Una forma diferencial es lo que se pone dentro de una integral, pero el objetivo de este artículo es presentaros su utilidad y exponeros a la vez su bella estructura local.
Si no tienes claro el concepto de covector o 1-forma, recomendamos encarecidamente revisar antes el artículo. También es conveniente sentirse algo cómodo con la derivada direccional, los tensores y un poco de álgebra exterior.
Si ya has revisado o habías entrado en contacto con las formas diferenciales, sabrás que existen 1-formas, 2-formas y en general n-formas, en este artículo vamos a desgranarlas paso por paso, comenzaremos con las …
Índice
1-Formas diferenciales
La motivación principal para comprender las 1-formas diferenciales es el cálculo de integrales de línea. En estas integrales, se relaciona cada «segmento infinitesimal» de una trayectoria con un escalar. Este tipo de relación de segmento infinitesimal a escalar lo provee una 1-forma diferencial. Una integral de línea sumará después todos los escalares.
Resumiendo, una 1-forma diferencial hace corresponder segmentos infinitesimales (vectores) con escalares.
Los segmentos (vectores) del dominio de una una 1-forma diferencial son elementos del espacio cotangente de la variedad. La base de los espacios cotangentes en cada punto es B=\{dx_1, dx_2, ... , dx_n \}. Además por tratarse de un espacio vectorial, una 1-forma diferencial se puede expresar localmente como combinación lineal de los elementos de la base así que \bm \alpha=\sum_n f_n(x_n)dx_n.
Por ejemplo, para la clásica integral de trayectoria sobre un campo tridimensional conservativo, la variedad considerada es \mathbb R^3, y una 1-forma diferencial es un elemento \bm \alpha \in \bigcup_p \mathbb R^{3*}.
dW=F_xdx+F_ydy+F_zdzCovarianza
Una idea que hay que tener clara sobre las formas diferenciales es que son objetos covariantes. Bien para las 1-formas diferenciales, que son covectores, como para las k-formas diferenciales, que son tensores k-covariantes, esta idea de covarianza es clave para llegar al concepto de las k-formas. La covarianza facilita la interpretación geométrica, su integración y su álgebra.
Para comprobar la covarianza, tomaremos como ejemplo la 1-forma diferencial \bm \alpha=2xdx+2ydy, que se deriva del campo escalar (0-forma) \bm \phi(\mathbb R^2)=x^2+y^2. La 1- forma diferencial se habrá comportado como un covector (covariante), si al cambiar la base del espacio vectorial a otra de «doble tamaño» duplica las componentes de la 1-forma diferencial. Veámoslo por ejemplo sobre la variedad \mathbb R^2 .
Sea T_p(\mathbb R^2) el espacio tangente en un punto p de la variedad \mathbb R^2 y dos bases. Una la de siempre B=\left \{ \bm e_i \right \}=\left \{ \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right \} y además la base «doble tamaño» B'=\left \{ \bm e'_i \right \}=\left \{2 \frac{\partial}{\partial x}, 2\frac{\partial}{\partial y} \right \}
Sea la base del dual \mathbb R^{2*}, B^*=\left \{ \bm \epsilon_i \right \}=\{dx,dy \}. Deseamos encontrar ahora la nueva base dual para ver cómo quedan las componentes. Resulta que por definición \bm \epsilon'^i( \bm e'_j)=\delta_j^i, y es necesario que si la base vectorial es «doble tamaño», la base dual sea «mitad de tamaño» para conservar \delta_j^i, o sea B'^*=\{ \bm \epsilon'^i \}=\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}.
