Relatividad especial

Según la teoría de la relatividad especial de Einstein, el espacio, el tiempo, la masa, la energía, el momento y muchas más magnitudes que dependen de éstas son relativas al observador. Esto significa que si yo mido un cuerpo y para mí mide 1 m, para mi amigo puede que mida 2 m; si yo mido un suceso que dura 10 s, puede que para otro dure 20 s; si para mí la masa de un cuerpo es 1 Kg, para un tercero podrá ser de 2 Kg, así de sencillo.

Sin embargo una magnitud no es relativa y tiene siempre el mismo valor para todos los observadores: La velocidad de la luz es absoluta.

Las discrepancias en las medidas son provocadas por la velocidad, pero sólo son significativas si la velocidad relativa entre observadores es comparable a la de la luz. Por tanto los efectos relativistas de la naturaleza quedan fuera de la experiencia directa del humano corriente. La teoría que describe estas diferencias comentadas se llama teoría especial de la relatividad (1905) y es el objeto de este post.

Albert Einstein

Posteriormente Einstein formuló la teoría para el caso en que los observadores estuvieran inmersos en un espaciotiempo curvo generado por campos gravitatorios no despreciables.  La revisión se llama teoría general de la relatividad (1916) y es matemáticamente mucho más complicada que la especial, pero todo eso queda para más adelante.

Todo comenzó con …

El famoso experimento de Michelson-Morley (1887)

En el que se demuestra que la velocidad de la luz es constante.  En este experimento se hace interferir un rayo de luz consigo mismo, un poco al estilo del experimento de Young, solo que en vez de moverse los rayos en direcciones paralelas, se organiza un sistema de espejos para que las trayectorias de los dos haces sigan direcciones perpendiculares.

Si existiera una dirección preferente para la velocidad de la luz,  uno de los rayos correría más que el otro, con lo que al girar el experimento 90º debería notarse el cambio en la figura de difracción en  la pantalla, al ser el otro rayo el que iría a mayor velocidad.

Se teorízó además sobre la posible existencia de un «éter luminífero» que todo lo llena, que pudiera ser el medio en el que se desplazaran la luz y los campos electromagnéticos en general.  Este éter sería atravesado por la tierra en su órbita solar, con lo que arrastraría a la luz en una dirección preferente y podría medirse la diferencia de velocidades entre los dos rayos perpendiculares con el interferómetro.

Interferometro Michelson Morley
Interferometro de Michelson-Morley

Dado que no se observó ninguna diferencia de velocidades, lo que fué muy sorprendente para ellos porque estaban convencidos de la existencia del éter, no tuvieron más remedio que aceptar la constancia de la velocidad de la luz para cualquier observador, y demuestra además la inexistencia del éter que todo lo permea.  Conviene observar que son dos descubrimientos separados.

Cómo interpretar el experimento de Michelson-Morley

Que la velocidad de la luz sea constante, así dicho, puede parecer una tontería, pero pensemos que en nuestra vida real NO tenemos experiencias de velocidades constantes para cualquier observador.  Puedo ir por la autopista y adelantar a otro vehículo, al que veré moverse a 10 Km/h mientras adelanto, sin embargo el señor parado en la gasolinera dirá que el vehículo adelantado va a 100 Km/h.  Es decir que la velocidad del DeLorean es diferente para cada observador.

En resumen, a escala humana de velocidades mucho menores que la de la luz, las velocidades dependen del observador y se pueden sumar y restar.  Es lo que se llama modelo de espaciotiempo plano o euclídeo, y es el vigente hasta Einstein.

Relatividad especial 1
Figura 1, forma clásica del movimiento, las velocidades se suman y restan (euclídeo)

Sin embargo para la luz y otros fenómenos que se encontraron después es diferente. Dado que la velocidad de la luz es constante, si yo fuera a adelantar a un coche que viajara a la velocidad de la luz, tanto yo como el señor de parado en la gasolinera estaríamos de acuerdo en que el coche rebasado va precisamente a la velocidad de 300.000 Km/s.

Relatividad Especial, Michelson-Morley
Figura 2, Experimento de Michelson-Morley, no conforme con la Figura 1

Repentinamente se presentó la necesidad de dar una respuesta tanto a la figura 1 como a la figura 2, ya que son hechos experimentales. Pronto se hizo patente que había que revisar los conceptos de espacio, de tiempo ¡o ambos! (porque v=\frac{s}{t}).  Finalmente tuvieron que revisarse ambos, espacio y tiempo, y la fórmula que actualiza estos dos conceptos se llama transformación de Lorentz (1900).

