Tensor

Importante: En este artículo no se pretende exhibir la definición de tensor como si de un tesoro se tratara, sino presentarte las operaciones que tiene que realizar tu cabeza para llegar al concepto de tensor.

Un tensor es un objeto matemático que pertenece a un espacio vectorial (tensorial) y que es invariante ante un cambio de base. Cuando cambia la base, sus componentes se pueden recalcular a través de una fórmula conocida.

Es de capital importancia asumir que un tensor es invariante ante un cambio de base, pero sus componentes NO. Precisamente su potencia radica en que sirve para representar magnitudes invariantes ante rotaciones (de un aparato de medida), cambios de escala (unidades de medida), cambios de base (inclinación de ejes), etc. Si rotamos el espacio las componentes del tensor podrán ser diferentes, pero el tensor en sí será el mismo.

Profundizamos ahora en el concepto de tensor con …

Ejemplos de tensor

Ejemplo 1: El escalar

Imaginemos una masa de 5 Kg. La miremos por donde la miremos la magnitud es constante, 5Kg, así que es invariante tras un cambio de base en el espacio en el que está inmersa. Dado que su única componente (El número 5 \in \mathbb R) es constante ante un cambio de base, se trata de un tensor un poco inusual, pero inequívocamente se trata de un tensor.

Ejemplo 2: El vector

Imaginemos el vector (3,3,12) \in \mathbb R^3. Este vector lo podemos usar para representar el mástil de una bandera que está a tres metros delante de mí, tres metros a mi derecha, y que mide 12 metros. Si yo me muevo, me giro, o decido medir las distancias en pulgadas, el mástil de la bandera será el mismo (me vale el mismo vector para representarlo, o sea el vector en sí es invariante), pero las componentes que usaré en pulgadas serán (118,118, 472). Si giro sobre mis pies cambiarán las dos primeras componentes, pero el vector seguirá siendo el mismo.

Por lo tanto para el caso de los vectores, cumplen con la definición de tensor por ser invariantes ante un cambio de base, y porque sus componentes se transforman de una forma concreta ante el cambio de base. En este caso la base ha pasado del metro a la pulgada, se ha acortado, y las componentes han aumentado. Al hecho de que las componentes se transformen al revés que la base se le llama contravarianza. Los vectores clásicos que representan distancias, fuerzas, velocidades y aceleraciones son todos contravariantes.

Ejemplo 3: El covector

Un covector es una aplicación lineal que proyecta un espacio vectorial sobre su cuerpo de escalares. Por ejemplo la aplicación \bm f que actúa sobre el vector \bm v=v^1 \bm e_1+v^2 \bm e_2+v^3 \bm e_3

\bm f(\bm v)=\bm f ((v^1,v^2,v^3))=2v^1+3v^2-v^3

Las preguntas son, como estamos viendo, si es un invariante ante un cambio de base, y si sus componentes se transforman de una forma concreta tras un cambio de base:  Las respuestas son si y si.  Dejamos el peso de la demostración al post de covectores, y aceptamos también covectores como un tipo de tensores.

Ejemplo 4: Superficie de segundo grado

Supongamos la bandera que está en el mástil del ejemplo anterior. Deseamos representar la bandera con un objeto matemático invariante ante un cambio de base, ya que la bandera será la misma la miremos como la miremos, y la midamos en pulgadas, metros o lo que sea. Decidimos que podemos representar la bandera con la ecuación 1=xy+xz+z^2, porque tiene mas o menos esta forma

Se puede denotar matricialmente la ecuación 1=xy+xz+z^2 como

1= \begin{bmatrix}{x}&{y}&{z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{0}&{1}&{1}\\ {0}&{0}&{0} \\ {0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}

donde la matriz central es una representación del tensor coloreado en una base (ortonormal). Si cambiara la base (de escala, o bien los ejes entre sí), se podría reescribir la ecuación para representar el mismo tensor. Como consecuencia la matriz que representaría las componentes del tensor sería otra, tratándose del mismo tensor. O sea, existen infinitas representaciones matriciales del mismo tensor dependiendo de la base elegida, y sus componentes se calculan de una forma conocida.

Por otra parte es claro que la superficie en sí es independiente del sistema de coordenadas que elijamos. Por lo tanto la superficie bidimensional definida por la ecuación 1=xy+xz+z^2, coincide con la definición de tensor que estamos usando.

Ejemplo 5: Aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de un espacio vectorial dominio, un elemento de un espacio vectorial imagen, y que además cumple las condiciones de linealidad. En esta correspondencia el vector original puede resultar rotado, estirado o reflejado.

