Quizá sea más interesante la pregunta ¿para qué sirve un covector? que la pregunta ¿Cómo es un covector?.
- Comenzaremos diciendo que en general las formas son aplicaciones lineales de espacios vectoriales sobre el cuerpo base del espacio vectorial. Esto es, proyectan vectores sobre el cuerpo de escalares.
- Se requiere una 1-forma cuando se desea asociar a un conjunto de vectores un conjunto de valores escalares. El ejemplo arquetípico es la integral que calcularía el peso de una viga de acero: Se divide una viga en trozos de 1 m. que se representan con un vector y se asocia a cada uno un escalar que representa el peso. La función que asocia a cada vector su peso correspondiente es una 1-forma. La integral supone recorrer todos los vectores (una trayectoria) e ir sumando los escalares correspondientes que son los pesos.
- Otro ejemplo típico surge a la hora de calcular el trabajo al moverse en un campo conservativo: Para cada cambio de posición (vector) se calcula la cantidad de trabajo involucrado (escalar). Ejemplos de este tipo en física los hay a cientos, uno por cada integral de línea.
- Las integrales dobles y triples se calculan como integrales de línea anidadas, motivando también el estudio de las 1-formas.
- Los covectores además son importantes en el sentido de que son los bloques básicos para la construcción de tensores en sus índices covariantes.
El funcionamiento algebraico de las 1-formas difiere del de los vectores en algunos aspectos que se tratarán aquí, y también su interpretación geométrica. Se usarán indistintamente los términos covector y 1-forma. Comencemos con el espacio vectorial en el que «viven»…
Índice
Espacio vectorial dual
Supongamos un espacio vectorial V. Se pueden definir funciones lineales que tengan como dominio el espacio vectorial V y como imagen el cuerpo F de escalares. Pues bien, cada una de esas funciones es un covector o 1-forma, así de sencillo. El conjunto de todas estas funciones forma el espacio dual de V, que se denota con V^*.
Base del espacio dual
Los elementos del espacio dual V* (covectores) cumplen la condición de linealidad y otras habituales de los espacios vectoriales, así que es natural preguntarse cómo encontrar una base de este espacio. Sigamos con el ejemplo de \mathbb R^3 en el que su base es \{\bm e_1, \bm e_2,\bm e_3\} , y denotemos B^*=\{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} la base natural de su dual \mathbb R^{3*}, que por definición debe cumplir
\bm \epsilon^i(\bm e_j)=\delta^i_jque así escrito puede parecer confuso, pero las tres aplicaciones \{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} hacen corresponder para cada vector de \mathbb R^3 la primera, segunda y tercera componente respectivamente y por ejemplo para el vector (3,-5,4.5) funcionan así:
Cualquier otra función lineal definida sobre \mathbb R^3 en \mathbb R, es decir cualquier otra 1-forma, deberá tomar \alpha veces la primera componente del vector, \beta veces la segunda componente y \gamma veces la tercera, con lo que su representación en función de elementos de la base sería
\bm f=\alpha \bm \epsilon^1+\beta \bm \epsilon^2+\gamma \bm \epsilon^3La generalización a otro número de dimensiones y otros espacios vectoriales es inmediata.
Correspondencia vector-covector
Una vez visto que para cada espacio vectorial V existe un espacio dual V* de covectores, la pregunta evidente es ¿cómo puede asignarse a cada vector un covector?
La forma más inmediata y rabiosa es asignarle el que tenga las mismas componentes, es decir dada una base de V por ejemplo \{\bm e_1, \bm e_2,\bm e_3\} para \mathbb R^3, y dada una base de V* por ejemplo \{\bm \epsilon^1, \bm \epsilon^2, \bm \epsilon^3\} para R^{3*}, se puede hacer corresponder a cada vector el covector con las mismas componentes
\bm v=\alpha \bm e_1+\beta \bm e_2+\gamma \bm e_3 \longmapsto \bm f=\alpha \boldsymbol \epsilon^1+\beta \boldsymbol \epsilon^2+\gamma \boldsymbol \epsilon^3Pero esta asignación presenta un problema, si cambia la base la relación se rompe, ya que las componentes de vectores y covectores no cambian igual al cambiar la base, como se verá más adelante. Sería mucho más interesante buscar una relación vector-covector invariante ante un cambio de base. Para ello se asigna a cada vector v el covector que resulta al preparar un producto escalar de v, que figuradamente sería v. . Usar el producto escalar para encontrar el covector correspondiente a un vector tiene varias ventajas
- El producto escalar del vector \bm v por cualquier otro vector devuelve un escalar.
- El producto escalar cumple las condiciones de linealidad
- Es invariante tras un cambio de base si se tiene en cuenta la definición de producto escalar que involucra el tensor métrico.
Así que se puede considerar legítimamente \bm v. (leído uve punto) como una función lineal de V sobre los escalares, o sea una 1-forma. Teniendo en cuenta la definición de tensor métrico vista en el artículo sobre tensores, la correspondencia que buscamos se puede resumir así
| Vector \in V | Función (1-forma) correspondiente \in V^* | Sobre un vector cualquiera de V | Resultado |
| \bm v | \bm f() \equiv \bm v. | \bm s | \bm f(\bm s)=\bm v.\bm s=g_{\mu\nu}v^{\mu}s^{\nu} |
Cambios de bases, contravarianza y covarianza de componentes
La cuestión de cómo cambian las componentes de vectores y 1-formas al cambiar la base es clave a la hora de comprender los espacios duales, la generalización a tensores, y en general es la puerta de entrada a matemáticas más interesantes. Para conocer este tema primero hay que ver cómo cambian las bases, y después como consecuencia, como cambian las componentes de los vectores y covectores.
