Relatividad especial Avanzada

Creo que para obtener una buena visión sobre relatividad especial, el acercamiento debe ser revisando tres modelos matemáticos por separado, y luego reflexionando uno mismo sobre cómo se complementan:

  1. La transformación de Lorentz, que es una teoría algebraica ya vista en la página relatividad especial
  2. El espaciotiempo de Minkovsky que es una construcción geométrica
  3. La formulación cuadrivectorial que es una construcción de álgebra lineal (matricial).

Veamos a continuación los dos últimos modelos por separado.

Espaciotiempo de Minkovsky y relatividad especial

Recordemos que la constancia de la velocidad de la luz que se demostró en el experimento de Michelson-Morley tiene como consecuencia la veracidad de la transformación de Lorentz.  En la página de relatividad especial se ha expuesto cómo esta transformación determina la definición de un invariante, el intervalo de universo

(\Delta S)^2= \Delta x^2+ \Delta y^2+ \Delta z^2+(ic \Delta t)^2

Teorema de Pitágoras 4-dimensional  [1]

La intuición matemática nos acerca de inmediato al teorema de Pitágoras [1], identificando el término ic\Delta t como la cuarta dimensión en un espacio euclídeo \mathbb E^4 tetradimensional (para leer algo más sobre espacios euclídeos ver tensor). Pero dado que no es posible apuntar con el dedo, y mucho menos medir esta cuarta dimensión por ser imaginaria, este modelo parece que no es muy intuitivo. Pero ¿existe alguna otra geometría en la que la cuarta dimensión implícita en la transformación de Lorentz tenga un encaje natural?

Bien, existe una geometría alternativa que no cumple el teorema de Pitágoras y compatible con la transformación de Lorentz, denominada geometría hiperbólica, en la que la distancia se puede definir directamente como

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

Definición de distancia (intervalo) en el espacio de Minkovsky  [2]

que elimina el molesto i trayendo la cuarta dimensión a \mathbb R. El espacio 4-dimensional en el que el intervalo \Delta S se define como en [2], es el espacio de Minkovsky (1864-1909), denotado por \mathbb M.

En lo que sigue, se va a usar en este texto la signatura (+,-,-,-) para la forma cuadrática, lo que facilita una definición de tiempo como número positivo que se verá un poco más adelante. Aparte, la ecuación [2] es la ecuación de la hipérbola cte.=ax^2-ay^2 (asemejando x a la parte temporal e y a la parte espacial), de ahí el nombre de geometría hiperbólica.

El cono de luz

¿Cómo puede uno imaginarse este espacio? Las coordenadas de los puntos de este espacio son cuatro (t, x, y, z) y por tanto cada punto representa un evento en el espaciotiempo, por ejemplo una chispa, o una partícula en un instante de tiempo. Veamos como la definición de intervalo arroja luz sobre la interpretación de las posiciones relativas de dos sucesos en este extraño espacio.

Caso (\Delta S)^2=0

Para empezar tomemos las trayectorias en las que partiendo de un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0), el intervalo (\Delta S)^2=0. Estas trayectorias sólo pueden ser seguidas por perturbaciones del espacio que se mueven a la velocidad c, como la luz. Eliminando una dimensión espacial para poder representar las otras tres cómodamente en 3D, estas trayectorias forman un cono como el de la figura 1, denominado cono de luz del suceso P_0.

relatividad especial minkovsky

[Figura 1]Cono de luz del suceso P_0(t_0,x_0,y_0)

La superficie del cono superior representa las trayectorias en el espaciotiempo de los sucesos que saliendo de P_0, van hacia el futuro a velocidad c, por ejemplo la luz de una chispa. Siguiendo con el símil, la superficie del cono inferior representa las trayectorias de los rayos de luz que convergen en P_0 desde el pasado, por ejemplo cuando se mira a las estrellas, la retina es el punto P_0 en el que convergen todos los rayos emitidos en el pasado y que pasan por ella.

Caso (\Delta S)^2>0

Tomemos ahora las trayectorias que pasan por un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0) siendo el intervalo (\Delta S)^2>0. Para estas trayectorias la parte (c\Delta t)^2 es mayor que la parte -\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 . En palabras, la distancia recorrida por la luz en el intervalo es siempre mayor que la recorrida por el evento que nos interesa, y por tanto representan las trayectorias de los cuerpos materiales en el espaciotiempo «hacia el futuro». El lugar geométrico es el interior de los conos superior e inferior, y es el conjunto de puntos del espaciotiempo que tienen una relación causal con P_0, bien por estar en su pasado o en su futuro. Este tipo de intervalos se denominan intervalos de tipo tiempo.

