Forma diferencial

Una forma diferencial es lo que se pone dentro de una integral. Dado que es un objeto que nace para ser integrado, posee una estructura local que proyecta líneas, superficies, volúmenes o hipervolúmenes sobre escalares. El descubrimiento de esta bella estructura local es el objeto de este artículo.

Si no tienes claro el concepto de covector o 1-forma recomendamos encarecidamente revisar antes el artículo.  También es conveniente sentirse algo cómodo con la derivada direccional, los tensores y un poco de álgebra exterior

1-Formas diferenciales

Una motivación aunque no la única para conocer las 1-formas diferenciales, es la realización de integrales de línea.  Éstas integrales deben hacer corresponder a cada «segmento infinitesimal» de una trayectoria en una variedad un escalar, y esta proyección la hace una 1-forma diferencial.  Los escalares serán luego sumados por la integral.

Una 1-forma diferencial es por tanto un tipo particular de campo de 1-formas.  Se construye uniendo los espacios cotangentes de la variedad en cada punto p (duales del espacio tangente).  La base de los espacios cotangentes en cada punto es B=\{dx_1, dx_2, ... , dx_n \}, y por tanto una 1-forma diferencial se puede expresar localmente como combinación lineal de los elementos de ésta base así \bm \alpha=\sum_n f_n(x_n)dx_n.

Notemos que por ejemplo para la clásica integral de trayectoria sobre un campo tridimensional conservativo, la variedad considerada es \mathbb R^3, y la 1-forma diferencial es un elemento \bm \alpha \in \bigcup_p \mathbb R^{3*}.

Covarianza

Una idea que hay que tener clara sobre las formas diferenciales es que son objetos covariantes. Bien para las 1-formas diferenciales, que son covectores, como para las k-formas que son tensores k-covariantes, esta idea de covarianza debe ser la base sobre la que construir el concepto.  Sobre esta idea se puede visualizar su interpretación geométrica, integración y finalmente su álgebra.

Para comprobar la covarianza tomaremos como ejemplo la 1-forma diferencial \bm \alpha=2xdx+2ydy, que se deriva del campo escalar (0-forma) \bm \phi(\mathbb R^2)=x^2+y^2. La 1- forma diferencial se habrá comportado como un covector (covariante), si al cambiar la base del espacio vectorial a otra de «doble tamaño» duplica las componentes de la 1-forma diferencial. Veámoslo por ejemplo sobre la variedad \mathbb R^2 .

Sea T_p(\mathbb R^2) el espacio tangente en un punto p de la variedad \mathbb R^2 y dos bases. Una la de siempre B=\left \{ \bm e_i \right \}=\left \{ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right \} y además la base «doble tamaño» B'=\left \{ \bm e'_i \right \}=\left \{2 \frac{\partial}{\partial x}, 2\frac{\partial}{\partial y} \right \}

Sea la base del dual \mathbb R^{2*}, B^*=\left \{ \bm \epsilon_i \right \}=\{dx,dy \}. Deseamos encontrar ahora la nueva base dual para ver cómo quedan las componentes. Resulta que por definición \bm \epsilon'^i( \bm e'_j)=\delta_j^i, y es necesario que si la base vectorial es «doble tamaño», la base dual sea «mitad de tamaño» para conservar \delta_j^i, o sea B'^*=\{ \bm \epsilon'^i \}=\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}. Teniendo ya las bases se puede ver como quedan las componentes. Sea la 1-forma

\small \bm \alpha=d \bm \phi=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} dy=2xdx+2ydy \equiv \\ \equiv \left (\frac{\partial \bm \phi}{\partial x}, \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} \right ) =\color {red}(2x,2y) \color {black}

Se cambia la base dual a la de «mitad tamaño» {B'_p}^* =\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}=\{ dx',dy' \} , y sustituyendo en la expresión de la 1-forma diferencial

\small \bm \alpha=d\bm \phi=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} dy=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} {2dx' } + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} {2dy' } \equiv \\ \equiv \color {red}(4x,4y)\color {black}

Con lo que efectivamente al cambiar la base del espacio vectorial a otra «doble tamaño», las componentes de la 1-forma diferencial también se incrementan en igual proporción. Este es el concepto de covarianza.

