Diferencial Exterior

La diferencial exterior es una operación que generaliza el concepto clásico de diferencial de funciones escalares sobre variedades (también llamados campos escalares o 0-formas) a formas diferenciales de grado superior.  En general la diferencial exterior produce una k+1-forma diferencial a partir de una k-forma diferencial; para ello se define primero la diferencial exterior de 0-formas como la diferencial total, y luego se extiende la definición para formas diferenciales de grado superior.

El interés de la diferencial exterior es el de permitir una diferenciación de tensores antisimétricos, de tal modo que el resultado sea también un tensor antisimétrico, de modo que al calcular no nos salgamos del álgebra exterior. La operación de diferenciación exterior es muy frecuente en física, como cuando se desea derivar una magnitud de carácter tensorial (y en particular vectorial), como puede ser el cuadripotencial electromágnético para obtener el tensor de Faraday, o bien las derivadas clásicas de campos vectoriales sobre \mathbb R^3.

Propiedades de la diferencial exterior

La derivada de una k-forma diferencial debe satisfacer por definición las siguientes propiedades, siendo \bm f una 0-forma o campo escalar, \bm \alpha una k-forma diferencial, y \bm\beta una L-forma diferencial.  En primer lugar como se ha comentado se define para 0-formas, denotando con subíndices la derivación parcial respecto de una variable

d \bm f=f_x \bm dx+f_y \bm dy+ f_z \bm dz

Hay que acostumbrarse al cambio de mentalidad, al que se ayuda con la notación en negrita, ya que en este contexto el conjunto \{ \bm dx, \bm dy, \bm dz\} es la base del espacio de 1-formas. Dicho lo anterior, notemos que los coeficientes son los mismos que los del gradiente del campo escalar \bm f, ( f_x,f_y, f_z ). A continuación las siguientes propiedades permiten generalizar la operación para formas de grado superior

  1. d(\lambda_1 \bm \alpha +\lambda_2 \bm \beta)=\lambda_1 \bm d \alpha+ \lambda_2\bm d \beta
  2. d( \bm \alpha \wedge \bm \beta)=\bm d \alpha \wedge \bm \beta+ (-1)^k ( \bm \alpha \wedge \bm d \beta)
  3. d(\bm d \alpha) =0
  4. \bm \alpha es una k-forma cerrada si \bm d \alpha=0
  5. \bm \alpha es una k-forma exacta si \exists \bm \beta , \bm d \beta=\bm \alpha
  6. Toda forma exacta es cerrada, trivial de las propiedades 3. 4. y 5. del apartado anterior.

Ejemplo 1: Diferencial exterior de una función multiplicada por una forma

En este ejemplo se toma como función escalar una 0-forma sobre \mathbb R^3, y empleando las propiedades 2. y 3. se obtiene

d(\bm f \wedge \bm d \alpha)=\bm d f \wedge \bm d \alpha -\cancel {\bm f \wedge d(\bm d \alpha)}=(f_x \bm dx+f_y \bm dy+ f_z \bm dz)\wedge \bm d \alpha

Sus componentes son las del gradiente de un campo escalar.

Ejemplo 2: Diferencial exterior de una 1-forma diferencial

En este ejemplo clásico se va a emplear el álgebra exterior \Lambda ( \mathbb R^{3*}). Sea \bm \alpha=A \bm d x+B \bm dy+C \bm dz una 1-forma diferencial con A, B y C 0-formas. Deseamos calcular d\bm \alpha.

d \bm \alpha=d(A \bm d x+B \bm dy+C \bm dz)=\\d(A \bm dx)+d(B \bm dy)+d(C \bm dz)

Ahora se toma la diferencial total de las funciones A, B y C

(A_x \bm dx+A_y \bm dy+A_z \bm dz) \wedge \bm dx+\\ (B_x \bm dx+B_y \bm dy+B_z \bm dz)\wedge \bm dy+\\(C_x\bm dx+C_y \bm dy+C_z \bm dz) \wedge \bm dz

y eliminando los productos nulos y teniendo en cuenta la antisimetría del producto exterior se obtiene la 2-forma de abajo, que en este caso tiene los mismos coeficientes que el rotacional del campo vectorial (A,B,C).

d \bm \alpha=(A_y-B_x) \bm dy \wedge \bm dx+(A_z -C_x) \bm dz \wedge \bm dx +(B_x-A_y) \bm dx \wedge \bm dy

Sobre la notación: Es habitual encontrárselo en notación de Einstein con índices en el lenguaje del cálculo exterior, denotando \bm \alpha=A_i \bm d x_i, para 1 \le i<j \le 3, y con \partial_i la derivada parcial respecto de i.

d \bm \alpha=(\partial_i A_j-\partial_j A_i) \bm dx_i \wedge \bm dx_j \color{blue} \small [Fórmula 1]

o en el lenguaje del cálculo tensorial (véase la \color{blue} \small [Fórmula 1] del artículo sobre formas diferenciales)

d \bm \alpha=(\partial_i A_j-\partial_j A_i) (\bm dx_i \otimes \bm dx_j-\bm dx_j \otimes \bm dx_i) \color{blue} \small [Fórmula 2]

que sirve también para representar la diferencial exterior de 1-formas diferenciales de \Lambda (\mathbb R^{4*}) como las que se emplean en modelos matemáticos relativistas.

Ejemplo 3: Diferencial exterior de una 2-forma diferencial

De nuevo un ejemplo clásico sobre el álgebra exterior \Lambda (\mathbb R^{3*}). Sea \bm \alpha=A \bm dy \wedge \bm dx+B \bm dz \wedge \bm dx+C \bm dx \wedge \bm dy una 2-forma diferencial con A, B y C 0-formas. Deseamos calcular d\bm \alpha, y aplicando las reglas igual que en el ejemplo 1 se llega rápidamente a la 3-forma

d \bm \alpha=(A_x+B_y+C_z) \bm dx \wedge \bm dy \wedge \bm dz

ya que todos los productos que repitan elemento de la base se anulan. En este caso tiene el mismo coeficientes que el valor de la divergencia del campo vectorial (A,B,C).

Igualmente se opera para diferenciales exteriores de tensores de dimensión mayor. Como siempre espero que te haya servido y cualquier corrección o comentario son bienvenidos.

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