Mecánica Lagrangiana

Lagrange fué un matemático y físico de origen italiano que vivió en Francia y Prusia en los siglos XVIII y XIX. Aunque su obra es muy extensa se le conoce sobre todo por la reformulación de la mecánica Newtoniana, que fué continuada por Hamilton, a la que se ha llamado genéricamente mecánica lagrangiana.  Trabajó al igual que los físicos coetáneos en la definición de la acción y el principio de acción mínima (aunque éste se ha venido a llamar principio de Hamilton), que es uno de los más bellos de la física. También  es uno de los más empleados tanto en mecánica clásica como cuántica. Expuso las condiciones que deben cumplir los procesos mecánicos basándose en razonamientos energéticos, al contrario que Newton que empleó razonamientos basados en fuerzas. En su enorme tratado

Mécanique Analytique

empleó el cálculo diferencial ya en notación moderna.

Necesidad de una formulación alternativa.

La física de Newton tiene el problema de la dependencia de las ecuaciones del sistema de coordenadas. Sea por ejemplo un sistema con dos grados de libertad. La segunda ley de Newton empleando un sistema de coordenadas cartesiano es

F_x=m\ddot {x} F_y=m\ddot {y}

Pero sin embargo en coordenadas polares es bien diferente

F_\rho=m(\ddot{\rho}-\rho \dot{\theta}^2) F_\theta=m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho \ddot {\theta})

Se buscaba una formulación invariante al sistema de coordenadas elegido.

Definición de lagrangiana.

Para llegar a ésta formulación invariante al sistema de coordenadas, se define una función escalar lagrangiana (o lagrangiano del sistema) que es igual a la energía cinética E_c menos la energía potencial E_p (si las fuerzas derivan de potenciales).

La lagrangiana se calcula en función de las variables que describen los grados de libertad del sistema y sus detivadas respecto del tiempo. Por ejemplo en el tiro parabólico las variables serían el espacio recorrido \vec s y su derivada, la velocidad instantánea \vec v. En el caso de un péndulo las variables serían el ángulo respecto a la vertical \theta, y la velocidad angular \omega. Es normal que las variables dependan del tiempo, y la lagrangiana puede depender del tiempo explícitamente.

Dependiendo del problema las coordenadas serán cartesianas, polares, etc. En general no interesa referirse a unas coordenadas u otras, con lo que se escriben en las llamadas coordenadas generalizadas. Estas coordenadas pueden equivaler a \vec s, \theta, etc. según el problema. Las coordenadas generalizadas se denotan con \mathbf {q} (en negrita para todos los índices), o bien q_i si se usa el subíndice para referirse a un conjunto de ellas. Se denotan como \mathbf {\dot{q}} o \dot{q_i} las primeras derivadas de las coordenadas generalizadas respecto del tiempo o velocidades generalizadas. Se denotan con \mathbf {\ddot{q}} o \ddot{q_i} las segundas derivadas de las coordenadas generalizadas respecto del tiempo, etc.

En resumen, en este caso la lagrangiana tiene dimensiones de energía (cinética menos potencial) y vale

\mathcal{L} = E_c - E_p

Lagrangiana

Para que se cumpla lo de arriba las ligaduras no pueden depender del tiempo, y las fuerzas deben derivarse de potenciales, pero profundizar en estos detalles sale del propósito de este articulito, con lo que pido perdón por presentar este resultado así directamente. Para indicar que la lagrangiana depende de las coordenadas generalizadas \mathbf{q} , de sus derivadas respecto del tiempo \dot{\mathbf{q}}(t), y del tiempo propiamente dicho se suele escribir así

\mathcal L({q_i}(t),\dot{{q_i}}(t),t)

o bien

\mathcal L({\mathbf q}(t),{\mathbf {\dot{q}}}(t),t)

Definición de acción en mecánica clásica.

La interpretación física de la acción se da por supuesta en ámbitos de la física profesional. Pero si un físico profundiza en el concepto en su intimidad, es posible que no llegue a poder explicarse con seguridad y claridad todas las implicaciones del concepto de acción, que aparece bajo distintas formas en mecánica clásica, electromagnetismo, relativista y cuántica. La acción se postula mínima en un proceso de mecánica clásica.

Accion mínima en mecánica lagrangiana
La trayectoria que seguirá la pelota será la que minimice la cantidad acción, posiblemente la S_2 si la gravedad apunta hacia abajo.

