1-forma o covector

Quizá sea más interesante la pregunta ¿para qué sirve un covector? que la pregunta ¿Cómo es un covector?.

  • Se requiere una 1-forma cuando se desea asociar un valor escalar a un vector. El ejemplo arquetípico es la integral que calcularía el peso de una viga de acero: Se divide una viga en trozos de 1 m. que se representan con un vector y se asocia a cada uno un escalar que representa el peso. La función que asocia a cada vector su peso correspondiente es una 1-forma. La integral supone recorrer todos los vectores (una trayectoria) e ir sumando los escalares correspondientes que son los pesos.
1-forma o covector 2
[Figura 1] Una 1-forma asocia a cada vector el peso del trozo de viga correspondiente.
  • Otro ejemplo típico surge a la hora de calcular el trabajo al moverse en un campo conservativo: Para cada cambio de posición (vector) se calcula la cantidad de trabajo involucrado (escalar). Ejemplos de este tipo en física los hay a cientos, uno por cada integral de línea.
  • Las integrales dobles y triples se calculan como integrales de línea anidadas, motivando también el estudio de las 1-formas.
  • Los covectores además son importantes en el sentido de que son los bloques básicos para la construcción de tensores en sus índices covariantes.

El funcionamiento algebraico de las 1-formas difiere del de los vectores en algunos aspectos que se tratarán aquí, y también su interpretación geométrica. Se usarán indistintamente los términos covector y 1-forma. Comencemos con el espacio vectorial en el que «viven»…

Espacio vectorial dual

Supongamos un espacio vectorial V. Se pueden definir funciones lineales que tengan como dominio el espacio vectorial V y como imagen el cuerpo F de escalares. Pues bien, cada una de esas funciones es un covector o 1-forma, así de sencillo. El conjunto de todas estas funciones forma el espacio dual de V, que se denota con V^*.

covector, 1-forma
[Figura 2] El grupo de flechas rojas representa un elemento concreto del espacio dual de V, denotado por V*

Base del espacio dual

Los elementos del espacio dual V* (covectores) cumplen la condición de linealidad y otras habituales de los espacios vectoriales, así que es natural preguntarse cómo encontrar una base de este espacio. Sigamos con el ejemplo de \mathbb R^3 en el que su base es \{\bm e_1, \bm e_2,\bm e_3\} , y denotemos B^*=\{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} la base natural de su dual \mathbb R^{3*}, que por definición debe cumplir

\bm \epsilon^i(\bm e_j)=\delta^i_j

que así escrito puede parecer confuso, pero las tres aplicaciones \{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} hacen corresponder para cada vector de \mathbb R^3 la primera, segunda y tercera componente respectivamente y por ejemplo para el vector (3,-5,4.5) funcionan así:

\bm \epsilon^1(3,-5,4.5)=\bm \epsilon^1(3 \bm e_1 -5 \bm e_2+ 4.5 \bm e_3)=3 \bm \epsilon^1(\bm e_1)=3 \bm \epsilon^2(3,-5,4.5)=-5 \bm \epsilon^3(3,-5,4.5)=4.5

Cualquier otra función lineal definida sobre \mathbb R^3 en \mathbb R, es decir cualquier otra 1-forma, deberá tomar n_1 veces la primera componente del vector, n_2 veces la segunda componente y n_3 veces la tercera, con lo que su representación en función de elementos de la base sería

\bm f=\alpha \bm \epsilon^1+\beta \bm \epsilon^2+\gamma \bm \epsilon^3

La generalización a otro número de dimensiones y otros espacios vectoriales es inmediata.

Correspondencia vector-covector

Una vez visto que para cada espacio vectorial V existe un espacio dual V* de covectores, la pregunta evidente es ¿cómo puede asignarse a cada vector un covector?