Caso (\Delta S)^2<0

Tomemos ahora las trayectorias en las que partiendo de un punto P_0(t_0,x_0,y_0,z_0), el intervalo (\Delta S)^2<0. En este caso el peso de la parte espacial -\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 es mayor que la temporal (c\Delta t)^2, por tanto son trayectorias inalcanzables incluso para la luz. El lugar geométrico está a los lados de los conos. No puede existir una relación causal de los puntos de este tipo de trayectorias con el punto P_0. Este tipo de intervalos se denominan intervalos de tipo espacio.

Finalmente, una trayectoria en el espacio de Minkovsky entre dos sucesos A y B o línea de universo o línea de mundo puede representarse como una línea en la dirección del tiempo. Para partículas materiales la trayectoria debe estar comprendida íntegramente en el interior de los conos. Para perturbaciones que se desplazan a velocidad c, la trayectoria es tangente a la superficie de los conos de la figura 2.

Relatividad especial Avanzada 1

[Figura 2] Trayectoria de una partícula material en el espacio de Minkovsky

Cabe preguntarse por el significado físico de la distancia medida sobre la línea de universo entre A y B:  Representa el tiempo propio \tau transcurrido entre ambos sucesos y corresponde con la integral de línea

\tau= \displaystyle\oint_{C} \frac {dS} {c}

siempre que dS \ge 0.  A simple vista de la figura 2 no es claro, pero nótese que un reloj en el sistema en movimiento que sigue la línea de universo representada en la figura 2, tiene coordenadas espaciales nulas en su propio marco de referencia, y por tanto el intervalo es de tipo temporal puro.

Añadiré como curiosidad, que para perturbaciones que se mueven a velocidad c, dS = 0 y \tau = 0, con lo que el tiempo propio está detenido, lo que daría un bonito argumento para la ciencia ficción, aunque nunca lo he visto utilizado.

Transformación de coordenadas en el espacio de Minkovsky

Una utilidad del espacio de Minkovsky es encontrar con un simple dibujo la transformación de coordenadas que tiene lugar cuando dos observadores en movimiento relativo perciben un mismo suceso X en el espaciotiempo.  Habría que dibujar los ejes tanto de O como de O' y proyectar la posición de X sobre estos ejes.  Se expone sobre la Figura 3, eliminando por claridad dos coordenadas espaciales. 

¿Puede el lector darse cuenta tras una pequeña reflexión de que el eje ct' es la línea de mundo del observador O' animado respecto al observador O por una velocidad \vec v_x ? Una pista, los orígenes coinciden para t=t'=0.

Por otra parte x' es el lugar geométrico de todos los sucesos en el sistema O' para los que t'=0 por definición, de modo que definiendo

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \qquad \beta=\frac{v}{c} se puede denotar la transformación de Lorentz así

t' = \gamma \left ( t-\frac{\beta x}{c} \right )=0 \implies t=\frac{\beta x}{c}

de donde es inmediato que la pendiente del eje x' debe ser \frac{\Delta ct}{\Delta x}=\beta

y concretamente para valores \vec v_x \to c la pendiente \beta \to 1.

Relatividad especial Avanzada 2

[Figura 3] Transformación de Lorentz en el espacio de Minkovsky

Una vez que la figura 3 nos abre los ojos del espaciotiempo, solo nos queda reflexionar acerca de cómo serían las coordenadas del suceso X medidas por el observador O'.  Por el principio de equivalencia débil, todos los sistemas inerciales son equivalentes para la descripción de la naturaleza, y por tanto las coordenadas de X se encuentran trazando paralelas a los ejes ct' y x' con el mismo derecho que lo hacemos para O.  De este modo obtenemos gráficamente la prometida transformación de coordenadas O \to O'.

Calibración de ejes en diagramas de Minkovsky

Cuando se realiza este cálculo gráfico aparece el problema práctico de la graduación de los ejes.  Se tendrá en cuenta que el intervalo de universo es un invariante en relatividad especial

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta \mathbf x^2

que define hipérbolas en el espacio de Minkovsky, y por ejemplo para el intervalo unidad, la calibración debe corresponder con la intersección de la correspondiente hipérbola con los ejes.

Relatividad especial Avanzada 3

[Figura 4] Calibración de ejes con hipérbola \Delta S^2=1

Contracción de Lorentz

Retomemos el ejemplo del DeLorean visto en la página de relatividad especial en el apartado de contracción de la longitud.  Vamos en marcha paralelos al DeLorean, medimos la longitud propia del DeLorean L_0.  En este caso somos el observador en movimiento, y hemos medido los extremos del Delorean en el mismo tiempo por definición de medida.  Por tanto, no hay proyección sobre el eje ct', y dibujamos la distancia L_0 sobre el eje x'.  Dibujamos las lineas de mundo de los dos extremos del DeLorean, que deben ser paralelas a ct' debido a que para nosotros no se mueven.  La distancia que mide el observador en reposo (el señor en la gasolinera) debe estar sobre una paralela al eje x por definición de medida e idéntico razonamiento.  El instante concreto en el que se realiza la medida L no importa, y siempre se obtendrá una medida menor que L_0.