Como se ha visto en el ejemplo 2, los vectores son invariantes ante un cambio de base, con lo que la aplicación lineal representada por la flecha debe serlo también. Por tanto este tipo de aplicaciones lineales también cumplen la definición de tensor: Son invariantes ante un cambio de base, y aunque puede que no sea tan intuitivo como en otros ejemplos, sus componentes cambiarán de una forma «ordenada» ante un cambio de base. Es decir, la flecha azul gruesa ¡es un tensor!

Ejemplo 6: Tensor de inercia

La aplicación de la [figura 1] se puede representar además de con un dibujo, con una matriz, que transformará el vector \bm \omega , en el vector \bm L al estilo tradicional del tensor de inercia de un sólido rígido.

\begin{pmatrix}{I_{xx}}&{I_{xy}}&{I_{xz}} \\ {I_{yx}}&{I_{yy}}&{I_{yz}} \\ {I_{zx}}&{I_{zy}}&{I_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{L_{x}} \\ {L_{y}} \\ {L_{z}} \end{pmatrix}

Pero también puede entregar un escalar, actuando como forma bilineal cuadrática (ver la nota en verde del ejemplo 8).

E_{rot}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} & {\omega_{y}} & {\omega_{z}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{I_{xx}}&{I_{xy}}&{I_{xz}} \\ {I_{yx}}&{I_{yy}}&{I_{yz}} \\ {I_{zx}}&{I_{zy}}&{I_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix}

Este ejemplo es conveniente para aclarar una pregunta que surge con frecuencia, aunque la respuesta quizás avance un poco desordenadamente partes del resto del artículo. En el ejemplo \bm L=I \bm \omega está claro que el tensor está proyectando un espacio vectorial \bm \omega en otro \bm L; sin embargo en el otro caso E_{rot}=\frac{1}{2}I \omega^2 parece que está transformado dos espacios vectoriales \bm \omega en un escalar. ¿Cual es la forma adecuada de entender esta duplicidad de operaciones?, ¿Se trata del mismo tensor I en ambos casos?.

Un tensor como el tensor de inercia, que puede ser representado en alguna base como una matriz cuadrada, tiene la posibilidad de ser «operado» dos veces con un espacio vectorial. Tras la primera operación el resultado es

E_{rot}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}{\omega_{x}} & {\omega_{y}} & {\omega_{z}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{L_{x}} \\ {L_{y}} \\ {L_{z}} \end{pmatrix}

Aquí \begin{pmatrix}{\omega_{x}} & {\omega_{y}} & {\omega_{z}} \end{pmatrix}  funciona como un covector (tensor 0-contravariante, 1-covariante). Operado con el vector \bm L y el resultado es el escalar energía; por lo tanto efectivamente se trata del mismo tensor.

Ejemplo 7: Aplicaciones lineales de espacios vectoriales y duales a la vez

Puede que nos interese tener un objeto más potente que el anterior, que pueda transformar de un golpe varios espacios vectoriales, y además espacios duales. Figuradamente la operación es del estilo

¡El tensor es la flecha vertical azul gruesa!

En esta ocasión se transforman tres espacios vectoriales a la vez. El primero es casualmente un dual, y después transforma dos espacios vectoriales «normales». Para indicar que se trabaja con los tres espacios vectoriales a la vez se usa el símbolo del aspa, y se denomina producto tensorial. Bajo este prisma se puede decir que este tensor es una transformación lineal (multilineal) de productos (tensoriales ) de espacios vectoriales y duales.

Ya que los vectores y covectores son invariantes ante un cambio de base, la aplicación que los relaciona debe serlo también. Eso no impide que la representación de la aplicación en una base tenga componentes diferentes en cada base. Estas componentes intuitivamente tienen que tener cabida en tres matrices, una para cada espacio vectorial.

Ejemplo 8: El tensor métrico

El tensor métrico permite definir conceptos geométricos necesarios, como la longitud de un vector, el ángulo entre dos vectores y el volumen de una región, todo ello de forma independiente de la base.

Longitud de un vector en base ortonormal y ortogonal

Supongamos un espacio Euclídeo tridimensional denotado por \mathbb E^3, con su clásica base ortonormal. Por definición, en este espacio se cumple el teorema de pitágoras, tal que en un triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa S y las longitudes de los catetos x, y, z cumplen la conocida relación S^2=x^2+y^2+z^2.  Esta fórmula se puede escribir más formalmente usando la definición de producto escalar de un vector consigo mismo.