Como consecuencia del cambio en los conceptos de espacio y tiempo, hubo que reformular la velocidad, el momento, la energía, y casi todas las magnitudes físicas. Sin embargo no hay que olvidar que la física clásica es perfectamente válida si la velocidad relativa entre observadores es <<c.

En resumen:  Los efectos relativistas especiales, sólo aparecen cuando existe movimiento relativo entre observadores.

La transformación de velocidades

Veamos antes que nada algunos ejemplos de cómo se transforman las velocidades en la teoría de la relatividad especial.

Ejemplo 1

Llamemos v = 100 Km/h a la velocidad con la que el hombre de la gasolinera ve al DeLorean y u = 90 Km/h a la velocidad con la que me ve a mí. Lorentz descubrió que la velocidad v' con la que yo veo al DeLorean NO es la clásica v'=v-u=10Km/h sino que se obtiene con la fórmula de abajo (tomando como positivas las velocidades hacia la derecha)

v'=\frac{v-u}{1-\frac{uv}{c^2}}=10,000001 Km/h

Ley de transformación de velocidades en relatividad especial

es decir, el DeLorean se aleja un poco más deprisa de lo que yo pensaba.

Ejemplo 2

Llamemos v = 298.010 Km/s a la velocidad con la que el hombre de la gasolinera ve al DeLorean (casi la velocidad de la luz) y u = 298.000 Km/s a la velocidad con la que me ve a mí (casi la misma velocidad).  Como vamos casi a la misma velocidad, según la física clásica yo debería ver, tal como hemos comentado, como el Delorean se aleja a 10 Km/s.

Sin embargo la fórmula de arriba arroja un catastrófico 754 Km/s.  Y es que cuanto más se acerca un cuerpo a la velocidad de la luz, más inalcanzable resulta.

Ejemplo 3

Nótese que finalmente si v=c, es decir que el DeLorean va a la velocidad de la luz, resulta que v'=c para cualquier u.  Da igual a que velocidad vaya mi coche, dado que el DeLorean va a la velocidad de la luz, por mucho que yo corra siempre me parecerá que el DeLorean se aleja a la velocidad de la luz.

Se han presentado estos ejemplos, con la finalidad de crear una intuición en el lector: Cuando un cuerpo se acerca a la velocidad de la luz, algo comienza a suceder con el espacio y el tiempo (y consecuentemente con la velocidad), de tal forma que no podemos alcanzarlo por mucho que nos esforcemos. Este cambio casi indetectable a bajas velocidades, es muy importante a velocidades comparables con la de la luz, y su límite es precisamente la velocidad c.

Por cierto que c es la velocidad de la luz (campo electromagnético), pero también es la velocidad del campo gravitatorio, para el que la primera detección de ondas gravitacionales tuvo lugar en 2015 en el experimento estadounidense LIGO. La velocidad c bien llamada es la velocidad límite universal, y por tanto no puede ser superada por la luz, la gravitación, ni nada conocido. A la velocidad c se le llama por tanto «velocidad de la luz» por motivos históricos.

Geometría del espaciotiempo en relatividad especial

No hay nadie que haya plasmado con mayor genio la geometría del espaciotiempo, con la idea de límite asintótico para la velocidad c, que el artista Holandés M.C. Escher (1898-1972). Vamos a aprovecharnos un poco de él para educar la intuición sobre la velocidad límite c y el estado de reposo para varios observadores.

Relatividad Especial: Escher

En los círculos de arriba se ha comprimido el espacio en un círculo donde la frontera es la velocidad c, y el centro es el estado de reposo. Hay infinitos pájaros representados (observadores). Todos los pájaros creen que están en el centro del círculo (en reposo) porque entre ellos y el borde hay infinitos pájaros más. Todos ellos piensan que los que están más en el borde están realmente más cerca de la velocidad c, sin embargo la distancia que separa a todos ellos del borde es la misma: infinita.

Trasladando la analogía al mundo real en el que vivimos, pensemos que nosotros (rojo) y los habitantes de un planeta remoto en una lejana estrella (verde) nos estamos separando a una fracción importante de la velocidad c, porque el universo está en expansión acelerada. Para nosotros ellos se mueven a una fracción de la velocidad c (los vemos en el borde), pensamos que les faltará menos para poder alcanzar esta velocidad por ejemplo usando un cohete. Para ellos somos nosotros los que nos desplazamos cercanos a la velocidad c (ellos nos ven en el borde). Pero en todos los casos la distancia hasta la frontera c es igualmente inalcanzable: infinita.

La transformación de Lorentz

Una vez vista la ley física que relaciona las velocidades (espacio/tiempo) y que explica el experimento de Michelson-Morley, la pregunta inmediata es la siguiente: ¿y cómo se relacionan en concreto las medidas de distancia y tiempo? Pues bien, la transformación de Lorentz es la respuesta.

