Espacio tangente y el operador derivada direccional

El espacio tangente de una variedad tiene al menos tres interpretaciones usuales: como «haz de flechas tangentes», como tuplas de números y como campo de operadores derivada direccional. Este post está escrito con la intención de desgranar paso a paso cómo se realiza la interpretación como campo de operadores derivada direccional, que es la habitual en geometría diferencial. Se tomará \mathbb R^2, el plano real, como variedad sobre la que realizar los ejemplos.

La derivada direccional

Es usual acercarse al concepto de derivada \phi ' de una función real de variable real \phi : \mathbb R \to \mathbb R como cociente de dos diferenciales.

\phi '=\frac {d \phi}{dx}

Sin embargo extender el concepto de derivada a campos escalares (funciones de varias variables) por ejemplo \mathbb R^2 \to \mathbb R no es inmediato. Si se realiza un movimiento infinitesimal en el eje x, la tasa de cambio de la función no tiene porqué ser la misma que si nos movemos infinitesimalmente en el eje y. Por tanto se requiere ampliar el concepto de derivada \phi ' , de modo que incluya alguna idea sobre la dirección en la que se desea calcular la tasa de cambio de la función.

Se define entonces la derivada parcial respecto de x, como la tasa de cambio de la función realizando un movimiento infinitesimal en el eje x. Igualmente se procede para el eje y, e igualmente para otros ejes. La derivada parcial se denota como

\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, ...

Si se desea ahora realizar un desplazamiento infinitesimal en el dominio de la función, por ejemplo en la dirección apuntada por el vector (4,4) , estaríamos calculando una derivada direccional en la dirección (4,4) , y se define como \phi_{(4,4)} '

Espacio tangente y derivada direccional
Dibujo figurativo de \phi_{(4,4)} '=4 \frac{\partial \phi}{\partial x} + 4 \frac{\partial \phi}{\partial y} , se trata de un campo escalar sobre \mathbb R^2, se ha representado en el eje Z el valor del campo para facilitar la visualización, sin embargo no hay que olvidar que la representación de la variedad es el plano real, sobre el que se define un campo escalar. Por ejemplo una chapa metálica con temperaturas diferentes en cada punto.

En esta definición de derivada direccional hay una cuestión bastante molesta, y es que para definir la dirección se ha usado el vector (4,4) , pero se podría haber usado el (1,1) o cualquier otro vector que apunte en la misma dirección. La elección del vector produce un factor de escala en el resultado, que induce a usar vectores de longitud unitaria tipo (\frac{1}{ \sqrt{2}}, \frac{1}{ \sqrt{2}} ), para no tener que bregar con el problema del escalado.

En todo caso vamos a obviar el problema de la escala, con lo que estamos ya en condiciones de definir …

El operador derivada direccional

Se elimina la función \phi de la definición anterior, de modo que tenemos un operador que se podría aplicar a cualquier función

\xi= 4 \frac{\partial }{\partial x} + 4 \frac{\partial }{\partial y}

Este operador \xi, aplicado a una función arbitraria \phi, nos entrega la cacareada derivada de la función en la dirección expresada por el operador. Teniendo en cuenta que ya hemos definido \xi, la derivada direccional de la función \phi se denota como

\xi (\phi)

Generalizando la notación a más dimensiones, y sin concretar una dirección, se puede escribir el operador derivada direccional como

\xi= \xi^1 \frac{\partial }{\partial x_1} + \xi^2 \frac{\partial }{\partial x_2} +...+\xi^n \frac{\partial }{\partial x_n}

o equivalentemente en forma más compacta como a continuación. Justificamos en el siguiente apartado esta visión vectorial del operador.

\xi= ( \xi^1 , \xi^2 ,...,\xi^n)

El operador derivada direccional como vector

Se puede demostrar que los operadores derivada direccional forman un espacio vectorial una vez definida su suma y producto por un escalar

\left (a \frac{\partial}{\partial x}+ b \frac{\partial}{\partial y} \right)+ \left (c \frac{\partial}{\partial x}+ d \frac{\partial}{\partial y} \right ) = (a+c) \frac{\partial}{\partial x}+ (b+d) \frac{\partial}{\partial y} \lambda \left (a \frac{\partial}{\partial x}+ b \frac{\partial}{\partial y} \right) = \left ( \lambda a \frac{\partial}{\partial x}+ \lambda b \frac{\partial}{\partial y} \right)

