Cuadrivector

Formulación cuadrivectorial de la relatividad

Un elemento central de la formulación de la teoría de la relatividad es el cuadrivector, que es el objeto geométrico que representa magnitudes invariantes ante una transformación de Lorentz. Al contrario que el modelo de espacio-tiempo de Minkowski que es más geométrico, el cuadrivector lleva a un modelo matemático de álgebra lineal.

Fundamentos

La esencia radica en que las cuatro ecuaciones de la transformación de Lorentz pueden escribirse así

\begin{bmatrix}{ct'}\\{x'}\\{y'}\\{z'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{\gamma}&{-\beta \gamma}&{0}&{0}\\ {-\beta \gamma} &{ \gamma}&{0}&{0} \\ {0}&{0}&{1}&{0} \\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{ct}\\{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}

Transformación de Lorentz en formato matricial [3]

siendo los cuadrivectores los objetos sobre los que opera la matriz, y pertenecen al espacio-tiempo de Minkowski.  En el espacio-tiempo de Minkowski \mathbb M, que se define como el par formado por R^4 y la métrica de Minkowski,  la  definición de distancia entre dos elementos x=(x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb M, y=(y_0,y_1,y_2,y_3) \in \mathbb M no es el teorema de pitágoras sino

d(x,y)^2=(x_0y_0)^2-(x_1y_1)^2-(x_2y_2)^2-(x_3y_3)^2

Se dice que la geometría de este espacio es hiperbólica.  Los cuadrivectores permiten definir invariantes ante una transformación de Lorentz, aplicando este tipo de definición de distancia hiperbólica.  Veamos algunos ejemplos.

Cuadrivector posición de un suceso S

Es el cuadrivector básico S= \begin{bmatrix}{ct}&{x}&{y}&{z} \end{bmatrix} , y representa un suceso en el espaciotiempo. El invariante que define es el intervalo de universo.

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

Cuadrivector velocidad

Supongamos un observador que conoce la línea de universo de una partícula como el de la [figura 2]. Este observador deseará definir algún tipo de velocidad en el espaciotiempo. Debería ser tangente a la línea de universo, y por extensión de la mecánica Newtoniana lo hará posiblemente así

\cancel {V = \left ( \frac{dct}{dt}, \frac{dx_1}{dt} ,\frac{dx_2}{dt} ,\frac{dx_3}{dt} \right )}

lo que es muy correcto referido a su propio sistema de coordenadas. Sin embargo es poco práctico, ya que su propia referencia (t, tiempo coordenado) no parece la mejor forma de caracterizar un movimiento, tanto porque ése observador es un ente ajeno al cuerpo descrito, como porque su tiempo puede no ser una magnitud interesante para terceros observadores. Por ello se prefiere definir la cuadrivelocidad en relación al tiempo propio del cuerpo al que se refiere.

V = \left ( \frac{dct}{d\tau}, \frac{dx_1}{d \tau } ,\frac{dx_2}{d \tau } ,\frac{dx_3}{d \tau } \right )

Y teniendo en cuenta la transformación de Lorentz para la componente temporal vista desde el observador d \tau=\frac{dt}{\gamma} , la definición de cuadrivelocidad es:

V = \left ( \frac{\gamma dct}{dt}, \frac{ \gamma dx_1}{dt} ,\frac{ \gamma dx_2}{dt} ,\frac{ \gamma dx_3}{dt} \right )=\begin{bmatrix}{ \gamma c }&{ \gamma v_x }&{ \gamma v_y }&{ \gamma v_z } \end{bmatrix}

Al igual que la velocidad Newtoniana, sus componentes difieren para distintos observadores, pero su norma define un invariante que es igual al intervalo dividido entre el tiempo propio: Un cociente de invariantes.