Supongamos que un suceso s \equiv (x,y,z,t) es medido en un sistema de referencia (gasolinera). Supongamos que tenemos otro sistema de referencia (mi coche) que se mueve a velocidad u respecto a la gasolinera. Ese mismo suceso s tiene como coordenadas s \equiv (x',y',z',t') y se pueden predecir sus valores:

x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} \qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} \qquad y' = y \qquad z' = z

Transformación de Lorentz

Es decir la relación no es lineal para el espacio, ni es el mismo tiempo. Recordemos que en el cole aprendimos que:

x' = x - ut \qquad t' =t \qquad y' = y \qquad z' = z

Transformación de Galileo

y por simple inspección se aprecia que son equivalentes para velocidades u << c, lo que se llama «en el límite no relativista». Esta transformación de Lorentz es la prometida revisión de los conceptos de espacio y tiempo.

Existe un detalle técnico para que la transformación de Lorentz tenga esta formulación simple. Es necesario poner el tiempo a 0 en los dos sistemas de referencia cuando sus orígenes también coinciden. Además la velocidad debe ser paralela a la distancia que se mide. Si no se toman estas precauciones la transformación de Lorentz es mas complicada y creemos que sale del alcance de este artículo.

Contracción de la longitud

Para entender la contracción de Lorentz, es muy importante definir antes dos conceptos

  • Longitud:  Es la diferencia en el valor de las coordenadas x de los dos extremos de un cuerpo, en un mismo instante.
  • Longitud propia: Es la longitud de un cuerpo medido en un sistema de referencia en reposo o solidario con el mismo.

Vamos en marcha paralelos al DeLorean, medimos la longitud propia del DeLorean y obtenemos L_0=x'_2-x'_1=3 m. ¿Cual es la longitud del Delorean que medirá el señor de la gasolinera? Aplicando la transformación de Lorentz para cada coordenada, y teniendo en cuenta que la longitud desde la gasolinera debe medir la diferencia L=x_2-x_1 al mismo tiempo t_2=t_1

L_0=x'_2-x'_1= \frac{x_2-\cancel{vt_2}-x_1+\cancel{vt}_1}{ \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{L}{ \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}

Así que L_0, la longitud propia, es mayor que la longitud L medida desde un sistema en movimiento. A este efecto que se denomina contracción de Lorentz.

Pasando esto a datos supongamos que mido el DeLorean en las condiciones de arriba, a 100 Km/h, y mide 3 m. Ahora el DeLorean para a repostar, de tal modo que me alejo de él. Usando la fórmula de la contracción de la longitud obtengo que L =2,999999999999990 m, o sea es un poco más corto de lo que yo pensaba.

Buscando un mayor efecto de contracción, cuando yo aumento mi velocidad hasta u = 0,86 c resulta que L =1,5 m, y desde mi punto de vista el DeLorean sólo mide la mitad cuando está aparcado en la gasolinera.

Dilatación del tiempo

Una de las comprobaciones más famosas de la dilatación del tiempo es el experimento de Frisch-Smith (1963) sobre la vida media de los muones (ver el post sobre la cámara de niebla para familiarizarse un poco con los muones).  Descubrieron que a 1907 m de altitud, su contador de muones arrojaba 563 por minuto, e iban a una velocidad aproximada de 0,995c.

Podría predecirse cuál es el número de muones que llegan al nivel del mar.  Se razona de la siguiente forma:  Se estimaba ya un promedio de vida para el muón de \tau=2,2 \mu s.  Por otra parte, el periodo de semidesintegración t_\frac{1}{2}(tiempo en que la población se reduce a la mitad) está relacionado con el promedio de vida por

t_\frac{1}{2}=\tau ln 2

lo que arroja un periodo de semidesintegración de

t_\frac{1}{2}=2,2 \mu s. 0,693=1,38 \mu s

En este tiempo los muones recorren una distancia

d=v.t_\frac{1}{2}=0,995 c. 1,38 \mu s=412 m

con lo que al perder altura el número de muones esperados será la mitad por cada 412m, como en la figura inferior.  Finalmente al nivel del mar se esperarían 25 muones por minuto.

Relatividad especial: Frisch-Smith
Esperimento de Frisch-Smith, conteo de muones no relativista.