Siguiendo la convención habitual representaríamos un vector (es decir, un operador derivada direccional) como (a,b), y en nuestro caso (4,4) en la base

B=\left \{ \frac{\bm \partial}{\bm {\partial x}}, \frac{\bm \partial}{\bm {\partial y}} \right \}

Isomorfismo entre tuplas, flechas y operadores derivada direccional

No me quedo tranquilo si no escribo expresamente sobre el isomorfismo entre tuplas de elementos de \mathbb R, flechas y operadores derivada direccional, ya que en la literatura habitual se presupone el isomorfismo, pero no siempre se expone explícitamente. Se va a realizar el desarrollo con ejemplos tomados de espacios de dos dimensiones.

Sean los tres conjuntos, que por cierto son bien diferentes

  • Tuplas de elementos de \mathbb R, del tipo (a,b) : a,b \in \mathbb R
  • Flechas en el plano afín de dos dimensiones
  • Operadores derivada direccional de funciones de dos variables reales

Sobre cada uno de estos conjuntos se pueden definir respectivas operaciones suma

  • (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
  • Suma de flechas empleando la «regla del paralelogramo»
espacio tangente regla del paralelogramo
«Regla del paralelogramo»
  • Para operadores derivada direccional, usando la definición anterior de suma \left (a \frac{\partial}{\partial x}+ b \frac{\partial}{\partial y} \right)+ \left (c \frac{\partial}{\partial x}+ d \frac{\partial}{\partial y} \right ) = (a+c) \frac{\partial}{\partial x}+ (b+d) \frac{\partial}{\partial y}

Sobre cada uno de estos conjuntos se pueden definir adicionalmente respectivas operaciones producto por un escalar

  • \lambda (a,b)=(\lambda a, \lambda b)
  • Producto de flecha por escalar, «multiplicando la longitud de la flecha \lambda veces»
  • Para operadores derivada direccional, usando la definición anterior de producto por un escalar \lambda \left (a \frac{\partial}{\partial x}+ b \frac{\partial}{\partial y} \right) = \left ( \lambda a \frac{\partial}{\partial x}+ \lambda b \frac{\partial}{\partial y} \right)

Naturalmente para que la derivada direccional esté definida, la variedad tiene que ser adecuadamente suave. A las variedades en las que se puede diferenciar sobre ellas reciben el nombre genérico de variedades diferenciables. Este tipo de variedades equipadas adicionalmente con un producto interno que permita definir nociones métricas como distancia, ángulo y área, se denominan variedades Riemannianas, y son el objeto geométrico básico sobre el que se formula la teoría de la relatividad general. Esta ecuación relaciona la geometría del espacio-tiempo con la energía encerrada en él, y su formulación es de carácter diferencial (y tensorial).

Volviendo a la cuestión que nos ocupa, estos tres conjuntos así definidos, con las operaciones suma y producto por un escalar son isomorfos, y se denotan habitualmente como \mathbb R^2 indistintamente cualquiera de ellos.

Isomorfos significa (coloquialmente) que existe una relación uno a uno entre sus elementos, y que las operaciones se comportan «equivalentemente» en los tres conjuntos. Desde este punto de vista algebraico los tres conjuntos son indistinguibles, y en ciertas literaturas se mezclan unos y otros, dando pie a posibles confusiones.

En relación con la nomenclatura, es más usual que al hacer referencia a tuplas de números se le llame espacio de vectores contravariantes. Si se hace referencia al espacio de «flechas» se le llama espacio tangente. Si se hace referencia más bien a un espacio de operadores derivada direccional se le llama espacio de derivadas parciales. Hay que tener en cuenta de todas formas que se trata del mismo espacio, llamando «iguales» a los tres espacios isomorfos.

Operador derivada direccional como elemento del espacio tangente de una variedad

Una variedad \mathcal C es un espacio que localmente se parece a \mathbb R ^n (definición muy coloquial). De hecho se define empleando cartas, que son biyecciones con \mathbb R ^n.

Consideremos ahora realmente la variedad z=-x^2-y^2. Se trata del espacio cuyos puntos son (x,y,-x^2-y^2), un subconjunto de \mathbb R^3 (inmerso en \mathbb R^3). Por favor no confundir este espacio con el campo escalar \phi(x,y)=-x^2-y^2 definido sobre la variedad \mathbb R^2 que nos ha servido para calcular su derivada. Se trata de objetos matemáticos dramáticamente diferentes.

