Covector

Supongamos un espacio vectorial genérico V sobre un cuerpo F, por ejemplo \mathbb R^3. Ahora podemos definir funciones lineales que tengan como dominio el espacio vectorial V y como imagen el cuerpo F de escalares. Pues bien, cada una de esas funciones es un covector o 1-forma, así de sencillo.

Las funciones deben ser lineales, por tanto deben cumplir la condición de linealidad: Para \vec v_1, \vec v_2 \in V, y \lambda \in F

\lambda f(\vec v_1+\vec v_2)=\lambda f(\vec v_1)+\lambda f(\vec v_2)

Esta breve introducción se puede matizar bastante … veámoslo.

Espacio dual

El conjunto de todas las posibles funciones lineales f, cuyo dominio es el espacio vectorial V y que tienen como imagen el cuerpo F de escalares, forman el espacio dual de V, que se denota con V^*.

Covector, espacio dual

Figura1: En la imagen el grupo de flechas rojas representa un elemento concreto del espacio dual de V, denotado por V*

Base del espacio dual

Los elementos del espacio dual V* (covectores) cumplen la condición de linealidad y otras habituales de los espacios vectoriales, así que es natural preguntarse cómo encontrar una base de este espacio. Sigamos con el ejemplo de \mathbb R^3 en el que su base es \{\vec e_1, \vec e_2,\vec e_3\} , y denotemos B^*=\{\epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3\} la base natural de su dual \mathbb R^{3*}, que por definición debe cumplir

\epsilon^i(\vec e_j)=\delta^i_j

que así escrito puede parecer confuso, pero las tres aplicaciones \{\epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3\} hacen corresponder para cada vector de \mathbb R^3 la primera, segunda y tercera componente respectivamente y por ejemplo para el vector (3,-5,4.5) funcionan así:

\epsilon^1(3,-5,4.5)=\epsilon^1(3 \vec e_1 -5 \vec e_2+ 4.5\vec e_3)=3 \epsilon^1(\vec e_1)=3 \epsilon^2(3,-5,4.5)=-5 \epsilon^3(3,-5,4.5)=4.5

Cualquier otra función lineal definida sobre \mathbb R^3 en \mathbb R, es decir cualquier otro covector, deberá tomar n_1 veces la primera componente del vector, n_2 veces la segunda componente y n_3 veces la tercera, con lo que su representación en función de elementos de la base sería

f=n_1 \epsilon^1+n_2 \epsilon^2+n_3 \epsilon^3

La generalización a otro número de dimensiones y otros espacios vectoriales es inmediata.

Correspondencia vector-covector

Una vez visto que para cada espacio vectorial V existe un espacio dual V* de covectores, la pregunta evidente es ¿cómo puede asignarse a cada vector un covector?

La forma más inmediata y rabiosa es asignarle el que tenga las mismas componentes, es decir dada una base de V por ejemplo \{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\} para \mathbb R^3, y dada una base de V* por ejemplo \{\epsilon^1,\epsilon^2,\epsilon^3\} para R^{3*}, se puede hacer corresponder a cada vector

\vec v=\alpha \vec e_1+\beta \vec e_2+\gamma \vec e_3

el covector con las mismas componentes

f=\alpha \epsilon^1+\beta \epsilon^2+\gamma \epsilon^3

Pero esta asignación presenta un problema, si cambia la base la relación se rompe, ya que las componentes de vectores y covectores no cambian igual al cambiar la base, como se verá más adelante. Sería mucho más interesante buscar una relación vector-covector invariante ante un cambio de base.  Para ello se asigna a cada vector \vec v el covector que resulta al preparar un producto escalar de \vec v, que figuradamente sería \vec v. . Usar el producto escalar para encontrar el covector correspondiente a un vector tiene varias ventajas

  • El producto escalar cumple las condiciones de linealidad
  • El producto escalar del vector \vec v por cualquier otro vector devuelve un escalar.
  • Es invariante tras un cambio de base si se tiene en cuenta la definición de producto escalar que involucra el tensor métrico.

Así que se puede considerar legítimamente \vec v. como una función lineal de V sobre los escalares, o sea, como un covector. Teniendo en cuenta la definición de tensor métrico vista en el artículo sobre tensores, la correspondencia que buscamos se puede resumir así

Vector \in V Función (covector) correspondiente \in V^*Sobre un vector cualquiera de VResultado
\vec v f() \equiv \vec v.\vec s f(\vec s)=\vec v.\vec s=g_{\mu\nu}v^{\mu}s^{\nu}
Correspondencia vector-covector independiente de la base

Cambios de base, contravarianza y covarianza

La cuestión de cómo cambian las componentes de vectores y covectores al cambiar la base es clave a la hora de comprender los espacios duales, la generalización a tensores, y en general es la puerta de entrada a las matemáticas más interesantes. Para ver este tema primero hay que ver cómo cambian las bases, y después como cambian las componentes en consecuencia.

Este tema está suficientemente difundido en la literatura en notación algebraica. Sin embargo dado el espíritu de este sitio, vamos a desarrollarlo con ejemplos; no es riguroso pero esperamos que sirva para entenderlo por primera vez.