La sorpresa llegó cuando en lugar de 25 muones por segundo se detectaron unos 400. ¿Cómo es posible explicar esta discrepancia?. Resulta que la vida media del muón es de \Delta t_\frac{1}{2}= 2,2 \mu s en su propio marco de referencia. Pero nosotros nos movemos a 0.995 c respecto a él. Aplicando la transformación de Lorenz para calcular el la vida media en nuestro marco de referencia t'_\frac{1}{2}, se obtiene

\Delta t'_\frac{1}{2} = \frac{\Delta t _\frac{1}{2}}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}} = \frac{2,2 \mu s}{\sqrt{1 - \frac{ {(0,995c)} ^2}{c^2}}} =22 \mu s

O sea que medido en nuestro mundo la vida media del muón es diez veces mayor. A esta velocidad el efecto relativista es extremo y la distancia media recorrida es 10 veces mayor. Los 400 muones que se detectan al nivel del mar es un resultado acorde con el experimento.

Invariantes relativistas: Intervalo de universo y la cuarta dimensión

En física clásica la distancia es un invariante. Da igual desde dónde y cómo midamos la altura de un árbol, si las medidas están bien realizadas deben coincidir. Sin embargo en relatividad especial ya hemos comentado que la distancia se ve alterada con la velocidad. Por lo tanto según la transformación de Lorentz, la distancia no es un invariante. ¿Es posible encontrar un invariante con dimensiones de longitud en relatividad especial? La respuesta es sí, es el llamado intervalo de universo, o simplemente intervalo: Es una «distancia» \Delta S definida como

(\Delta S)^2=\Delta x^2+ \Delta y^2+ \Delta z^2+( ic\Delta t )^2

El intervalo de universo es una distancia que se mide con el teorema de pitágoras.

que es un invariante para la transformación de Lorentz y no lo es para la transformación de Galileo.

En esta definición de distancia \Delta S, el factor ic\Delta t funciona como una dimensión espacial adicional en el teorema de Pitágoras, que se detalla mas en el artículo sobre el modelo de espacio-tiempo de Minkowski.

La cuarta dimensión en sentido coloquial

El uso coloquial de la expresión «el tiempo es la cuarta dimensión» se justifica por la imagen de la dilatación del tiempo conocida por el gran público: La paradoja de los gemelos, los viajes en el tiempo a la velocidad de la luz de la ciencia ficción, etc. Parece que es posible moverse al futuro al igual que a la derecha, arriba o al frente, lo que conforma una imagen de movimiento en una «dimensión» que es el tiempo.

Pero las magnitudes que contienen el irritante i, como ict no se pueden medir experimentalmente.  Por eso la expresión «el tiempo es la cuarta dimensión» es arriesgada en física si es usada sin matices.

Invariantes relativistas: E=m_0c^2

Como se ha visto en las líneas anteriores, las medidas del espacio y el tiempo para sistemas en movimiento relativo guardan una relación dada por la transformación de Lorentz.

También existe la correspondiente revisión para la Energía de una partícula medida en un sistema en reposo E_0, y su energía medida desde un sistema en movimiento E respecto a ella:

E=\frac{E_0}{ \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} }

Siendo E_0 la energía en reposo de una partícula, invariante ante una transformación de Lorentz. Si se realiza el desarrollo en serie de Taylor con m_0 la masa en reposo

E = \frac{m_0c^2}{ \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} }= m_0c^2\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \cancel {\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2 } + ... \right]

se pueden extraer los siguientes comentarios

  • La energía E tiende a infinito al acercarse la velocidad a c, por ese motivo no es posible superar la velocidad de la luz.
  • Aparece una nueva forma de energía, la energía en reposo E_0, que es la energía que tiene una partícula por el simple hecho de tener masa.  Así se considera la masa una forma condensada de energía.
  • La energía consta de un primer término que es la energía en reposo, y para velocidades pequeñas de un segundo término que equivale a la fórmula de Newton para la energía cinética «en el límite no relativista».

Un poco de software

Esta vez en el apartado de un poco de software, usaremos un programa de matemáticas por ejemplo Microsoft Mathematics, para realizar una gráfica comparativa del aumento de la Energía con la velocidad según Newton y según Einstein.

Usemos un sistema de unidades en el que c=1. Supongamos por simplificar que la masa en reposo es tal que E_0=m_0c^2=1. Tomando en abscisas la velocidad y en ordenadas la energía y representando en

  • Rojo E_0, la energía en reposo
  • Verde los dos primeros términos de la energía, la energía en reposo más la energía cinética clásica.
  • Azul E, la Energía relativista
Relatividad especial energía
En azul la energía relativista, tiende a infinito para v\to c

Se aprecia claramente que a partir de v=0,5c ya empieza a notarse el efecto relativista. Para v=c la energía E tiende a infinito, y la versión clásica es definitivamente incompleta.

Y esto ha sido la introducción a la relatividad especial. Si te ha gustado no te pierdas los artículos sobre Minkowski y cuadrivectores. Como siempre cualquier sugerencia, comentario o corrección son bienvenidos.

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