Cuadrivector

De la misma forma que el vector tridimensional es el objeto invariante ante un cambio de base en el espacio euclídeo tridimensional, el cuadrivector es el objeto invariante ante un cambio de base en el espacio de Minkowski tetradimensional. Para encontrar los primeros cuadrivectores, notemos que las cuatro ecuaciones de la transformación de Lorentz pueden escribirse así

\begin{bmatrix}{ct'}\\{x'}\\{y'}\\{z'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{\gamma}&{-\beta \gamma}&{0}&{0}\\ {-\beta \gamma} &{ \gamma}&{0}&{0} \\ {0}&{0}&{1}&{0} \\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{ct}\\{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}

Transformación de Lorentz en formato matricial 

siendo cuadrivectores los objetos sobre los que opera la matriz, y que en este caso particular pertenecen al espacio-tiempo de Minkowski.  Los cuadrivectores son, y definen, invariantes ante una transformación de Lorentz.  Cualquier objeto que se transforme con una transformación de Lorentz como se transforman las componentes del cuadrivector de arriba, es otro cuadrivector.  Veamos algunos ejemplos en los que se usará notación contravariante para las componentes en general.

Cuadrivector posición de un suceso S

Es el cuadrivector básico y representa un suceso en el espaciotiempo.

S= \begin{bmatrix}{ct}\\{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}

¿Cómo se puede visualizar este cuadrivector? Imaginad un objeto en reposo, su tiempo transcurre a un segundo(medido por mí)/segundo(medido por él), y la coordenada espacial es constante, con lo que el cuadrivector tendrá una norma, la que sea. Si comienza a moverse, comenzaremos a percibir que el tiempo(medido por mí) va desapareciendo y en su lugar «aparece» espacio, ya que la norma del cuadrivector es constante. Finalmente, si se mueve a la velocidad de la luz el tiempo medido por mí será nulo, y aparece una gran cantidad de espacio. La razón de conversión de tiempo en espacio es tal que un 1 s produce 300.000 Km de espacio.

El invariante que define la contracción del tensor consigo mismo, que es su norma, se denomina intervalo de universo o intervalo simplemente. Para realizar esta contracción hay que obtener antes la versión en coordenadas covariantes del tensor, y para ello se requiere multiplicarlo por el tensor métrico previamente elegida una signatura, en este caso (+ – – -).

(\Delta S)^2=\begin{bmatrix}{ct}&{-x}&{-y}&{-z} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}{ct}\\{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

Cuadrivector velocidad

Supongamos un observador que conoce la línea de universo de una partícula como la de la figura

Espacio de Minkovsky trayectoria
Trayectoria en \mathbb M

Este observador posiblemente deseará definir algún tipo de velocidad en el espaciotiempo. Debería ser tangente a la línea de universo, y por extensión de la mecánica Newtoniana lo hará posiblemente así

\cancel {U = \begin{bmatrix} \frac{dct}{dt} \\[6pt] \frac{dx_1}{dt} \\[6pt] \frac{dx_2}{dt} \\[6pt] \frac{dx_3}{dt} \end{bmatrix}}

lo que es muy correcto referido a su propio sistema de coordenadas. Sin embargo es poco práctico, ya que su propia referencia (t, tiempo coordenado) no parece la mejor forma de caracterizar un movimiento, tanto porque ése observador es un ente ajeno al cuerpo descrito, como porque su tiempo puede no ser una magnitud interesante para terceros observadores. Por ello se prefiere definir la cuadrivelocidad en relación al tiempo propio \tau del cuerpo al que se refiere.

U = \begin{bmatrix} \frac{dct}{d\tau}\\[6pt] \frac{dx_1}{d \tau }\\[6pt]\frac{dx_2}{d \tau }\\[6pt]\frac{dx_3}{d \tau } \end{bmatrix}

Y teniendo en cuenta la transformación de Lorentz para la componente temporal vista desde el observador d \tau=\frac{dt}{\gamma} , la definición de cuadrivelocidad queda como:

U = \begin{bmatrix} \frac{\gamma dct}{dt}\\[6pt] \frac{ \gamma dx_1}{dt} \\[6pt]\frac{ \gamma dx_2}{dt} \\[6pt]\frac{ \gamma dx_3}{dt} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{ \gamma c }\\{ \gamma v_x }\\{ \gamma v_y }\\{ \gamma v_z } \end{bmatrix}

Al igual que la velocidad Newtoniana, sus componentes difieren para distintos observadores, pero su norma define un invariante que es igual al intervalo dividido entre el tiempo propio: Un cociente de invariantes.

U^2=(\gamma c)^2- (\gamma v_x)^2 - (\gamma v_y)^2- (\gamma v_z)^2 =\left (c \frac{\Delta t}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta x}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta y}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta z}{ \Delta \tau } \right )^2 = \left ( \frac{ \Delta S }{\Delta \tau} \right )^2

Cuadrimomento

Continuando con el método anterior de definir el cuadrivector y su invariante asociado, se puede definir el cuadrimomento extendiendo el concepto de la mecánica Newtoniana como el producto de la masa en reposo por la cuadrivelocidad (producto de invariantes), de modo que

P = \begin{bmatrix}{m_0 \gamma c }\\{ m_0 \gamma v_x }\\{m_0 \gamma v_y }\\{ m_0 \gamma v_z } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\frac{E}{c} }\\{ p_x }\\{p_y }\\{ p_z } \end{bmatrix}

Al contrario que el momento Newtoniano que es distinto para distintos observadores, el cuadrimomento define como invariante asociado la energía en reposo.