Interpretación geométrica en el plano

Si visitas el artículo sobre 1-formas verás un ejemplo de una 1-forma de \mathbb R^2 se puede interpretar como una serie de líneas paralelas que trocean vectores.

covector representación geométrica
[Figura 1] Representación geométrica de un covector

A partir de aquí una 1-forma diferencial es un campo de 1-formas definido sobre una variedad diferenciable. Por ejemplo para una 1-forma diferencial definida sobre \mathbb R^2 hay que imaginarse que en cada punto se tienen las líneas rojas de la [figura 1] de tamaño infinitesimal. La unión de las líneas trazará las típicas curvas de nivel, que es como se representan geométricamente las 1-formas diferenciales. En general una 1-forma diferencial que se deriva de un campo escalar definido sobre una n-variedad, es un objeto (n-1)-dimensional. La derivación del campo escalar se efectúa con la operación derivada exterior.

Para ejemplos de este tipo, las [figura 2] y [figura 3] muestran campos escalares sobre \mathbb R^2 (dimensión 2), y a la derecha las curvas de nivel representan 1-formas diferenciales (dimensión 1). Dos matizaciones: naturalmente no se representa una línea infinitesimal para cada punto de la variedad, sino que se seleccionan algunas líneas para ilustrar la idea general. El gradiente representado por las flechas de ambas figuras induce una orientación espacial a las curvas de nivel, que cobrará importancia a la hora de integrar las k-formas.

1-Forma diferencial en el plano 1
[Figura 2] Campo escalar \phi(\mathbb R^2)=xy, y su correspondiente 1-forma diferencial \alpha=ydx+xdy
1-Forma diferencial en el plano 2
[Figura 3] Campo escalar \phi(\mathbb R^2)=sin(x)cos(y), y su correspondiente 1-forma diferencial \alpha=cos(x)cos(y)dx-sin(x)sin(y)dy

Interpretación geométrica en el espacio

Si la 1-forma diferencial está definida sobre \mathbb R^3 (dimension 3), a cada punto de la variedad se le asocia una 1-forma diferencial que se puede representar como un elemento 2-plano de grosor infinitesimal. La unión de todas las 1-formas de la 3-variedad, se puede representar por conveniencia con algunas superficies de nivel al estilo de la [Figura 4]. Éstas poseen grosor infinitesimal, y en este ejemplo las flechas representan el gradiente que induce la orientación de las superficies.

1-forma diferencial en el espacio
[Figura 4] Campo escalar \phi(\mathbb R^3)=xyz, y su correspondiente 1-forma diferencial \alpha=yzdx+xzdy+xydz

Otra interpretación geométrica de la integral definida

Una 1-forma diferencial es un objeto matemático que será operado en integrales de línea sobre n-variedades diferenciables. Si n \ge 2 se pueden calcular parametrizando la trayectoria C tal que x \equiv x(\lambda) e y \equiv y(\lambda), etc, con lo que en la práctica calculan como sobre n=1.

1-forma diferencial integración
[Figura 5] Integración en \mathbb R \mapsto \int \underbrace{f(x) dx}_{1-forma} y en \mathbb R^2 \mapsto \oint_c \underbrace {f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy}_{1-forma} \equiv \int \underbrace {f_3(\lambda)d\lambda}_{1-forma}

Notemos que, en el fondo, estamos trabajando con dos objetos

  • El integrando (la 1-forma diferencial), que normalmente modifica su valor a lo largo de la trayectoria
  • La trayectoria en sí, de la que no se suele ser consciente para integrales de función real de variable real. Es el intervalo del eje X sobre el que se realiza la integral, en el \small \color {blue}[Ejemplo 1] \color{black} (más adelante) sería \left [1,3\right] y \left [ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] .

Ahora bien, ¿Cuál es la forma adecuada de representarlos? Tomemos el ejemplo para la integral

\int {x^2 \over 2}dx

Se calculan primero las curvas (líneas) de nivel del campo escalar del que procede \phi(x)=\frac{x^3}{6} [Figura 6]. En este caso particular estarán cada vez más cercanas y presentan una orientación en el sentido creciente del campo. La trayectoria en el eje X es troceada por las líneas de nivel. El número total de trozos es el valor de la integral.