Un ejemplo sencillo sobre \mathbb R^2: Supongamos dos bases B=\{\bm e_1,\bm e_2\} y B'=\{\bm e'_1,\bm e'_2\}, y las correspondientes bases duales B^*=\{\bm \epsilon^1,\bm \epsilon^2\} y B^{*'}=\{\bm \epsilon'^1,\bm \epsilon'^2\}. Si la relación entre las bases del espacio vectorial es
\bm e'_1=\bm e_1+3\bm e_2 \bm e'_2=2\bm e_1+4\bm e_2se define la matriz de transformación T de la base B a B' (y T^{-1} de B' a B) así:
T=\begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{bmatrix} \qquad T^{-1}=\begin{bmatrix}{-2}&{1}\\{3 \over 2}&{-1 \over 2}\end{bmatrix} \qquad TT^{-1}=IUsando estas matrices, se pueden denotar las transformaciones de las bases y componentes
| TRANSFORMACIÓN | EN EL ESPACIO VECTORIAL | EN EL DUAL |
|---|---|---|
| DE BASES | \begin{bmatrix}{\bm e'_1} & {\bm e'_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\bm e_1} & {\bm e_2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} \\ \\ \bm e'_j=T_{ij}\bm e_i | \begin{bmatrix}{\bm \epsilon'^1} \\ {\bm \epsilon'^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{T^{-1}_{11}}&T^{-1}_{12}\\T^{-1}_{21}&T^{-1}_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{\bm \epsilon^1} \\ {\bm \epsilon^2} \end{bmatrix}\\ \\ \bm \epsilon'^i=T^{-1}_{ij}\bm \epsilon^j |
| DE COMPONENTES | \begin{bmatrix}{ v'^1} \\ { v'^2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{T^{-1}_{11}}&T^{-1}_{12}\\T^{-1}_{21}&T^{-1}_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{ v^1} \\ { v^2} \end{bmatrix}\\ \\ v'^i=T^{-1}_{ij} v^j | \begin{bmatrix}{ w'_1} & {w'_2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{w_1} & {w_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{T_{11}}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix} \\ \\ w'_j=T_{ij} w_i |
Parece oportuno realizar algunos comentarios que aclaren la tabla de arriba
- Las casillas en rojo son relaciones de contravarianza, ya que la matriz de la transformación es la inversa que la de cambio de base del espacio vectorial. Son contravariantes la transformación de la base dual y la transformación de componentes del espacio vectorial típica. Por eso a los vectores se les llama contravariantes.
- La casilla en verde es la relación de covarianza, ya que la matriz de transformación es la misma que la de cambio de base del espacio vectorial. Por este motivo a las 1-formas también se les llama covectores.
- En algunas casillas aparecen matrices fila o bien matrices columna para no tener que trabajar con matrices traspuestas. Esto tiene como consecuencia que al trabajar con componentes de vectores se usen el formato matriz columna, y para las componentes de covectores se use el formato matriz fila.
- La cuestión del uso de matrices traspuestas se soluciona en el convenio de sumación de Einstein sumando bien por el primer índice o bien por el segundo.
Interpretación geométrica de una 1-forma
Es común representar un elemento de un espacio vectorial (vector) con una flecha, dado el isomorfismo entre tuplas de números y flechas. Sin embargo la representación geométrica de un elemento de su dual no se representa con una flecha, vamos con ello: para la 1-forma \bm f= 2 \bm \epsilon^1+2\bm \epsilon^2 aplicado al vector \bm v= 4 \bm e_1+2 \bm e_2, que se suele denotar en formato matricial
Se puede representar geométricamente una 1-forma (en dos dimensiones) como un conjunto de líneas paralelas en el plano. Estas líneas, concretando para el ejemplo propuesto, son las rectas 2x+2y=\mathbb N, y cortarán a un vector en cierto número de trozos. El número de trozos en los que se rompe el vector es igual al resultado \bm f(\bm v)=12.
Razonando igualmente para el ejemplo del vector \bm v= 3 \bm e_1+\frac{1}{2} \bm e_2 se aprecia que se divide en 7 partes.
\underbrace{\begin{bmatrix}{2} & {2} \end{bmatrix} }_{1-forma} \underbrace{\begin{bmatrix}{3} \\ {1 \over 2} \end{bmatrix}}_{vector}=7Algunos usos interesantes de espacios duales
Notemos antes que no es lo mismo una 1-forma que un campo de 1-formas (campo covectorial), por lo mismo que no es igual un vector que un campo vectorial; en el segundo se asigna una 1-forma a cada punto de una variedad. Dicho lo anterior, algunas 1-formas de interés clave en física son:
- El espacio dual del espacio tangente de una variedad permite definir de forma rigurosa las 1-formas diferenciales como campos de covectores, y permite unificar conceptos como campo escalar, gradiente, rotacional y divergencia en el marco del cálculo exterior. También dirige hacia el tratamiento riguroso de las integrales de línea, área, volumen y n-volumen.
- El espacio dual de un espacio vectorial en general, permite definir el concepto de tensor como aplicación multilineal, que tiene como dominio e imagen productos (tensoriales) de espacios vectoriales y sus duales. Los tensores tienen una importancia central en los modelos matemáticos de la física y la ingeniería porque son invariantes ante un cambio de base, por lo que sirven para representar magnitudes invariantes ante cambios de base. Un cambio de base puede derivarse del cambio en la unidad de medida, rotaciones del aparato de medida y reflexiones por ejemplo. Aquí tenemos un monográfico sobre tensores.
Y como siempre espero que haya gustado este artículo sobre las 1-formas, su utilidad, su álgebra e interpretación geométrica. Cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.