Minkowski

Espacio-tiempo de Minkowski en relatividad especial

Recordemos que la constancia de la velocidad de la luz que se demostró en el experimento de Michelson-Morley tiene como consecuencia la veracidad de la transformación de Lorentz.  En la página de relatividad especial se ha expuesto cómo esta transformación determina la definición de un invariante, el intervalo de universo

(\Delta S)^2= \Delta x^2+ \Delta y^2+ \Delta z^2+(ic \Delta t)^2

Teorema de Pitágoras 4-dimensional  [1]

La intuición matemática nos acerca de inmediato al teorema de Pitágoras [1], identificando el término ic\Delta t como la cuarta dimensión en un espacio euclídeo \mathbb E^4 tetradimensional (para leer algo más sobre espacios euclídeos ver tensor). Pero dado que no es posible apuntar con el dedo, y mucho menos medir esta cuarta dimensión por ser imaginaria, este modelo parece que no es muy intuitivo. Pero ¿existe alguna otra geometría en la que la cuarta dimensión implícita en la transformación de Lorentz tenga un encaje natural?

Bien, existe una geometría alternativa que no cumple el teorema de Pitágoras y compatible con la transformación de Lorentz, denominada geometría hiperbólica, en la que la distancia se puede definir directamente como

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

Definición de distancia (intervalo) en el espacio de Minkowski [2]

que elimina el molesto i trayendo la cuarta dimensión a \mathbb R. El espacio 4-dimensional en el que el intervalo \Delta S se define como en [2], es el espacio de Minkowski (1864-1909), denotado por \mathbb M.

En lo que sigue, se va a usar en este texto la signatura (+,-,-,-) para la forma cuadrática, lo que facilita una definición de tiempo como número positivo que se verá un poco más adelante. Aparte, la ecuación [2] es la ecuación de la hipérbola cte.=ax^2-ay^2 (asemejando x a la parte temporal e y a la parte espacial), de ahí el nombre de geometría hiperbólica.

El cono de luz

¿Cómo puede uno imaginarse este espacio? Las coordenadas de los puntos de este espacio son cuatro (t, x, y, z) y por tanto cada punto representa un evento en el espacio-tiempo, por ejemplo una chispa, o una partícula en un instante de tiempo. Veamos como la definición de intervalo arroja luz sobre la interpretación de las posiciones relativas de dos sucesos en este extraño espacio.

Caso (\Delta S)^2=0

Para empezar tomemos las trayectorias en las que partiendo de un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0), el intervalo (\Delta S)^2=0. Estas trayectorias sólo pueden ser seguidas por perturbaciones del espacio que se mueven a la velocidad c, como la luz. Eliminando una dimensión espacial para poder representar las otras tres cómodamente en 3D, estas trayectorias forman un cono como el de la figura 1, denominado cono de luz del suceso P_0.

Espacio-tiempo de Minkowski

[Figura 1]Cono de luz del suceso P_0(t_0,x_0,y_0)

La superficie del cono superior representa las trayectorias en el espacio-tiempo de los sucesos que saliendo de P_0, van hacia el futuro a velocidad c, por ejemplo la luz de una chispa. Siguiendo con el símil, la superficie del cono inferior representa las trayectorias de los rayos de luz que convergen en P_0 desde el pasado, por ejemplo cuando se mira a las estrellas, la retina es el punto P_0 en el que convergen todos los rayos emitidos en el pasado y que pasan por ella.

Caso (\Delta S)^2>0

Tomemos ahora las trayectorias que pasan por un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0) siendo el intervalo (\Delta S)^2>0. Para estas trayectorias la parte (c\Delta t)^2 es mayor que la parte -\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 . En palabras, la distancia recorrida por la luz en el intervalo es siempre mayor que la recorrida por el evento que nos interesa, y por tanto representan las trayectorias de los cuerpos materiales en el espacio-tiempo «hacia el futuro». El lugar geométrico es el interior de los conos superior e inferior, y es el conjunto de puntos del espacio-tiempo que tienen una relación causal con P_0, bien por estar en su pasado o en su futuro. Este tipo de intervalos se denominan intervalos de tipo tiempo.

Caso (\Delta S)^2<0

Tomemos ahora las trayectorias en las que partiendo de un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0), el intervalo (\Delta S)^2<0. En este caso el peso de la parte espacial -\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 es mayor que la temporal (c\Delta t)^2, por tanto son trayectorias inalcanzables incluso para la luz. El lugar geométrico está a los lados de los conos. No puede existir una relación causal de los puntos de este tipo de trayectorias con el punto P_0. Este tipo de intervalos se denominan intervalos de tipo espacio.

Finalmente, una trayectoria en el espacio de Minkowski entre dos sucesos A y B o línea de universo o línea de mundo puede representarse como una línea en la dirección del tiempo. Para partículas materiales la trayectoria debe estar comprendida íntegramente en el interior de los conos. Para perturbaciones que se desplazan a velocidad c, la trayectoria es tangente a la superficie de los conos de la figura 2.