1-forma diferencial integración
[Figura 6] Líneas de nivel de \phi(x)=\frac{x^3}{6}\\ x=\sqrt[3]{6n}

Invarianza de la integral definida

Adicionalmente los resultados de estas integrales son inmunes a un cambio de base (escala), y se obtienen al «operar» de alguna manera la 1-forma diferencial sobre la trayectoria. Así se pueden identificar integrandos diferentes con un mismo objeto matemático ¡al menos desde el punto de vista de que su integral definida es la misma!. Por lo tanto al denotar la integral estamos refiriéndonos a un invariante:

\oint_{c}(1-forma)

Veamos un ejemplo muy sencillo para ilustrar que al cambiar la base x=2u la integral no varía. \quad \small \color {blue}[Ejemplo 1] \color{black}

\int_{1}^{3} x dx=\color{red}4 \color{black}\quad; \qquad f(x)=\frac {x^2}{2} \int_{0,5}^{1,5}2u 2du=\color{red}4 \color{black}\quad ; f(u)=2u^2

De manera que a partir de ahora puedes imaginar la integral de línea como una trayectoria troceada por las líneas de nivel del campo escalar expresado por la primitiva de la 1-forma, produciendo un número de trozos invariante. Aunque parezca que se trata de una complicación sin ganancia ninguna, veremos que se trata de la forma adecuada de entender las k-integrales para dimensiones mayores, siendo la integral de línea el caso particular más sencillo.

2-Formas diferenciales

La motivación de este tipo de objeto matemático proviene de la necesidad de realizar integrales de superficie. El objeto que asocia a un elemento de «superficie infinitesimal» un escalar, es una 2-forma diferencial. A continuación se inducen las propiedades de este objeto de bellas representaciones geométricas.

Covarianza y antisimetría tensorial

A la hora de localizar algún objeto que sirva para asociar a un elemento de «superficie infinitesimal» un escalar, surge una cuestión interesante: el elemento de «superficie infinitesimal» que deseamos integrar está definido por dos vectores tangentes a la superficie de integración. El objeto matemático más general que proyecta un par de vectores sobre escalares es el tensor 2-covariante; éste es el candidato evidente para componer una 2-forma diferencial. Como la proyección hay que realizarla para todos los puntos de la variedad, una 2-forma es un campo de tensores 2-covariantes.

Se requiere además que la proyección de los dos vectores tangentes sobre los escalares sea anticonmutativa para poder asignar una orientación a la proyección (¡no se tiene en cuenta la orientación de la superficie de integración ahora!). Esta orientación de la proyección tendrá significado físico cuando el tensor se emplee para representar magnitudes orientadas, como el campo electromagnético. ¿Entonces, cómo condiciona este requisito las propiedades del tensor 2-covariante?

Denotemos con \bm \alpha y \bm \beta dos tensores 1-covariantes (dos 1-formas) y \bm u y \bm v dos vectores. Es trivial que

\bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) -\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)=-(\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)\bm - \bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) )

Y el truco es que definiendo el tensor 2-covariante \bm \gamma así

\bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta=\bm \alpha \otimes \bm \beta -\bm \beta \otimes \bm \alpha \qquad \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}

es inmediato que la operación de proyección \bm \gamma de \bm u y \bm v a escalares es anticonmutativa como se quería

\bm \alpha(\bm u) \wedge \bm \beta (\bm v)=\bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) -\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)=-(\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)\bm - \bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) )=-\bm \beta (\bm v) \wedge \bm \alpha(\bm u)

Ya casi está, ahora disponemos de una definición «operacional» del tensor 2-covariante que necesitamos según la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}. Pero ¿Cuáles serán en concreto las componentes del tensor?. No olvidemos que para la física hay que ser prácticos. Recuperemos del artículo de álgebra exterior la definición producto exterior como anticonmutativo, y que las componentes del producto exterior son antisimétricas. !Hemos encontrado nuestro objeto, enhorabuena!, se trata de un campo tensorial 2-covariante antisimétrico también denominado 2-forma diferencial. En la [Figura 7] \bm \gamma \in \bigcup_p \Lambda^2 \mathbb R^{2*}, y en la [Figura 8] \bm \gamma \in \bigcup_p \Lambda^2 \mathbb R^{3*} . Va a permitir realizar proyecciones orientadas de pares de vectores tangentes a la superficie de integración. Éstos existirán si la superficie de integración es una variedad diferenciable, y con un poco de suerte dispondremos de una para nuestro modelo matemático de la física.