La forma más inmediata y rabiosa es asignarle el que tenga las mismas componentes, es decir dada una base de V por ejemplo \{\bm e_1, \bm e_2,\bm e_3\} para \mathbb R^3, y dada una base de V* por ejemplo \{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} para R^{3*}, se puede hacer corresponder a cada vector el covector con las mismas componentes

\bm v=\alpha \bm e_1+\beta \bm e_2+\gamma \bm e_3 \longmapsto \bm f=\alpha \boldsymbol \epsilon^1+\beta \boldsymbol \epsilon^2+\gamma \boldsymbol \epsilon^3

Pero esta asignación presenta un problema, si cambia la base la relación se rompe, ya que las componentes de vectores y covectores no cambian igual al cambiar la base, como se verá más adelante. Sería mucho más interesante buscar una relación vector-covector invariante ante un cambio de base.  Para ello se asigna a cada vector v el covector que resulta al preparar un producto escalar de v, que figuradamente sería v. . Usar el producto escalar para encontrar el covector correspondiente a un vector tiene varias ventajas

  • El producto escalar del vector \bm v por cualquier otro vector devuelve un escalar.
  • El producto escalar cumple las condiciones de linealidad
  • Es invariante tras un cambio de base si se tiene en cuenta la definición de producto escalar que involucra el tensor métrico.

Así que se puede considerar legítimamente \bm v. como una función lineal de V sobre los escalares, o sea una 1-forma. Teniendo en cuenta la definición de tensor métrico vista en el artículo sobre tensores, la correspondencia que buscamos se puede resumir así

Vector \in V Función (1-forma) correspondiente \in V^*Sobre un vector cualquiera de VResultado
\bm v \bm f() \equiv \bm v.\bm s \bm f(\bm s)=\bm v.\bm s=g_{\mu\nu}v^{\mu}s^{\nu}
Correspondencia vector-covector independiente de la base

Cambios de bases, contravarianza y covarianza de componentes

La cuestión de cómo cambian las componentes de vectores y 1-formas al cambiar la base es clave a la hora de comprender los espacios duales, la generalización a tensores, y en general es la puerta de entrada a matemáticas más interesantes. Para conocer este tema primero hay que ver cómo cambian las bases, y después como consecuencia, como cambian las componentes de los vectores y covectores.

Un ejemplo sencillo sobre \mathbb R^2: Supongamos dos bases B=\{\bm e_1,\bm e_2\} y B'=\{\bm e'_1,\bm e'_2\}, y las correspondientes bases duales B^*=\{\bm \epsilon^1,\bm \epsilon^2\} y B^{*'}=\{\bm \epsilon'^1,\bm \epsilon'^2\}. Si la relación entre las bases del espacio vectorial esta

\bm e'_1=\bm e_1+3\bm e_2 \bm e'_2=2\bm e_1+4\bm e_2

se definen las matrices de transformación T de la base B a B', y T^{-1} de B' a B (la inversa) así:

T=\begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix} \qquad T^{-1}=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \qquad TT^{-1}=I

Usando estas matrices, se pueden denotar las transformaciones de las bases y componentes sí

TRANSFORMACIÓNEN EL ESPACIO VECTORIALEN EL DUAL
DE BASES\begin{bmatrix}{\bm e'_1} & {\bm e'_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\bm e_1} & {\bm e_2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} \\ \\ \bm e'_j=T_{ij}\bm e_i\begin{bmatrix}{\bm \epsilon'^1} \\ {\bm \epsilon'^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{T^{-1}_{11}}&T^{-1}_{12}\\T^{-1}_{21}&T^{-1}_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{\bm \epsilon^1} \\ {\bm \epsilon^2} \end{bmatrix}\\ \\ \bm \epsilon'^i=T^{-1}_{ij}\bm \epsilon^j
DE COMPONENTES\begin{bmatrix}{ v'^1} \\ { v'^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{T^{-1}_{11}}&T^{-1}_{12}\\T^{-1}_{21}&T^{-1}_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{ v^1} \\ { v^2} \end{bmatrix}\\ \\ v'^i=T^{-1}_{ij} v^j\begin{bmatrix}{ w'_1} & {w'_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{w_1} & {w_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} \\ \\ w'_j=T_{ij} w_i