V^2=(\gamma c)^2- (\gamma v_x)^2 - (\gamma v_y)^2- (\gamma v_z)^2 =\left (c \frac{\Delta t}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta x}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta y}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta z}{ \Delta \tau } \right )^2 = \left ( \frac{ \Delta S }{\Delta \tau} \right )^2

Cuadrimomento

Continuando con el método anterior de definir el cuadrivector y su invariante asociado, se puede definir el cuadrimomento extendiendo el concepto de la mecánica Newtoniana como el producto de la masa en reposo por la cuadrivelocidad (producto de invariantes), de modo que

P = \begin{bmatrix}{m_0 \gamma c }&{ m_0 \gamma v_x }&{m_0 \gamma v_y }&{ m_0 \gamma v_z } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\frac{E}{c} }&{ p_x }&{p_y }&{ p_z } \end{bmatrix}

Al contrario que el momento Newtoniano que es distinto para distintos observadores, el cuadrimomento define como invariante asociado la energía en reposo.

P^2=\left( \frac{E}{c} \right )^2 - (\mathbf p)^2=(m_oc)^2

Invariante que se deriva del cuadrimomento [4]

que para v=0 lleva inmediatamente a la famosísima E=m_0 c^2.  También comentaré que según la mecánica Newtoniana ni el momento ni la energía son iguales para dos observadores en movimiento relativo (E=\frac{1}{2}  mv^2 , p=mv), pero en relatividad especial aparece un acople entre ambos que es constante para cualquier observador: P^2.

Finalmente queda por decir, que las partículas sin masa tienen P^2=0, ya que se moverán en la superficie de un cono en el correspondiente espacio de Minkowski.  Se usará este resultado en un ejemplo posterior con fotones.

Producto escalar de cuadrivectores

Es necesario para calcular con cuadrivectores. Solamente recordar alguna cuestión de signos, ya que se usará esta definición en el ejemplo que sigue. Supongamos dos cuadrivectores

A = \begin{bmatrix}a_0 & x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}b_0 & y_1 & y_2 & y_3 \end{bmatrix}

Para la signatura que estamos usando, su producto escalar es

A.B=a_0b_0-\vec x . \vec y A.B=a_0b_0- \left \| \vec x \right \| \left \| \vec y \right \| \cos \theta

Ejemplo con efecto Compton

El efecto Compton (1892-1962) trata sobre la dispersión de fotones de alta energía al chocar con los electrones de un trozo de grafito. La dispersión disminuye la frecuencia de los fotones en función del ángulo de desvío, lo que sirvió para confirmar la naturaleza cuántica de la luz y la teoría de la relatividad especial. El cálculo de la \Delta \lambda tiene además interés por la parte que toca a la relatividad especial. Se utilizará la invariancia de la norma del cuadrimomento.

El módulo al cuadrado del cuadrimomento debe ser constante antes y después del choque según Einstein: P^2=P'^2 y de aquí se sigue …

P_e+P_\gamma- P'_\gamma =P'_e (P_e+P_\gamma- P'_\gamma)^2 =P'^2 _e \cancel{P^2_e}+\cancel{P^2_\gamma}+\cancel{ P'^2_\gamma}+2P_e P_\gamma -2P_eP'_\gamma -2P_\gamma P'_\gamma =\cancel{P'^2 _e}

Las cancelaciones se justifican porque el electrón permanece en el material del blanco P_e^2=P'^2_e=m^2_{0e}c^2, y porque el cuadrado del cuadrimomento del fotón antes y después del choque elástico vale 0, como se ha visto en el apartado anterior, o sea P^2_\gamma= P'^2_\gamma=0, así que

P_\gamma P'_\gamma+P_e( P'_\gamma-P_\gamma)=0

Recordando que para un fotón p=\frac {E}{c}, y el producto escalar de cuadrivectores ya visto

\frac{E_\gamma E'_\gamma}{c^2} (1-cos \theta) +m_{e0} (E'_\gamma-E_\gamma) =0

y recordando también que para el fotón E=\frac{hc}{\lambda}

\frac{hc}{\lambda} \frac{hc}{\lambda '} \frac{1}{c^2}+m_{e0}\left ( \frac{hc}{\lambda '}- \frac{hc}{\lambda} \right )=0

se llega de inmediato a la expresión que arroja la diferencia de longitudes de onda en función del ángulo de desviación del fotón.

\lambda ' - \lambda=\frac{h}{m_{e0}}(1- \cos \theta)

… tan sencillo como interesante.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivector

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformación_de_Lorentz

Y aquí termina este post sobre relatividad especial en su formulación cuadrivectorial. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

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