Teniendo ya las bases se puede ver como quedan las componentes de los vectores en \mathbb R^{2*}. Recordemos de arriba que la covarianza significa que «al cambiar la base del espacio vectorial a otra de «doble tamaño» duplica las componentes de la 1-forma». Bien, entonces para la 1-forma \bm \alpha=2xdx+2ydy
\small \bm \alpha=d \bm \phi=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} dy=2xdx+2ydy \equiv \\ \equiv \left (\frac{\partial \bm \phi}{\partial x}, \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} \right ) =\color {red}(2x,2y) \color {black}y si se cambia la base dual a la de «mitad tamaño» {B'_p}^* =\{{dx \over 2},{dy \over 2}\}=\{ dx',dy' \} , y sustituyendo en la expresión de la 1-forma diferencial
\small \bm \alpha=d\bm \phi=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} dx + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} dy=\frac{\partial \bm \phi}{\partial x} {2dx' } + \frac{\partial \bm \phi}{\partial y} {2dy' } \equiv \\ \equiv \color {red}(4x,4y)\color {black}Con lo que efectivamente al cambiar la base del espacio vectorial a otra «doble tamaño», las componentes de la 1-forma diferencial también se incrementan en igual proporción. Se cumple que las componentes son covariantes; este es del concepto de covarianza.
Interpretación geométrica en el plano
Si visitas el artículo sobre 1-formas verás un ejemplo de una 1-forma de \mathbb R^2 que se puede interpretar como una serie de líneas paralelas que trocean vectores.
A partir de aquí una 1-forma diferencial es un campo de 1-formas definido sobre una variedad diferenciable. Por ejemplo para una 1-forma diferencial definida sobre \mathbb R^2 hay que imaginarse que en cada punto se tienen las líneas rojas de la [figura 1] de tamaño infinitesimal. La unión de las líneas trazará las típicas curvas de nivel, que es como se representan geométricamente las 1-formas diferenciales. En general una 1-forma diferencial que se deriva de un campo escalar definido sobre una n-variedad, es un objeto (n-1)-dimensional. La derivación del campo escalar se efectúa con la operación derivada exterior.
Para ejemplos de este tipo, las [figura 2] y [figura 3] muestran campos escalares sobre \mathbb R^2 (dimensión 2), y a la derecha las curvas de nivel representan 1-formas diferenciales (dimensión 1). Dos matizaciones: naturalmente no se representa una línea infinitesimal para cada punto de la variedad, sino que se seleccionan algunas líneas para ilustrar la idea general. El gradiente, representado por flechas en ambas figuras, induce una orientación espacial a las curvas de nivel que cobrará importancia a la hora de integrar las k-formas.
Interpretación geométrica en el espacio
Si la 1-forma diferencial está definida sobre \mathbb R^3 (dimension 3), puede ser representada en cada punto de la variedad como un elemento 2-plano de grosor infinitesimal. La unión de todos los elementos de la 3-variedad, se puede dibujar por conveniencia con algunas superficies de nivel al estilo de la [Figura 4]. Éstas poseen grosor infinitesimal, y en este ejemplo las flechas representan el gradiente que induce la orientación de las superficies.
Otra interpretación geométrica de la integral definida
Si deseas una interpretación más práctica de una 1-forma diferencial, diré que es un objeto matemático que será operado en integrales de línea sobre n-variedades diferenciables. Si n \ge 2 las integrales se pueden calcular parametrizando la trayectoria C tal que x \equiv x(\lambda) e y \equiv y(\lambda), etc, con lo que en la práctica calculan como sobre n=1.
Notemos que, en el fondo, estamos trabajando con dos objetos
- El integrando (la 1-forma diferencial), que normalmente modifica su valor a lo largo de la trayectoria
- La trayectoria en sí, de la que no se suele ser consciente para integrales de función real de variable real. Es el intervalo del eje X sobre el que se realiza la integral, en el \small \color {blue}[Ejemplo 1] \color{black} (más adelante) sería \left [1,3\right] y \left [ \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] .
Ahora bien, ¿Cuál es la forma adecuada de representar en este contexto tanto el integrando como la trayectoria? Tomemos el ejemplo para la integral
\int {x^2 \over 2}dxSe calculan primero las curvas (líneas) de nivel del campo escalar del que procede \phi(x)=\frac{x^3}{6} [Figura 6]. En este caso particular estarán cada vez más cercanas y presentan una orientación en el sentido creciente del campo. La trayectoria en el eje X es troceada por las líneas de nivel. El número total de trozos es el valor de la integral.