Parece oportuno realizar algunos comentarios que aclaren la tabla de arriba

  • Las casillas en rojo son relaciones de contravarianza, ya que la matriz de la transformación es la inversa que la de cambio de base del espacio vectorial. Son contravariantes la transformación de la base dual y la transformación de componentes del espacio vectorial típica. Por eso a los vectores se les llama contravariantes.
  • La casilla en verde es la relación de covarianza, ya que la matriz de transformación es la misma que la de cambio de base del espacio vectorial. Por este motivo a las 1-formas también se les llama covectores.
  • En algunas casillas aparecen matrices fila o bien matrices columna para no tener que trabajar con matrices traspuestas. Esto tiene como consecuencia que al trabajar con componentes de vectores se estilen el formato matriz columna, y para las componentes de covectores se use el formato matriz fila.
  • La cuestión del uso de matrices traspuestas se soluciona en el convenio de sumación de Einstein sumando bien por el primer índice o bien por el segundo.

Interpretación geométrica de una 1-forma

Es común representar un elemento de un espacio vectorial (vector)  con una flecha, dado el isomorfismo entre tuplas de números y flechas.  Sin embargo la representación geométrica de un elemento de su espacio dual difiere.  Vamos con ello para la 1-forma \bm f= 2 \bm  \epsilon^1+2\bm \epsilon^2 aplicado al vector \bm v= 4 \bm e^1+2 \bm e^2, que se suele denotar en formato matricial

\underbrace{\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix}}_{1-forma} \underbrace{\begin{bmatrix}{4} \\ {2} \end{bmatrix}}_{vector}=12

Se puede representar geométricamente una 1-forma (en dos dimensiones) como un conjunto de líneas paralelas en el plano.  Estas líneas, concretando para el ejemplo propuesto, son las rectas 2x+2y=\mathbb N, y cortarán a un vector en cierto número de trozos.  El número de trozos en los que se rompe el vector es igual al resultado \bm f(\bm v)=12.

1-forma representación geométrica
La 1-forma corta a un vector en un número de trozos igual al resultado escalar \bm f(\bm v)=12

Razonando igualmente para el ejemplo del vector \bm v= 3 \bm e^1+\frac{1}{2} \bm e^2 se aprecia que se divide en 7 partes.

\underbrace{\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix} }_{1-forma} \underbrace{\begin{bmatrix}{3} \\ {1 \over 2} \end{bmatrix}}_{vector}=7

Algunos usos interesantes de espacios duales

Notemos antes que no es lo mismo una 1-forma que un campo de 1-formas (campo covectorial), por lo mismo que no es igual un vector que un campo vectorial; en el segundo se asigna una 1-forma a cada punto de una variedad. Dicho lo anterior, algunas 1-formas de interés clave en física son:

  •  El espacio dual del espacio tangente de una variedad permite definir de forma rigurosa las 1-formas diferenciales como campos de covectores, y permite unificar conceptos como campo escalar, gradiente, rotacional y divergencia en el marco del cálculo exterior.  También dirige hacia el tratamiento riguroso de las integrales de línea, área, volumen y n-volumen.
  • El espacio dual de un espacio vectorial en general, permite definir el concepto de tensor, como aplicación multilineal que tiene como dominio e imagen productos (tensoriales) de espacios vectoriales y sus duales.  Los tensores tienen una importancia central en los modelos matemáticos de la física y la ingeniería porque son invariantes ante un cambio de base, por lo que sirven para representar magnitudes invariantes ante cambios de base.  Un cambio de base puede derivarse del cambio en la unidad de medida, rotaciones del aparato de medida y reflexiones por ejemplo.  Aquí tenemos un monográfico sobre tensores.

Y como siempre espero que haya gustado este artículo sobre las 1-formas, su utilidad, su álgebra e interpretación geométrica. Cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/1-forma

https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.