Relatividad especial Avanzada 4

[Figura 5] Contracción de Lorentz en el diagrama de Minkovsky

Téngase en cuenta que al aumentar la velocidad relativa entre los observadores v_x \to c, en el diagrama de Minkovsky se traduce como un menor ángulo entre los ejes x' y ct' que \to  0.  Así se evidencia la relación no lineal entre L_0 y L en este tipo de diagrama.

Dilatación del tiempo

Para la dilatación del tiempo se razona de forma semejante.  Retomemos el caso del muón visto en la página de relatividad especial.  Este muón en el sistema O' lleva un reloj consigo, que bate T_0 segundos en su línea de mundo, que deberá estar sobre ct' por definición de tiempo propio.  La coordenada temporal en el sistema O será directamente la proyección sobre el eje ct.

Relatividad especial Avanzada 5

[Figura 6] Dilatación del tiempo en el diagrama de Minkovsky

En este último diagrama se ha exagerado la velocidad, con el fin de evidenciar la graduación de ejes, que es lo que realmente expone la geometría no lineal de este diagrama.

Formulación cuadrivectorial

Como se ha indicado al principio de la página, también se puede formular la relatividad especial usando el álgebra lineal.  La esencia radica en que las cuatro ecuaciones de la transformación de Lorentz pueden escribirse así

\begin{bmatrix}{ct'}\\{x'}\\{y'}\\{z'} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}{\gamma}&{-\beta \gamma}&{0}&{0}\\ {-\beta \gamma} &{ \gamma}&{0}&{0} \\ {0}&{0}&{1}&{0} \\ {0}&{0}&{0}&{1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}{ct}\\{x}\\{y}\\{z} \end{bmatrix}

Transformación de Lorentz en formato matricial [3]

siendo los cuadrivectores los objetos sobre los que opera la matriz.  Los cuadrivectores son elementos del espacio de Minkovsky \mathbb M, que se define como el par formado por R^4 y la métrica de Minkovsky.  Ésta métrica no es más que una definición de distancia entre dos elementos x=(x_0,x_1,x_2,x_3) \in \mathbb M, y=(y_0,y_1,y_2,y_3) \in \mathbb M así

d(x,y)^2=(x_0y_0)^2-(x_1y_1)^2-(x_2y_2)^2-(x_3y_3)^2

Adicionalmente los cuadrivectores permiten definir invariantes ante una transformación de Lorentz, aplicando esta definición de distancia.  Veamos algunos ejemplos.

Cuadrivector posición de un suceso S

Es el cuadrivector básico S= \begin{bmatrix}{ct}&{x}&{y}&{z} \end{bmatrix} , y representa un suceso en el espaciotiempo. El invariante que define es el intervalo de universo.

(\Delta S)^2=(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

Cuadrivector velocidad

Supongamos un observador que conoce la línea de universo de una partícula como el de la [figura 2]. Este observador deseará definir algún tipo de velocidad en el espaciotiempo. Debería ser tangente a la línea de universo, y por extensión de la mecánica Newtoniana lo hará posiblemente así

\cancel {V = \left ( \frac{dct}{dt}, \frac{dx_1}{dt} ,\frac{dx_2}{dt} ,\frac{dx_3}{dt} \right )}

lo que es muy correcto referido a su propio sistema de coordenadas. Sin embargo es poco práctico, ya que su propia referencia (t, tiempo coordenado) no parece la mejor forma de caracterizar un movimiento, tanto porque ése observador es un ente ajeno al cuerpo descrito, como porque su tiempo puede no ser una magnitud interesante para terceros observadores. Por ello se prefiere definir la cuadrivelocidad en relación al tiempo propio del cuerpo al que se refiere.

V = \left ( \frac{dct}{d\tau}, \frac{dx_1}{d \tau } ,\frac{dx_2}{d \tau } ,\frac{dx_3}{d \tau } \right )

Y teniendo en cuenta la transformación de Lorentz para la componente temporal vista desde el observador d \tau=\frac{dt}{\gamma} , la definición de cuadrivelocidad es:

V = \left ( \frac{\gamma dct}{dt}, \frac{ \gamma dx_1}{dt} ,\frac{ \gamma dx_2}{dt} ,\frac{ \gamma dx_3}{dt} \right )=\begin{bmatrix}{ \gamma c }&{ \gamma v_x }&{ \gamma v_y }&{ \gamma v_z } \end{bmatrix}

Al igual que la velocidad Newtoniana, sus componentes difieren para distintos observadores, pero su norma define un invariante que es igual al intervalo dividido entre el tiempo propio: Un cociente de invariantes.