Invarianza de la integral definida
Los resultados de estas integrales son inmunes a un cambio de base -por ejemplo de escala-, y se obtienen al «operar» de alguna manera la 1-forma diferencial sobre la trayectoria. Así se pueden identificar integrandos diferentes con un mismo objeto matemático ¡al menos desde el punto de vista de que su integral definida es la misma!. Por lo tanto al denotar una integral con su símbolo de integral mas el integrando, estoy refiriéndome a un invariante:
\oint_{c}(1-forma)Veamos un ejemplo muy sencillo para ilustrar que al cambiar la base x=2u la integral no varía. \quad \small \color {blue}[Ejemplo 1] \color{black}
\int_{1}^{3} x dx=\color{red}4 \color{black}\quad; \qquad f(x)=\frac {x^2}{2} \int_{0,5}^{1,5}2u 2du=\color{red}4 \color{black}\quad ; f(u)=2u^2De manera que a partir de ahora puedes imaginar la integral de línea como una trayectoria troceada por las líneas de nivel de un campo escalar (expresado por la primitiva de la 1-forma), produciendo un número de trozos invariante. Aunque parezca que se trata de una complicación sin ganancia ninguna, veremos que se trata de la forma adecuada de entender las k-integrales para dimensiones mayores, siendo la integral de línea el caso particular más sencillo.
2-Formas diferenciales
La motivación de este tipo de objeto matemático proviene de la necesidad de realizar integrales de superficie. El objeto que asocia a un elemento de «superficie infinitesimal» un escalar, es una 2-forma diferencial. A continuación se inducen las propiedades de este objeto de bellas representaciones geométricas.
Covarianza y antisimetría tensorial
A la hora de localizar algún objeto que sirva para asociar a un elemento de «superficie infinitesimal» un escalar, surge una cuestión interesante: el elemento de «superficie infinitesimal» que deseamos integrar está definido por dos vectores tangentes a la superficie de integración. El objeto matemático más general que proyecta un par de vectores sobre escalares es el tensor 2-covariante; éste es el candidato evidente para componer una 2-forma diferencial. Dado que esta proyección debe ser realizarla para cada punto de una variedad, una 2-forma es un campo de tensores 2-covariantes.
Se requiere además que la proyección de los dos vectores tangentes sobre los escalares sea anticonmutativa para poder asignar una orientación a la proyección (¡no se tiene en cuenta la orientación de la superficie de integración ahora!). Esta orientación de la proyección tendrá significado físico cuando el tensor se emplee para representar magnitudes orientadas, como el campo electromagnético. ¿Entonces, cómo condiciona este requisito las propiedades del tensor 2-covariante?
Denotemos con \bm \alpha y \bm \beta dos tensores 1-covariantes (dos 1-formas) y \bm u y \bm v dos vectores. Es trivial que
\bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) -\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)=-(\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)\bm - \bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) )Y el truco es que definiendo el tensor 2-covariante \bm \gamma así
\bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta=\bm \alpha \otimes \bm \beta -\bm \beta \otimes \bm \alpha \qquad \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}es inmediato que la operación de proyección \bm \gamma de \bm u y \bm v a escalares es anticonmutativa como se quería
\bm \alpha(\bm u) \wedge \bm \beta (\bm v)=\bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) -\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)=-(\bm \beta(\bm v) \otimes \bm \alpha(\bm u)\bm - \bm \alpha(\bm u) \otimes \bm \beta(\bm v) )=-\bm \beta (\bm v) \wedge \bm \alpha(\bm u)Bien, ahora disponemos de una definición «operacional» del tensor 2-covariante que que cumple la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}. Pero para la física hay que ser prácticos y una definicion «operacional» no sirve directamente para calcular, así pues, ¿Cuáles serán en concreto las componentes del tensor? Eso si que interesa a cualquier físico…
Recuperemos del artículo de álgebra exterior la definición producto exterior como producto anticonmutativo, y también el hecho de que las componentes del producto exterior son antisimétricas. ¡Hemos encontrado nuestro objeto, enhorabuena!, se trata de un campo tensorial 2-covariante antisimétrico también denominado 2-forma diferencial. En la [Figura 7] \bm \gamma \in \bigcup_p \Lambda^2 \mathbb R^{2*}, y en la [Figura 8] \bm \gamma \in \bigcup_p \Lambda^2 \mathbb R^{3*} . Va a permitir realizar proyecciones orientadas de pares de vectores tangentes a la superficie de integración. Éstos existirán si la superficie de integración es una variedad diferenciable, y con un poco de suerte dispondremos de una para nuestro modelo matemático de la física.