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=x^2+y^2+z^2

Rápidamente se ve que cuando se usa la definición puramente algebraica S^2=x^2+y^2+z^2 la definición de longitud no es invariante tras un cambio de base.  Si por ejemplo se acorta la base a la mitad, la longitud del vector (el cual sí es invariante) quedaría como S^2=(2x)^2+(2y)^2+(2z)^2, ya que hay que multiplicar por dos las componentes, y claramente no toma el mismo valor que en la base ortonormal, así que no es muy útil.

Se requiere una definición de longitud de un vector invariante ante un cambio de base, y para eso se utiliza el tensor métrico.  Se redefine la longitud de un vector según la fórmula de abajo.  Las componentes del tensor métrico (representado por la matriz) son los productos escalares de los elementos de la base.

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=\begin{pmatrix}{x} & {y} & {z} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}{\bm e_1.\bm e_1}&{\bm e_1.\bm e_2}&{\bm e_1.\bm e_3} \\ {\bm e_2.\bm e_1}&{\bm e_2.\bm e_2}&{\bm e_2.\bm e_3} \\ {\bm e_3.\bm e_1}&{\bm e_3.\bm e_2}&{\bm e_3.\bm e_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x} \\ {y} \\ {z} \end{pmatrix}

Aquí aparece una cuestión muy fea en la notación:  Para poder usar el producto de matrices se requiere escribir el mismo vector en formato fila y columna, cuando esta notación se suele reservar para covectores y vectores respectivamente.  Realmente la notación matricial no es la más adecuada para trabajar con las componentes de los tensores, sino el convenio de sumación de Einstein, que no presenta este problema.  En resumen, la notación de la ecuación de arriba es chapucera, pero valga sólo hasta que presentemos la notación de Einstein.

Tiene la virtud de que para bases ortonormales la nueva definición de longitud cumple el teorema de pitágoras

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=\begin{pmatrix}{x} & {y} & {z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0} \\ {0}&{1}&{0} \\ {0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x} \\ {y} \\ {z} \end{pmatrix}=x^2+y^2+z^2

y para bases simplemente ortogonales también.  Por ejemplo para la base «mitad de tamaño» las componentes del vector son el doble, y queda así:

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=\begin{pmatrix}{2x} & {2y} & {2z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{0,25}&{0}&{0} \\ {0}&{0,25}&{0} \\ {0}&{0}&{0,25} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{2x} \\ {2y} \\ {2z} \end{pmatrix}=x^2+y^2+z^2

Las siguientes líneas dan cuenta de algunos detalles interesantes:

• La disminución de longitud de la base -aumentando las componentes del vector- es absorbida por el decrecimiento de las componentes del tensor métrico, y equilibra el resultado.
• Al reducir la base, se reducen las componentes del tensor métrico. A este hecho se le llama covarianza, y a este tipo de componentes covariantes.
• Aunque han cambiado las componentes con las que se representa el tensor métrico, el tensor en sí es el mismo.  Esta invariancia del tensor respecto de las bases permite definirlo como un objeto puramente geométrico que existe al margen de cualquier base.  ¡De hecho no requiere de ninguna base para su existencia!.  Solamente llegado el momento en el que deseemos calcular componentes se deberá elegir una base, y entre tanto las proporciones entre tensores pueden denotarse perfectamente sin referencias ninguna base concreta.  Esto es en general lo deseable también para mejorar la intuición matemática. Por ejemplo al estilo de la famosa ecuación donde la negrita significa simplemente «tensor»  \bm G=\frac{8\pi G}{c^4}\bm T

Longitud de un vector en bases no ortogonales

Llegados a este punto la generalización a espacios para bases arbitrarias es inmediata. Se toma el producto escalar definido usando el tensor métrico y automáticamente se tendrá una definición de longitud de un vector invariante ante cambios de base.

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=\begin{pmatrix}{s^x} & {s^y} & {s^z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\bm e_1.\bm e_1}&{\bm e_1.\bm e_2}&{\bm e_1.\bm e_3} \\ {\bm e_2.\bm e_1}&{\bm e_2.\bm e_2}&{\bm e_2.\bm e_3} \\ {\bm e_3.\bm e_1}&{\bm e_3.\bm e_2}&{\bm e_3.\bm e_3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{s^x} \\ {s^y} \\ {s^z} \end{pmatrix}

Y en notación de sumación de Einstein para índices repetidos, más natural y compacta si no hay que trabajar con componentes concretas:

\| \bm S\|^2=\bm S.\bm S=g_{\mu \nu}s^{\mu}s^{\nu}

Atención al hecho de que la suma de arriba tiene 9 sumandos para el ejemplo en 3 dimensiones, no tres sumandos como el teorema de pitágoras. Lleva componentes no nulas para las proyecciones de los vectores base entre sí, que no aparecen en espacios con base ortogonal. Dicho de otra forma, el tensor métrico no tiene una representación diagonal en bases no ortogonales.

