Espacio dual

Supongamos un espacio vectorial genérico V sobre un cuerpo F. Por poner un ejemplo uno se puede imaginar \mathbb R^3 que está creado sobre el cuerpo \mathbb R . Buscamos cual sería su espacio dual.

Podemos definir funciones lineales que tengan como dominio el espacio vectorial V y como imagen el cuerpo F. Dicho de otra forma, funciones que aplican sobre el espacio vectorial, para dar como resultado elementos del cuerpo (escalares).

Pues bién, el conjunto de todas las funciones posibles de este tipo forma el espacio dual de V, y se denota con V^*

Espacio dual
Figura1: V* es el conjunto de aplicaciones de V sobre su cuerpo F. En la imagen el grupo de flechas rojas denota un elemento de V*.

Base natural del espacio dual

El espacio de la figura 1, dual de \mathbb R^3, tiene como base trivial o base natural el conjunto formado por las tres aplicaciones que hacen corresponder para cada vector de \mathbb R^3 la primera, segunda y tercera coordenada respectivamente. En el caso concreto del ejemplo es el conjunto formado por las tres funciones f_1, f_2, f_3 que se comportan por ejemplo para el vector (3,-5,4.5) así:

f_1(3,-5,4.5)=3 f_2(3,-5,4.5)=-5 f_3(3,-5,4.5)=4.5

Es decir la base es el conjunto \{f_1,f_2,f_3\}

La generalización a otro número de dimensiones y otros espacios vectoriales es inmediata.

Algunos espacios interesantes

Teniendo la definición de espacio dual ya clara, estamos en condiciones de ver cuales en concreto son de interés clave en física, por ejemplo:

  • El espacio dual de un espacio vectorial en general, permite definir el concepto de tensor, como aplicación multilineal que tiene como dominio e imagen productos cartesianos de espacios vectoriales y sus duales.  Aquí tenemos un pequeño monográfico sobre tensores.
  • El espacio dual del espacio tangente de una variedad, o espacio de diferenciales, permite definir de forma rigurosa las 1-formas o gradiente.  Más allá de esto, el estudio de las n-formas unifica conceptos como campo escalar, gradiente y divergencia.

Te animo a ver los posts de casos clásicos de espacios duales como tensores y 1-formas.

Y como siempre espero que haya gustado este pequeño post sobre espacios duales. Cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.

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