Minkowski 1

[Figura 2] Trayectoria de una partícula material en el espacio de Minkowski

Cabe preguntarse por el significado físico de la distancia medida sobre la línea de universo entre A y B:  Representa el tiempo propio \tau transcurrido entre ambos sucesos y corresponde con la integral de línea

\tau= \displaystyle\oint_{C} \frac {dS} {c}

siempre que dS \ge 0.  A simple vista de la figura 2 no es claro, pero nótese que un reloj en el sistema en movimiento que sigue la línea de universo representada en la figura 2, tiene coordenadas espaciales nulas en su propio marco de referencia, y por tanto el intervalo es de tipo temporal puro.

Añadiré como curiosidad, que para perturbaciones que se mueven a velocidad c, dS = 0 y \tau = 0, con lo que el tiempo propio está detenido, lo que daría un bonito argumento para la ciencia ficción, aunque nunca lo he visto utilizado.

Transformación de coordenadas en el espacio de Minkowski

Una utilidad del espacio de Minkowski es encontrar con un simple dibujo la transformación de coordenadas que tiene lugar cuando dos observadores en movimiento relativo perciben un mismo suceso X en el espacio-tiempo.  Habría que dibujar los ejes tanto de O como de O' y proyectar la posición de X sobre estos ejes.  Se expone sobre la Figura 3, eliminando por claridad dos coordenadas espaciales. 

¿Puede el lector darse cuenta tras una pequeña reflexión de que el eje ct' es la línea de mundo del observador O' animado respecto al observador O por una velocidad \vec v_x ? Una pista, los orígenes coinciden para t=t'=0.

Por otra parte x' es el lugar geométrico de todos los sucesos en el sistema O' para los que t'=0 por definición, de modo que definiendo

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \qquad \beta=\frac{v}{c} se puede denotar la transformación de Lorentz así

t' = \gamma \left ( t-\frac{\beta x}{c} \right )=0 \implies t=\frac{\beta x}{c}

de donde es inmediato que la pendiente del eje x' debe ser \frac{\Delta ct}{\Delta x}=\beta

y concretamente para valores \vec v_x \to c la pendiente \beta \to 1.

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[Figura 3] Transformación de Lorentz en el espacio de Minkowski

Una vez que la figura 3 nos abre los ojos del espacio-tiempo, solo nos queda reflexionar acerca de cómo serían las coordenadas del suceso X medidas por el observador O'.  Por el principio de equivalencia débil, todos los sistemas inerciales son equivalentes para la descripción de la naturaleza, y por tanto las coordenadas de X se encuentran trazando paralelas a los ejes ct' y x' con el mismo derecho que lo hacemos para O.  De este modo obtenemos gráficamente la prometida transformación de coordenadas O \to O'.

Calibración de ejes en diagramas de Minkowski

Cuando se realiza este cálculo gráfico aparece el problema práctico de la graduación de los ejes.  Se tendrá en cuenta que el intervalo de universo es un invariante en relatividad especial

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta \mathbf x^2

que define hipérbolas en el espacio de Minkowski, y por ejemplo para el intervalo unidad, la calibración debe corresponder con la intersección de la correspondiente hipérbola con los ejes.

Minkowski 3

[Figura 4] Calibración de ejes con hipérbola \Delta S^2=1

Contracción de Lorentz

Retomemos el ejemplo del DeLorean visto en la página de relatividad especial en el apartado de contracción de la longitud.  Vamos en marcha paralelos al DeLorean, medimos la longitud propia del DeLorean L_0.  En este caso somos el observador en movimiento, y hemos medido los extremos del Delorean en el mismo tiempo por definición de medida.  Por tanto, no hay proyección sobre el eje ct', y dibujamos la distancia L_0 sobre el eje x'.  Dibujamos las lineas de mundo de los dos extremos del DeLorean, que deben ser paralelas a ct' debido a que para nosotros no se mueven.  La distancia que mide el observador en reposo (el señor en la gasolinera) debe estar sobre una paralela al eje x por definición de medida e idéntico razonamiento.  El instante concreto en el que se realiza la medida L no importa, y siempre se obtendrá una medida menor que L_0.

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[Figura 5] Contracción de Lorentz en el diagrama de Minkowski

Téngase en cuenta que al aumentar la velocidad relativa entre los observadores v_x \to c, en el diagrama de Minkowski se traduce como un menor ángulo entre los ejes x' y ct' que \to  0.  Así se evidencia la relación no lineal entre L_0 y L en este tipo de diagrama.

Dilatación del tiempo

Para la dilatación del tiempo se razona de forma semejante.  Retomemos el caso del muón visto en la página de relatividad especial.  Este muón en el sistema O' lleva un reloj consigo, que bate T_0 segundos en su línea de mundo, que deberá estar sobre ct' por definición de tiempo propio.  La coordenada temporal en el sistema O será directamente la proyección sobre el eje ct.

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[Figura 6] Dilatación del tiempo en el diagrama de Minkowski

En este último diagrama se ha exagerado la velocidad, con el fin de evidenciar la graduación de ejes, que es lo que realmente expone la geometría no lineal de este diagrama.

Otras fuentes

https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo_de_Minkowski

https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrivector

https://es.wikipedia.org/wiki/Transformación_de_Lorentz

Y aquí termina este post sobre la visión más geométrica de Minkowski. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

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