Matrices de cambio de base en un espacio vectorial

Un ejemplo sencillo sobre \mathbb R^2: Supongamos dos bases B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\}, tal que su combinación lineal sea:

\vec e'_1=\vec e_1+3\vec e_2 \qquad \vec e'_2=2\vec e_1+4\vec e_2

según esa combinación lineal de las bases, se definen las matrices de transformación T de la base B a B', y R de B' a B (la inversa) y son:

T=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix} \qquad R=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \qquad TR=I

Estas transformaciones son la referencia para definir los conceptos de contravarianza y covarianza.

Calculo de componentes de vectores cuando cambia la base

Sea \vec v_B=(3,3) un vector en la base B. Si deseamos conocer sus componentes en la base B’ se usa la matriz de transformación R, que es la inversa de la transformación de la base. Esto define la contravarianza:

R\vec{v_B}=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{3}\\{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{-3}\\{3}\end{bmatrix}=\vec v_{B'}

Matrices de cambio de base en un espacio dual

La matriz de cambio de base en un espacio dual, es la inversa de la de cambio de base de su espacio vectorial, en este ejemplo R (de nuevo contravarianza).

Supongamos dos bases diferentes de \mathbb R^{2*}, C=\{\epsilon_1,\epsilon_2\} y C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} que sean las bases duales respectivas de B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\} en \mathbb R^2. Sobre el ejemplo que estamos siguiendo, la transformación quedaría así:

\epsilon'_1=-2 \epsilon_1+{3 \over 2}\epsilon_2\epsilon'_2=\epsilon_1- {1 \over 2}\epsilon_2

Los elementos de esta nueva base C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} cuando se aplican sobre un vector, evidentemente no entregan las componentes del mismo una a una, sino que entregan una combinación lineal de ellas.

Calculo de componentes de covectores cuando cambia la base

Supongamos dos bases de \mathbb R^{2*}, C=\{\epsilon_1,\epsilon_2\} y C'=\{\epsilon'_1,\epsilon'_2\} que sean las bases duales respectivas de B=\{\vec e_1,\vec e_2\} y B'=\{\vec e'_1,\vec e'_2\} en \mathbb R^2.

Sea f_C=[2,3] un covector en la base dual C. Si deseamos conocer sus componentes en la base C’ se usa la matriz de transformación T (covarianza):

f_C T=\begin{bmatrix}{2}&{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{1 \over 2}\\{1 \over 2}\end{bmatrix}=f_{C'}

Interpretación geométrica de un covector

Es común representar un elemento de un espacio vectorial (vector)  con una flecha, dado el isomorfismo entre tuplas de números y flechas.  Sin embargo la representación geométrica de un elemento de un espacio dual (covector) no es igual.  Vamos con ello para el covector f= 2 \epsilon^1+2 \epsilon^2 aplicado al vector \vec v= 4 e^1+2 e^2, que se suele denotar en formato matricial

\underbrace{\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix}}_{covector} \underbrace{\begin{bmatrix}{4} \\ {2} \end{bmatrix}}_{vector}=12

Se puede representar geométricamente un covector (en dos dimensiones) como un conjunto de líneas paralelas en el plano.  Estas líneas, concretando para el ejemplo propuesto, son las rectas 2x+2y=\mathbb N, y cortarán a un vector en cierto número de trozos.  El número de trozos en los que se rompe el vector es igual al resultado f(\vec v)=12.

Covector representacion geométrica
El covector corta a un vector en un número de trozos igual al resultado escalar f(\vec v)=12

Razonando igualmente para el ejemplo del vector \vec v= 3 e^1+\frac{1}{2} e^2 se aprecia que se divide en 7 partes.

\underbrace{\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix} }_{covector} \underbrace{\begin{bmatrix}{3} \\ {1 \over 2} \end{bmatrix}}_{vector}=7

Algunos usos interesantes de espacios duales

Notemos antes que no es lo mismo un covector que un campo de covectores, por lo mismo que no es igual un vector que un campo vectorial; en el segundo se asigna un covector a cada punto de una variedad. Dicho lo anterior, algunos covectores de interés clave en física son:

  • El espacio dual del espacio tangente de una variedad permite definir de forma rigurosa las 1-formas diferenciales como campos de covectores, y permite unificar conceptos como campo escalar, gradiente, rotacional y divergencia en el marco del cálculo exterior.
  • El espacio dual de un espacio vectorial en general, permite definir el concepto de tensor, como aplicación multilineal que tiene como dominio e imagen productos (tensoriales) de espacios vectoriales y sus duales.  Los tensores tienen una importancia central en los modelos matemáticos de la física y la ingeniería porque son invariantes ante un cambio de base, por lo que sirven para representar magnitudes invariantes ante cambios de base.  Un cambio de base puede derivarse del cambio en la unidad de medida, rotaciones del aparato de medida y reflexiones por ejemplo.  Aquí tenemos un monográfico sobre tensores.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/1-forma

https://es.wikipedia.org/wiki/Variedad

Y como siempre espero que haya gustado este artículo sobre el espacio dual y los covectores. Cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.

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