métrico vista en el artículo sobre tensores, la correspondencia que buscamos se puede resumir así

Vector \in V Función (covector) correspondiente \in V^*que aplicado aResultado
\vec v f() \equiv \vec v.\vec s f(\vec s)=\vec v.\vec s=g_{\mu\nu}v^{\mu}s^{\nu}
Correspondencia vector-covector independiente de la base

Cambios de base

Matrices de cambio de base en un espacio vectorial

Este apartado vamos a verlo con un ejemplo sobre \mathbb R^2 . Supongamos dos bases B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\}, tal que su combinación lineal sea:

\vec e'_1=\vec e_1+3\vec e_2 \qquad \vec e'_2=2\vec e_1+4\vec e_2

según esa combinación lineal de las bases, se definen las matrices de transformación T de la base B a B’ y R de B’ a B (la inversa) y son:

T=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix} \qquad R=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \qquad TR=I

Estas transformaciones son la referencia para definir los conceptos de contravarianza y covarianza.

Calculo de componentes de vectores cuando cambia la base

Sea \vec v_B=(3,3) un vector en la base B. Si deseamos conocer sus componentes en la base B’ se usa la matriz de transfomación R (la inversa de la transformación de la base, contravarianza):

R\vec{v_B}=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{3}\\{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{-3}\\{3}\end{bmatrix}=\vec v_{B'}

Matrices de cambio de base en un espacio dual

La matriz de cambio de base en un espacio dual, es la inversa de la de cambio de base de su espacio vectorial, en este ejemplo R (de nuevo contravarianza).

Supongamos dos bases diferentes de \mathbb R^{2*}, C=\{\epsilon_1,\epsilon_2\} y C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} que sean las bases duales respectivas de B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\} en \mathbb R^2.

Sobre el ejemplo que estamos siguiendo, la transformación quedaría así:

\epsilon'_1=-2 \epsilon_1+{3 \over 2}\epsilon_2 \epsilon'_2=\epsilon_1- {1 \over 2}\epsilon_2

Los elementos de esta nueva base C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} cuando se aplican sobre un vector, evidentemente no entregan las componentes del mismo una a una, sino que entregan una combinación lineal de ellas. Por este motivo sólo es posible encontrar el correspondiente dual de un vector tomando covectores con las mismas componentes, si se usa la base natural.

Calculo de componentes de covectores cuando cambia la base

Supongamos dos bases de \mathbb R^{2*}, C=\{\epsilon_1,\epsilon_2\} y C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} que sean las bases duales respectivas de B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\} en \mathbb R^2.

Sea f_C=[2,3] un covector en la base dual C. Si deseamos conocer sus componentes en la base C’ se usa la matriz de transfomación T (covarianza):

f_C T=\begin{bmatrix}{2}&{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{1 \over 2}\\{1 \over 2}\end{bmatrix}=f_{C'}

Interpretación geométrica de un covector

Es común representar un elemento de un espacio vectorial (vector)  con una flecha, dado el isomorfismo entre tuplas de números y flechas.  Sin embargo la representación geométrica de un elemento de un espacio dual (covector) no es tan habitual encontrársela.  Vamos con ello para el covector f= 2 \epsilon^1+2 \epsilon^2 aplicado al vector \vec v= 4 e^1+2 e^2, que se suele denotar en formato matricial

\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{4} \\ {2} \end{bmatrix}=12

Se puede representar geométricamente un covector (en dos dimensiones) como un conjunto de líneas paralelas en el plano.  Estas líneas, concretando para el ejemplo propuesto, son las rectas 2x+2y=\mathbb N, y cortarán a un vector en cierto número de trozos.  El número de trozos en los que se rompe el vector es igual al resultado f(\vec v)=12.

Covector representacion geométrica
El covector corta a un vector en un número de trozos igual al resultado escalar f(\vec v)=12

Razonando igualmente para el ejemplo del vector (3,{1 \over 2}) se aprecia que se divide en 7 partes.

\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{3} \\ {1 \over 2} \end{bmatrix}=7

Algunos usos interesantes de espacios duales

Con el concepto de covector ya claro, estamos en condiciones de explorar cuales son de interés clave en física, por ejemplo:

  • El espacio dual de un espacio vectorial en general, permite definir el concepto de tensor, como aplicación multilineal que tiene como dominio e imagen productos (tensoriales) de espacios vectoriales y sus duales.  Los tensores tienen una importancia central en los modelos matemáticos de la física y la ingeniería porque son invariantes ante un cambio de base, por lo que sirven para representar magnitudes invariantes ante cambios de base.  Un cambio de base puede derivarse del cambio en la unidad de medida, rotaciones del aparato de medida y reflexiones por ejemplo.  Aquí tenemos un monográfico sobre tensores.
  • El espacio dual del espacio tangente de una variedad permite definir de forma rigurosa las 1-formas diferenciales como campos de covectores, y unifica conceptos como campo escalar, gradiente y divergencia.

Y como siempre espero que haya gustado este artículo sobre el espacio dual y los covectores. Cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.

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