La importancia de la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black} es notable. Indica que un tensor 2-covariante antisimétrico puede ser expresado de dos formas: tomando como base el espacio tensorial general, o bien el subespacio de tensores antisimétricos, siendo tan válida la una como la otra. Notemos que las componentes de la expresión pretendida deben ser sensiblemente diferentes, ya que por ejemplo la dimensión del espacio tensorial dim (\mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2)=4 mientras que dim (\Lambda^2 \mathbb R^2)=1, o bien que dim (\mathbb R^3 \otimes \mathbb R^3)=9 mientras que dim (\Lambda^2 \mathbb R^3)=3.

Ejemplo, en la base \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2

\bm \gamma=\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{-4}&{0}\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix}

y en la base \Lambda^2 \mathbb R^2

\bm \gamma=\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{-4}&{0}\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}

más adelante se generaliza este ejemplo en la \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black}

Interpretación geométrica en el plano

Recordemos la interpretación geométrica de las 1-formas diferenciales en el plano [Figura 2] y [Figura 3]. Para imaginar una 2-forma hay que corresponder bi(co)vectores \bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta a cada punto del plano (sólo se dibujan algunos significativos), teniendo cada bi(co)vector su precursor en cada par de 1-formas \bm \alpha y \bm \beta orientadas constituyentes, y formando «rejas». La orientación de la 2-forma depende del orden de multiplicación de las 1-formas.

2-forma diferencial en el plano
[Figura 7] \bm\alpha \wedge \bm \beta=(ydx+xdy) \wedge ( {1 \over {8 \pi }} cos(\frac{x}{8\pi})cos(y)dx- {1 \over {8 \pi}}sin(x)sin(\frac{x}{8\pi})dy)

Interpretación geométrica en el espacio

Recordemos ahora la interpretación geométrica de las 1-formas diferenciales en el espacio [Figura 4]. Para imaginar una 2-forma hay que corresponder bi(co)vectores \bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta a cada punto del espacio (sólo se dibujan algunos significativos), teniendo cada uno su precursor en cada par de 1-formas orientadas constituyentes \bm \alpha y \bm \beta y construyendo «tubos». La orientación de la 2-forma depende del orden de multiplicación de las 1-formas.

2-forma diferencial en el espacio
[Figura 8] \bm\alpha \wedge \bm \beta=(yzdx+xzdy+xydz) \wedge (4dz) en \mathbb R^3

Integración

Una 2-forma diferencial es un objeto matemático que será operado en integrales de superficie sobre n-variedades. En la [Figura 9] se representa una interpretación geométrica de la operación que puede favorecer la intuición. En este caso el resultado de la integral será el número de «celdas» o «tubos» formados por las curvas o superficies de nivel incluídos dentro de la superficie de integración.

2-forma diferencial integración
[Figura 9] El resultado de la integral es el número de «celdas» o «tubos» encerrados en la superficie de integración.

Generalización a k-formas diferenciales

Se puede generalizar lo visto motivado por la necesidad de realizar integrales de k-volumen. El objeto que asocia a un elemento de «k-volumen infinitesimal» un escalar, es una k-forma diferencial. A continuación nos adentramos en las propiedades de este tipo de objetos cuya representación geométrica es más complicada conforme suben las dimensiones.

Covarianza, antisimetría tensorial y álgebra cerrada

Una vez descritas las 1-formas diferenciales como covectores y las 2-formas diferenciales como tensores 2-covariantes antisimétricos, la generalización es directa: Las k-formas diferenciales son tensores k-covariantes antisimétricos.

Por otro lado el producto cuña de dos k-formas diferenciales es otra k-forma diferencial, lo que se llama un álgebra cerrada. Esta característica es muy necesaria para no acarrear con problemas adicionales en los cálculos por la pérdida de identidad del resultado.