V^2=(\gamma c)^2- (\gamma v_x)^2 - (\gamma v_y)^2- (\gamma v_z)^2 =\left (c \frac{\Delta t}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta x}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta y}{ \Delta \tau } \right )^2 -\left ( \frac{\Delta z}{ \Delta \tau } \right )^2 = \left ( \frac{ \Delta S }{\Delta \tau} \right )^2

Cuadrimomento

Continuando con el método anterior de definir el cuadrivector y su invariante asociado, se puede definir el cuadrimomento extendiendo el concepto de la mecánica Newtoniana como el producto de la masa en reposo por la cuadrivelocidad (producto de invariantes), de modo que

P = \begin{bmatrix}{m_0 \gamma c }&{ m_0 \gamma v_x }&{m_0 \gamma v_y }&{ m_0 \gamma v_z } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{\frac{E}{c} }&{ p_x }&{p_y }&{ p_z } \end{bmatrix}

Al contrario que el momento Newtoniano que es distinto para distintos observadores, el cuadrimomento define como invariante asociado la energía en reposo.

P^2=\left( \frac{E}{c} \right )^2 - (\mathbf p)^2=(m_oc)^2

Invariante que se deriva del cuadrimomento [4]

que para v=0 lleva inmediatamente a la famosísima E=m_0 c^2.  También comentaré que según la mecanica Newtoniana ni el momento ni la energía son iguales para dos observadores en movimiento relativo (E=\frac{1}{2}  mv^2 , p=mv), pero en relatividad especial aparece un acople entre ambos que es constante para cualquier observador: P^2.

Finalmente queda por decir, que las partículas sin masa tienen P^2=0, ya que se moverán en la superficie de un cono en el correspondiente espacio de minkovsky.  Se usará este resultado en un ejemplo posterior con fotones.

Producto escalar de cuadrivectores

Es necesario para calcular con cuadrivectores. Solamente recordar alguna cuestión de signos, ya que se usará esta definición en el ejemplo que sigue. Supongamos dos cuadrivectores

A = \begin{bmatrix}a_0 & x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix}b_0 & y_1 & y_2 & y_3 \end{bmatrix}

Para la signatura que estamos usando, su producto escalar es

A.B=a_0b_0-\vec x . \vec y A.B=a_0b_0- \left \| \vec x \right \| \left \| \vec y \right \| \cos \theta

Ejemplo con efecto Compton

El efecto Compton (1892-1962) trata sobre la dispersión de fotones de alta energía al chocar con los electrones de un trozo de grafito. La dispersión disminuye la frecuencia de los fotones en función del ángulo de desvío, lo que sirvió para confirmar la naturaleza cuántica de la luz y la teoría de la relatividad especial. El cálculo de la \Delta \lambda tiene además interés por la parte que toca a la relatividad especial, vamos con ello.

El módulo al cuadrado del cuadrimomento debe ser constante antes y después del choque según Einstein: P^2=P'^2 y de aquí se sigue …

P_e+P_\gamma- P'_\gamma =P'_e (P_e+P_\gamma- P'_\gamma)^2 =P'^2 _e \cancel{P^2_e}+\cancel{P^2_\gamma}+\cancel{ P'^2_\gamma}+2P_e P_\gamma -2P_eP'_\gamma -2P_\gamma P'_\gamma =\cancel{P'^2 _e}

Las cancelaciones se justifican porque el electrón permanece en el material del blanco P_e^2=P'^2_e=m^2_{0e}c^2, y porque el cuadrado del cuadrimomento del fotón antes y después del choque elástico vale 0, como se ha visto en el apartado anterior, o sea P^2_\gamma= P'^2_\gamma=0, así que

P_\gamma P'_\gamma+P_e( P'_\gamma-P_\gamma)=0

Recordando que para un fotón p=\frac {E}{c}, y el producto escalar de cuadrivectores ya visto

\frac{E_\gamma E'_\gamma}{c^2} (1-cos \theta) +m_{e0} (E'_\gamma-E_\gamma) =0

y recordando también que para el fotón E=\frac{hc}{\lambda}

\frac{hc}{\lambda} \frac{hc}{\lambda '} \frac{1}{c^2}+m_{e0}\left ( \frac{hc}{\lambda '}- \frac{hc}{\lambda} \right )=0

se llega de inmediato a la expresión que arroja la diferencia de longitudes de onda en función del ángulo de desviación del fotón.

\lambda ' - \lambda=\frac{h}{m_{e0}}(1- \cos \theta)

… tan sencillo como interesante.

Y aquí termina esta serie sobre relatividad especial, que ha consistido en la transformacion de Lorentz, la visión más geométrica de Minkovsky, y la matricial formulación cuadrivectorial. Tres modelos distintos para una misma teoría sobre el espacio y el tiempo. Como siempre cualquier comentario, corrección o sugerencia son bienvenidos.

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