Por otra parte el tensor métrico es simétrico por definición, ya que sus componentes son los productos escalares de los vectores base, que son conmutativos.

Ángulo entre dos vectores

Una vez definida la norma, se puede derivar la definición de ángulo entre dos vectores basándose en el tensor métrico. Esta definición de ángulo es invariante ante cambios de base dado que numerador y denominador lo son.

\cos \theta= \frac{\bm u. \bm v}{\| \bm u\|\|\bm v\|}= \frac{g_{\mu\nu}u^{\mu} v^{\nu}}{\| \bm u|\|\bm v\|}

Producto tensorial

Una vez vistos los ejemplos de tensores, conviene hacerse una idea intuitiva de cómo se operan. La suma es muy fácil porque simplemente suma componentes, pero el producto ya es otra cosa.

Producto tensorial de espacios vectoriales

Para obtener una idea intuitiva del producto tensorial de espacios vectoriales traigamos la imagen del ejemplo 6, en el que el tensor es representado por una flecha azul.

Para la aplicación, el dominio y la imagen son tuplas construidas tomando un elemento de un espacio (co)vectorial V^* y dos elementos de un espacio vectorial V. Pues bien, una de estas tuplas es un elemento del producto tensorial de los espacios (co)vectoriales V^*\otimes V\otimes V.

Producto tensorial de espacios tensoriales

Puede que esta sea la mayor dificultad a la hora de enfrentarse las primeras veces con el concepto de tensor: Como un tensor es un elemento de un espacio vectorial por sus propiedades algebraicas, puede ser uno de los cubos constituyentes del dominio o imagen de la aplicación [figura 2]. Sin embargo por tratarse de una aplicación lineal, puede representarse en la misma [figura 2] como la propia aplicación lineal (la flecha azul).

Visto pues que un tensor puede ser tanto la aplicación lineal, como su dominio o imagen constituidos por n-tuplas de tensores; la operación que genera tuplas (el aspa azul) se denomina producto tensorial de espacios tensoriales.

Rango y tipo de un tensor

Llegados a este punto definir rango es bastante sencillo: Es el número de espacios vectoriales y covectoriales que se multiplican tensorialmente para producir el tensor. Por ejemplo para el tensor métrico el rango es 2, y en la notación de Einstein coincide con el número de índices necesarios para establecer el tensor. Para el ejemplo de la [figura 2], el rango de la aplicación (la flecha) es 6: Son necesarios los índices de 3 matrices cuadradas para establecer el tensor (el rango de un producto tensorial es la suma de los rangos de los espacios participantes).

El tipo es un par de números que indican cuántos espacios vectoriales y covectoriales se han tenido que multiplicar para obtenerlo. Por ejemplo para el tensor métrico el tipo es (0-contravariante, 2-covariante), ya que es una aplicación f \in V^* \otimes V^* : V \otimes V \to \mathbb F, es decir ha sido necesario multiplicar dos veces V^*.

Adelanto que el tipo de un tensor no es un invariante. Se puede cambiar a través de una operación que involucra al tensor métrico que coloquialmente se denomina «subir y bajar índices», y que por el momento se sale del propósito de este artículo. Por tanto el tipo no es definitorio de un tensor, y el rango si lo es.

Tensor vs. vector vs. covector vs. etc

Finalmente queda por enunciar la idea de que un tensor puede ser un vector, como se ha expuesto en el ejemplo 2, y a su vez un vector es un tipo de tensor, por sus propiedades de espacio tensorial.

La diferencia es de carácter más lingüístico que otra cosa: Se prefiere llamar escalar al tensor de rango 0; vector al tensor de rango 1, tipo (1,0); covector al tensor de rango 1, tipo (0,1); forma bilineal al tensor de rango 2, tipo (0,2); mapa lineal al tensor de rango 2, tipo (1,1)… es decir, cómo cada tipo de tensor tiene sus propias aplicaciones, y se han estudiado por separado, se les han puesto nombres propios.

Entonces ¿vectores y tensores son lo mismo?. Bueno, realmente todo son tensores 😉

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Cálculo_tensorial

Y con esta última idea acaba el artículo. Espero que te haya servido de algo, y como siempre cualquier comentario, aporte o corrección son bienvenidos.