Volviendo al ejemplo de la variedad z=-x^2-y^2 inmersa en \mathbb R^3. Su espacio tangente en un punto es el conjunto de todos los vectores tangentes en ese punto, y tiene la misma dimensión n que la variedad original; en este caso 2 aunque esté inmerso en \mathbb R^3, porque con un par de coordenadas curvilíneas se puede abarcar toda la superficie.

Se suele representar el espacio tangente en un punto, como un plano tangente en el punto en cuestión. Los elementos del espacio tangente en un punto se suelen representar intuitivamente como flechas n-dimensionales tangentes a la variedad en el punto. En este tipo de diagramas la variedad está inmersa en un espacio de dimensión superior, y el ejemplo clásico son variedades de dos coordenadas inmersas en \mathbb R ^3

Espacio tangente de una variedad
Espacio tangente a la variedad variedad z=-x^2-y^2 inmersa en \mathbb R^3 en un punto.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, los operadores derivada direccional se pueden entender como elementos del espacio tangente de una variedad, debido al isomorfismo entre las tuplas de \mathbb R^n, las flechas n-dimensionales, y los operadores derivada direccional para funciones n-dimensionales.

Se puede añadir por completar la cuestión de los espacios tangentes, que el conjunto formado por los puntos de la variedad unidos a sus vectores tangentes correspondientes se denomina fibrado tangente T(C) a la variedad, y es un espacio 2n dimensional (n dimensional por la variedad mas n dimensional por el espacio tangente). Este espacio es la base del modelo matemático de la mecánica lagrangiana.

Operadores derivada direccional y campos de vectores

Sencillamente comentar que en el ejemplo se ha usado una dirección privilegiada constante para la derivación de \phi, que ha sido (4,4).

Sin embargo lo normal es que la dirección en la que se deriva se evalúe en cada punto de la variedad. Así que el operador derivada direccional, tendrá como parámetros n funciones suaves de \mathbb R^n, formando un campo vectorial \bm \xi= ( \xi^1 , \xi^2 ,...,\xi^n)

Ejemplo de calculo de una derivada direccional

Sea el campo escalar \phi=x^2+y^2 definido sobre la variedad \mathbb R^2. Se desea calcular la derivada direccional en la dirección (4,4), en los puntos (1,1), (1,-1),(-1,1),(-1,-1). Esta función tiene el aspecto de paraboloide de revolución si se representa en el eje Z el valor de la función por mayor claridad. No hay que olvidar que se trata de un escalar asociado a cada punto del plano x, y.

Campo escalar ejemplo
Representacion del campo escalar \phi=x^2+y^2

El operador derivada direccional ya se ha visto anteriormente. El vector que indica la dirección no se ha elegido unitario a propósito para que quede patente el factor de escala que introduce.

\bm \xi= 4 \frac{\bm \partial }{\bm{\partial x}} + 4 \frac{\bm \partial }{\bm{\partial y}}

Que gráficamente se representa como un campo vectorial constante (y es precisamente la motivación de este post) ya que la dirección de derivación (4,4) es la elegida para todos los puntos de la variedad (el plano). En la figura, las flechas del campo vectorial apuntan hacia arriba inclinadas 45º

Espacio tangente y el operador derivada direccional 1
Campo vectorial correspondiente al operador (4,4)

Y los valores de la derivada en la dirección (4,4) en los puntos pedidos son

(1,1) \implies \xi(\phi)= 4 .2x+4.2y =16 (-1,1) \implies \xi(\phi)= 4 .2x+4.2y =0 (1,-1) \implies \xi(\phi)= 4 .2x+4.2y =0 (-1,-1) \implies \xi(\phi)= 4 .2x+4.2y =-16

Que son sencillamente escalares en cada punto (en negro, en rojo la dirección de derivación)

Valor de la derivada direccional
Valores de la derivada direccional

Y sin más espero haber aportado con claridad sobre la cuestión de cómo se identifica un operador derivada direccional con un campo de vectores. Como siempre cualquier comentario, sugerencia o corrección son bienvenidos.

Otras referencias

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_tangente

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