P^2=\left( \frac{E}{c} \right )^2 - (\mathbf p)^2=(m_oc)^2

Invariante que se deriva del cuadrimomento

que para v=0 lleva inmediatamente a la famosísima E=m_0 c^2.

Se puede observar que según la mecánica Newtoniana ni el momento ni la energía son iguales para dos observadores en movimiento relativo (E=\frac{1}{2}  mv^2 , p=mv), pero para la relatividad especial surge un acople entre ambos que es constante para cualquier observador: P^2Las partículas sin masa tienen P^2=0, ya que se moverán en la superficie de un cono en el correspondiente espacio de Minkowski.  Se usará este resultado en un ejemplo posterior con fotones.

Cuadriaceleración y cuadrifuerza

Se definen la cuadriaceleración A y cuadrifuerza F por extensión de la mecánica clásica, siendo f y u los vectores tridimensionales fuerza y velocidad respectivamente,

A=\frac{dU}{d \tau}=\begin{bmatrix} { \frac {d \gamma c}{d \tau} }\\[6pt]{ \frac{d \gamma v }{d \tau }} \end{bmatrix} F=\frac{dP}{d \tau}=mA=\begin{bmatrix}{\gamma \frac{f.u}{c} }\\[6pt]{ \gamma f } \end{bmatrix} 

Esta última ecuación no se demuestra aquí.

Cuadricorriente

A la hora de formular el modelo relativista del campo electromagnético, se utiliza el cuadrivector cuadricorriente, que unifica en un único objeto invariante relativista tanto la carga como la corriente eléctrica

\bm J=\begin{bmatrix} c \rho \\ \bm j \end{bmatrix}

Cuadripotencial electromagnético

La teoría electromagnética clásica de Maxwell es relativista y por tanto sus ecuaciones son covariantes ante una transformación de Lorentz. Además las leyes de Maxwell y el estudio del fenómeno electromagnético fueron el caldo de cultivo de la relatividad especial. Dentro de este marco es posible definir un cuadrivector (invariante relativista) cuya norma es constante para cualquier observador, y que representa el potencial eléctrico y magnético en una sola entidad, denominada cuadripotencial electromagnético, con notación en coordenadas

A^\mu = \begin{bmatrix} \frac{\phi}{c} \\ \mathbf{A} \end{bmatrix}

La primera coordenada representa el potencial electrostático clásico, y la \mathbf{A} son las tres componentes del potencial vectorial magnético tal que \mathbf B=\nabla \times \mathbf A.

¿Cómo se puede de visualizar este cuadrivector? Imaginad un potencial eléctrico en reposo. Si comenzamos a movernos comenzaremos a percibir un potencial magnético y el potencial eléctrico irá desapareciendo. Finalmente, si nos movemos a la velocidad de la luz sólo se percibirá el potencial magnético. Todo esto es debido a que la norma del cuadrivector debe permanecer constante, y las componentes se deben transformar como las coordenadas espaciales y temporales de la transformación de Lorentz.

Producto escalar de cuadrivectores

Es necesario para calcular con cuadrivectores. Solamente recordar alguna cuestión de signos, ya que se usará esta definición en el ejemplo que sigue. Supongamos dos cuadrivectores

A = \begin{bmatrix}a_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}b_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}

Para la signatura que estamos usando, su producto escalar es

A.B=a_0b_0-\vec x . \vec y A.B=a_0b_0- \left \| \vec x \right \| \left \| \vec y \right \| \cos \theta

Ejemplo con efecto Compton

El efecto Compton (1892-1962) trata sobre la dispersión de fotones de alta energía al chocar con los electrones de un trozo de grafito. La dispersión disminuye la frecuencia de los fotones en función del ángulo de desvío, lo que sirvió para confirmar la naturaleza cuántica de la luz y la teoría de la relatividad especial. El cálculo de la \Delta \lambda tiene además interés por la parte que toca a la relatividad especial. Se utilizará la invariancia de la norma del cuadrimomento.

El módulo al cuadrado del cuadrimomento debe ser constante antes y después del choque según Einstein: P^2=P'^2 y de aquí se sigue …

P_e+P_\gamma- P'_\gamma =P'_e (P_e+P_\gamma- P'_\gamma)^2 =P'^2 _e \cancel{P^2_e}+\cancel{P^2_\gamma}+\cancel{ P'^2_\gamma}+2P_e P_\gamma -2P_eP'_\gamma -2P_\gamma P'_\gamma =\cancel{P'^2 _e}

Las cancelaciones se justifican porque el electrón permanece en el material del blanco P_e^2=P'^2_e=m^2_{0e}c^2, y porque el cuadrado del cuadrimomento del fotón antes y después del choque elástico vale 0, como se ha visto en el apartado anterior, o sea P^2_\gamma= P'^2_\gamma=0, así que

P_\gamma P'_\gamma+P_e( P'_\gamma-P_\gamma)=0

Recordando que para un fotón p=\frac {E}{c}, y el producto escalar de cuadrivectores ya visto

\frac{E_\gamma E'_\gamma}{c^2} (1-cos \theta) +m_{e0} (E'_\gamma-E_\gamma) =0

y recordando también que para el fotón E=\frac{hc}{\lambda}

\frac{hc}{\lambda} \frac{hc}{\lambda '} \frac{1}{c^2}(1-cos \theta)+m_{e0}\left ( \frac{hc}{\lambda '}- \frac{hc}{\lambda} \right )=0

se llega de inmediato a la expresión que arroja la diferencia de longitudes de onda en función del ángulo de desviación del fotón.

\lambda ' - \lambda=\frac{h}{m_{e0}}(1- \cos \theta)

… tan sencillo como interesante.

Y aquí termina este post sobre relatividad especial en su formulación cuadrivectorial. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivector

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformación_de_Lorentz

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