La importancia de la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black} es notable. Indica que un tensor 2-covariante antisimétrico puede ser expresado de dos formas: tomando como base el espacio tensorial general, o bien el subespacio de tensores antisimétricos, siendo tan válida la una como la otra. Notemos que las componentes de la expresión pretendida deben ser sensiblemente diferentes, ya que por ejemplo la dimensión del espacio tensorial dim (\mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2)=4 mientras que dim (\Lambda^2 \mathbb R^2)=1, o bien que dim (\mathbb R^3 \otimes \mathbb R^3)=9 mientras que dim (\Lambda^2 \mathbb R^3)=3.
Por ejemplo, en la base \mathbb R^2 \otimes \mathbb R^2
\bm \gamma=\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{-4}&{0}\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix}y en la base \Lambda^2 \mathbb R^2
\bm \gamma=\begin{bmatrix}{0}&{4}\\{-4}&{0}\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}{0}&{-1}\\{1}&{0}\end{bmatrix}más adelante se generalizará este ejemplo en la \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black}
Interpretación geométrica en el plano de las 2-formas
Recordemos la interpretación geométrica de las 1-formas diferenciales en el plano [Figura 2] y [Figura 3]. Para imaginar una 2-forma hay que corresponder bi(co)vectores \bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta a cada punto del plano (sólo se dibujan algunos significativos), teniendo cada bi(co)vector su precursor en cada par de 1-formas \bm \alpha y \bm \beta orientadas constituyentes, y formando «rejas». La orientación de la 2-forma depende del orden de multiplicación de las 1-formas.
Interpretación geométrica en el espacio
Recordemos ahora la interpretación geométrica de las 1-formas diferenciales en el espacio [Figura 4]. Para imaginar una 2-forma hay que corresponder bi(co)vectores \bm \gamma =\bm \alpha \wedge \bm \beta a cada punto del espacio (sólo se dibujan algunos significativos), teniendo cada uno su precursor en cada par de 1-formas orientadas constituyentes \bm \alpha y \bm \beta y construyendo «tubos». La orientación de la 2-forma depende del orden de multiplicación de las 1-formas.
Integración
Una 2-forma diferencial es un objeto matemático que será operado en integrales de superficie sobre n-variedades. En la [Figura 9] se representa una interpretación geométrica de la operación que puede favorecer la intuición. En este caso el resultado de la integral será el número de «celdas» o «tubos» formados por las curvas o superficies de nivel incluídos dentro de la superficie de integración.
Generalización a k-formas diferenciales
Se puede generalizar lo visto motivado por la necesidad de realizar integrales de k-volumen. El objeto que asocia a un elemento de «k-volumen infinitesimal» un escalar, es una k-forma diferencial. A continuación nos adentramos en las propiedades de este tipo de objetos cuya representación geométrica es más complicada conforme suben las dimensiones.
Covarianza, antisimetría tensorial y álgebra cerrada
Una vez descritas las 1-formas diferenciales como covectores y las 2-formas diferenciales como tensores 2-covariantes antisimétricos, la generalización es directa: Las k-formas diferenciales son tensores k-covariantes antisimétricos.
Por otro lado el producto cuña de dos k-formas diferenciales es otra k-forma diferencial, lo que se llama un álgebra cerrada. Esta característica es muy necesaria para no acarrear con problemas adicionales en los cálculos por la pérdida de identidad del resultado.
