Tensor

Antes de seguir leyendo, si no se tiene claro que es un espacio dual, es muy recomendable visitar primero la página sobre espacios duales.

En este post se va a presentar una idea figurativa de un tensor y algunas aplicaciones conocidas para la física.

Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales, es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de un espacio vectorial dominio, un elemento de un espacio vectorial imagen, y que además cumple las condiciones de linealidad. En esta correspondencia el vector original puede resultar rotado, estirado o reflejado.

Tensor de rango 2
Figura 1: El vector original \vec \omega es estirado y rotado hasta una nueva posición \vec L por la aplicación lineal simbolizada por la flecha azul .

La aplicación de la figura 1 se puede representar además de con un dibujo, con una matriz, que transformará el vector \vec \omega , en el vector \vec L al estilo tradicional del tensor de inercia de un sólido rígido.

\begin{pmatrix}{I_{xx}}&{I_{xy}}&{I_{xz}} \\ {I_{yx}}&{I_{yy}}&{I_{yz}} \\ {I_{zx}}&{I_{zy}}&{I_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{L_{x}} \\ {L_{y}} \\ {L_{z}} \end{pmatrix}

Adelantamos que se trata de un tensor de rango 2 de tipo (0,1), veremos un poco más adelante que significa esto.

Tensores

Sin embargo puede que nos interese tener un objeto más potente que pueda transformar de un golpe varios espacios vectoriales, y además espacios duales. Figuradamente la operación es del estilo

Figura 2: La flecha azul simboliza un tensor de rango 6 de tipo (1,2).

En esta ocasión se transforman tres espacios vectoriales a la vez. El primero es casualmente un dual, que por convención se suelen escribir primero, y después transforma dos espacios vectoriales «normales» (contravariantes). Para indicar que se trabaja con los tres espacios vectoriales a la vez se usa el símbolo del aspa, que tiene el significado de un producto cartesiano. Bajo este prisma se puede decir que un tensor es una transformacion lineal (multilineal) de productos cartesianos de espacios vectoriales y duales.

Notacion contravariante y covariante

Atención al hecho de que este tensor T de tipo (0,1)

\begin{pmatrix}{T_{xx}}&{ T_{xy}}&{T_{xz}} \\ {T_{yx}}&{T_{yy}}&{T_{yz}} \\ {T_{zx}}&{T_{zy}}&{T_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{V_{x}} \\ {V_{y}} \\ {V_{z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{W_{x}} \\ {W_{y}} \\ {W_{z}} \end{pmatrix}

NO es lo mismo que este tensor T de tipo (1,0), aunque a la vista parezca idéntico

\begin{pmatrix}{V_{x}} & {V_{y}} & {V_{z}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{T_{xx}}&{ T_{xy}}&{T_{xz}} \\ {T_{yx}}&{T_{yy}}&{T_{yz}} \\ {T_{zx}}&{T_{zy}}&{T_{zz}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{W_{x}} & {W_{y}} & {W_{z}} \end{pmatrix}

Ya que el primero transforma un espacio vectorial en otro, y el segundo transforma el dual de un espacio vectorial en otro.

Realmente la matriz es una representación de la aplicación lineal en una base. El hecho de que dos representaciones sean iguales, no quiere decir que los objetos que representa sean del mismo tipo.

Para finalizar apuntamos que se usa la notación vertical para elementos de espacios vectoriales (vectores contravariantes) y la notación horizontal para elementos de duales (covariantes)

Tipo de un tensor

El tipo es un par de números que indican cuantos espacios covariantes y contravariantes se transforman con la aplicación lineal.

  • En el caso de la figura 1, el tipo de tensor es (0,1) – Se lee 0-covariante, 1-contravariante-.
  • En el caso de la figura 2, el tipo de tensor es (1,2)
  • Para el primer tensor T del apartado anterior el tipo es (0,1)
  • Para el segundo tensor T del apartado anterior el tipo es (1,0)

Rango de un tensor

El rango de un tensor es la suma de los tipos covariante y contravariante, mas el rango de los espacios vectoriales «residuales» después de la transformación. Es de apreciar que el rango de un tensor es «fijo» pero el tipo no.

A este respecto se puede poner el ejemplo del tensor I de inercia, que en la definición de momento angular \vec L=I \vec \omega es de tipo (0,1) pero el rango es 2 ya que hay que sumar a los tipos el rango de \vec L\in\mathbb R^3 de rango 1.

\begin{pmatrix}{I_{xx}}&{I_{xy}}&{I_{xz}} \\ {I_{yx}}&{I_{yy}}&{I_{yz}} \\ {I_{zx}}&{I_{zy}}&{I_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{L_{x}} \\ {L_{y}} \\ {L_{z}} \end{pmatrix}

Sin embargo en la fórmula de la energía cinética de rotación el tensor de inercia funciona como un tensor de tipo (0,2) rango 2, ya que el resultado es un escalar (tensor de rango 0) que es la energía según E_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2

E_{rot}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}{I_{xx}}&{I_{xy}}&{I_{xz}} \\ {I_{yx}}&{I_{yy}}&{I_{yz}} \\ {I_{zx}}&{I_{zy}}&{I_{zz}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\omega_{x}} \\ {\omega_{y}} \\ {\omega_{z}} \end{pmatrix}

Ya para nota, el rango del tensor de la Figura 2, es de rango 1 (por la transformacion del espacio dual-covariante) + 2 (por las transformaciones de los espacios vectoriales-contravariantes) + 3 (rango de los vectores residuales) = 6.

Otra forma de ver lo mismo es que si el tensor de la Figura 1 tiene rango 2, para la figura 2 al tratarse de una aplicación lineal que hace tres veces lo mismo, tendrá rango 6.

El tensor métrico

No podía dejarlo sin hablar mímimamente del tensor métrico, que aparece expresamente en la ecuación de campo de la relatividad general.

Supongamos un espacio Euclídeo tridimensional denotado por \mathbb E^3. Por definición en este espacio se cumple el teorema de pitágoras, tal que en un triángulo rectángulo la hipotenusa dS y los catetos dx, dy, dz cumplen la conocida relación

dS^2=dx^2+dy^2+dz^2

que también se podría escribir un poco más incómodamente así

dS^2=\begin{pmatrix}{dx} & {dy} & {dz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{1}&{0}&{0} \\ {0}&{1}&{0} \\ {0}&{0}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}{dx} \\ {dy} \\ {dz} \end{pmatrix}

La matriz del centro representa el tensor métrico que es como ahora ya sabemos tipo(1,1) rango 2. Si esta matriz no fuera diagonal no se cumpliría el teorema de pitágoras y por tanto el espacio no sería Euclídeo, sino curvo. El tensor métrico permite definir rigurosamente la distancia en espacios curvos.

Figura 3: En la superficie representada no se cumple el teorema de pitágoras ni el tensor métrico es diagonal.

No queda más que comentar para finalizar el post, que por ejemplo en relatividad general el objetivo es encontrar la relación entre la distribución de energía en una región, con las componentes del tensor métrico del espacio-tiempo (curvatura del espacio).

Y por el momento aquí acaba el post. Como siempre cualquier comentario, o corrección son siempre bienvenidos.