El cierre del álgebra conlleva caracterizar de una forma concreta el producto cuña, y no vale un simple producto tensorial porque el producto tensorial de dos tensores antisimétricos no resulta en otro tensor antisimétrico en general. Así, la generalización de la notable \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black} para la k-forma diferencial \bm \alpha y la l-forma diferencial \bm \beta en la que se define el producto cuña es

\bm \alpha \wedge \bm \beta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\alpha_{[ij...k}\beta_{k+1...k+l]}\bm \epsilon^i \otimes \bm \epsilon^j \otimes... \otimes \bm \epsilon^{k+l} \qquad \color{blue} \small [Fórmula 2]\color{black}

Por otra parte, se puede demostrar las componentes de una k-forma en la base del espacio tensorial general y en la base del subespacio de tensores antisimétricos, guardan la siguiente proporción

\bm \gamma=\gamma_{[ij ... k]}\bm \epsilon^i \otimes \bm \epsilon^j \otimes ... \otimes \bm \epsilon^k=\frac {1}{k!}\gamma_{[ij ... k]}\bm \epsilon^i \wedge \bm \epsilon^j \wedge ... \wedge \bm \epsilon^k \qquad \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black}

De modo que si deseamos las componentes del producto cuña en la base del subespacio de tensores antisimétricos, la \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black} provee el cambio de base, resultando la expresión al estilo del álgebra exterior

\bm \alpha \wedge \bm \beta=\frac{1}{k!l!}\alpha_{[ij...k}\beta_{k+1...k+l]}\bm \epsilon^i \wedge \bm \epsilon^j \wedge ... \wedge \bm \epsilon^{k+l}

Si acaso se desea profundizar algo más acerca del origen de los factoriales, te remito al texto del artículo sobre álgebra exterior, referencia a la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}, y en adelante.

Interpretación geométrica

Recordemos ahora la tabla del artículo acerca del álgebra exterior en la que que el producto \Lambda^k \mathbb R^n es nulo para k \ge n, por tanto para representar geométricamente una k-forma diferencial, el espacio en el que está inmersa deberá ser al menos de dimensión k. Se representan como «cajas de huevos», una evolución de la [Figura 8] formando unidades de volúmen orientadas [Figura 10].

k-forma diferencial en el espacio
[Figura 10] La más básica \bm \gamma=dx \wedge dy \wedge dz inmersa en \mathbb R^3

Gradiente, rotacional y divergencia como k-formas diferenciales

Estas tres operaciones clásicas del cálculo diferencial pueden interpretarse desde el punto de vista del álgebra exterior. Si se toma como variedad \mathbb R^3, y denotando por \bm \phi (\mathbb R^3) una 0-forma o campo escalar, entonces

Forma dif.NombreNotaciónTipo de aplicación local
0-formaCampo escalar\bm \phi (\mathbb R^3)\mathbb R^3 \to \Lambda^0 (\mathbb R^3)^* o bien \mathbb R
1-formaGradiente\nabla \bm \phi (\mathbb R^3)\mathbb R^3 \to \Lambda (\mathbb R^3)^* o bien T^* \mathbb R^3
2-formaRotacional\nabla \times \bm \phi (\mathbb R^3)\mathbb R^3 \to \Lambda^2 (\mathbb R^3)^*
3-formaDivergencia\nabla .\bm \phi (\mathbb R^3)\mathbb R^3 \to \Lambda^3 (\mathbb R^3)^*
Formas clásicas para integrar en física

Integración

La integración de k-formas diferenciales se realiza sobre k-superficies. Hay que imaginarse un trozo de la caja de huevos de la [figura 10] con la misma forma que el volumen de integración, y luego contar las celdillas atrapadas. Algunos usos clásicos de la integración de formas diferenciales siguen a continuación; en éstas todos los resultados son escalares

Forma dif.UtilidadIntegral
1-formaTrabajo gravitatorio unitario\oint^b_a \nabla \phi ( \bm r) =W
2-formaLey de Ampère\int_S \nabla \times \bm B(\bm r)=\frac{1}{c^2 \epsilon_0}I
3-formaLey de Gauss\int_V \nabla . \bm E(\bm r)=\frac{Q}{\epsilon_0}

Un poco de software

Esta vez en el apartado de un poco de software presentamos GNU Octave. Se trata de software libre que implementa muchas de las características de Mathematica, y que se ha usado para realizar este artículo. A continuación va el código que produce la [Figura 8], puedes descargarlo desde aquí.

1-forma diferencial octave
No es difícil adaptarlo para otras formas diferenciales, la variable d lleva el campo escalar

Y hasta aquí hemos llegado de momento en relación con las formas diferenciales, su interpretación geométrica, integración y álgebra. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

Algunas referencias

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