El cierre del álgebra conlleva caracterizar de una forma concreta el producto cuña, y no vale un simple producto tensorial porque el producto tensorial de dos tensores antisimétricos no resulta en otro tensor antisimétrico en general. Así, la generalización de la notable \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black} para la k-forma diferencial \bm \alpha y la l-forma diferencial \bm \beta en la que se define el producto cuña es
\bm \alpha \wedge \bm \beta=\frac{(k+l)!}{k!l!}\alpha_{[ij...k}\beta_{k+1...k+l]}\bm \epsilon^i \otimes \bm \epsilon^j \otimes... \otimes \bm \epsilon^{k+l} \qquad \color{blue} \small [Fórmula 2]\color{black}Por otra parte, se puede demostrar que las componentes de una k-forma en la base del espacio tensorial general y en la base del subespacio de tensores antisimétricos, guardan la siguiente proporción
\bm \gamma=\gamma_{[ij ... k]}\bm \epsilon^i \otimes \bm \epsilon^j \otimes ... \otimes \bm \epsilon^k=\frac {1}{k!}\gamma_{[ij ... k]}\bm \epsilon^i \wedge \bm \epsilon^j \wedge ... \wedge \bm \epsilon^k \qquad \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black}De modo que si deseamos las componentes del producto cuña en la base del subespacio de tensores antisimétricos, la \color{blue} \small [Fórmula 3]\color{black} provee el cambio de base, resultando la expresión al estilo del álgebra exterior
\bm \alpha \wedge \bm \beta=\frac{1}{k!l!}\alpha_{[ij...k}\beta_{k+1...k+l]}\bm \epsilon^i \wedge \bm \epsilon^j \wedge ... \wedge \bm \epsilon^{k+l}Si acaso se desea profundizar algo más acerca del origen de los factoriales, te remito al texto del artículo sobre álgebra exterior, referencia a la \color{blue} \small [Fórmula 1]\color{black}, y en adelante.
Interpretación geométrica
Recordemos ahora la tabla del artículo acerca del álgebra exterior en la que que el producto \Lambda^k \mathbb R^n es nulo para k \ge n, por tanto para representar geométricamente una k-forma diferencial, el espacio en el que está inmersa deberá ser al menos de dimensión k. Se representan como «cajas de huevos», una evolución de la [Figura 8] formando unidades de volúmen orientadas [Figura 10].
Gradiente, rotacional y divergencia como k-formas diferenciales
Estas tres operaciones clásicas del cálculo diferencial pueden interpretarse desde el punto de vista del álgebra exterior. Si se toma como variedad \mathbb R^3, y denotando por \bm \phi (\mathbb R^3) una 0-forma o campo escalar, entonces
| Forma dif. | Nombre | Notación | Tipo de aplicación local | |
| 0-forma | Campo escalar | \bm \phi (\mathbb R^3) | \mathbb R^3 \to \Lambda^0 (\mathbb R^3)^* o bien \mathbb R | |
| 1-forma | Gradiente | \nabla \bm \phi (\mathbb R^3) | \mathbb R^3 \to \Lambda (\mathbb R^3)^* o bien T^* \mathbb R^3 | |
| 2-forma | Rotacional | \nabla \times \bm \phi (\mathbb R^3) | \mathbb R^3 \to \Lambda^2 (\mathbb R^3)^* | |
| 3-forma | Divergencia | \nabla .\bm \phi (\mathbb R^3) | \mathbb R^3 \to \Lambda^3 (\mathbb R^3)^* |
Integración
La integración de k-formas diferenciales se realiza sobre k-superficies. Hay que imaginarse un trozo de la caja de huevos de la [figura 10] con la misma forma que el volumen de integración, y luego contar las celdillas atrapadas. Algunos usos clásicos de la integración de formas diferenciales siguen a continuación; en éstas todos los resultados son escalares
| Forma dif. | Utilidad | Integral | |
| 1-forma | Trabajo gravitatorio unitario | \oint^b_a \nabla \phi ( \bm r) =W | |
| 2-forma | Ley de Ampère | \int_S \nabla \times \bm B(\bm r)=\frac{1}{c^2 \epsilon_0}I | |
| 3-forma | Ley de Gauss | \int_V \nabla . \bm E(\bm r)=\frac{Q}{\epsilon_0} |
Un poco de software
Esta vez en el apartado de un poco de software presentamos GNU Octave. Se trata de software libre que implementa muchas de las características de Mathematica, y que se ha usado para realizar este artículo. A continuación va el código que produce la [Figura 8], puedes descargarlo desde aquí.
Y hasta aquí hemos llegado de momento en relación con las formas diferenciales, su interpretación geométrica, integración y álgebra. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.