La acción S se define como la integral respecto del tiempo de la lagrangiana, así que es una magnitud cuyo valor es un número con dimensiones de energía por tiempo .

S( \mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\ dt

El objeto matemático de arriba puede parecer un tanto raro, se trata de un funcional. No es una función real de variable real, o compleja de variable compleja. En este caso S es una entidad que toma como parámetro funciones del tiempo como \mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t) y entrega un resultado \in \mathbb R.

El cálculo sobre funcionales se estableció en el denominado cálculo variacional, que fué co-inventado por Lagrange, Euler y otros científicos y matemáticos de los siglos XVIII y XIX. El cálculo variacional no es en absoluto el objeto de este post, pero se van a emplear sus resultados.

Ecuaciones de Euler-Lagrange.

Se postula que la acción es mínima a lo largo de un proceso mecánico, y por tanto la derivada de la integral de acción (de la acción) debe valer cero ya que estamos en un mínimo. O lo que es lo mismo, debe cumplirse que

{d\over dt }(S( \mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)) = {d\over dt }( \int_{t_1}^{t_2} \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)\ dt)=0

Principio de mínima acción.

La importancia de esta ley es comparable a la importancia de la ley de conservación de la energía. Siguiendo la pista de la acción mínima se puede resolver un problema sin conocer las fuerzas que actuan en el interior del sistema que se está estudiando. Estas fuerzas pueden ser además imposibles de conocer en detalle, y en ocasiones ni siquiera son interesantes.

Fijarse en que para el principio de mínima acción la derivada es nula, así que su solución matemática serán máximos, mínimos, puntos silla, etc. Sin embargo se postula que la acción en un caso real debe corresponder un mínimo.

Empleando el cálculo variacional, se puede demostrar que el principio de mínima acción se satisface si se satisface(n) la(s) ecuacion(es) de abajo, llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange. La cuestión del posible plural proviene de que el número de grados de libertad del sistema que puede ser 1, 2, 3, … Depende de que las coordenadas generalizadas sean una, por ejemplo \theta para el péndulo, o el par de coordenadas x e y para un tiro parabólico en dos dimensiones, seis para algún sistema de dos cuerpos libres en el espacio (bien en coordenadas cartesianas, polares o cilíndricas serían 6 grados de libertad), etc.

\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) }{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t) }{\partial q_i} = 0

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Cada velocidad generalizada debe tratarse como una variable independiente a la hora de derivar la lagrangiana. A esta operación se le denomina derivar formalmente la lagrangiana.  Este hecho de realizar la derivada formal, aunque facilita los cálculos, es difícil de asimilar.  Tiene más sentido viendo la interpretación geométrica de la lagrangiana, pero no es necesario leer el siguiente apartado si lo que se desea es pasar directamente a resolver problemas.

Interpretación geométrica de la lagrangiana.

Sea un sistema de partículas que se describa con N coordenadas generalizadas. Se puede definir como espacio de configuración \mathcal C al espacio N-dimensional tal que:

  • Cada uno de sus puntos corresponde con el valor concreto de cada una de las N coordenadas en un instante del tiempo. No informa sobre la dirección del movimiento.
  • Un sistema en movimiento describirá una curva en \mathcal C, que estará determinada por las leyes de la física.

La lagrangiana es la función única que describe todas las leyes de la física y cumple que:

  • Por sorprendente que pueda parecer, toda la evolución cinemática en el espacio de configuración está incluída en una única función lagrangiana aunque el sistema esté formado por multitud de partículas.
  • No existe un sistema de coordenas privilegiado para definir la lagrangiana. Lógicamente en algunos sistemas de coordenadas el problema se resolverá más fácilmente que en otros.
  • La lagrangiana depende tanto de las coordenadas ( \mathcal C ), como de las velocidades (derivadas de \mathcal C que son por definición tangentes a la variedad \mathcal C ). La lagrangiana es por tanto una función que se define sobre el fibrado tangente T(\mathcal C) del espacio de configuración \mathcal C: Los puntos de T(\mathcal C) están formados por puntos de \mathcal C unidos a vectores tangentes a \mathcal C. T(\mathcal C) es por tanto una variedad 2N dimensional. Se puede ampliar información sobre espacios tangentes en la entrada operador derivada direccional.

La trayectoria que sigue un sistema en el espacio de configuracion \mathcal C cumple además que la acción es mínima.  En este sentido se puede decir que dicha trayectoria es una geodésica en \mathcal C definiendo como distancia en \mathcal C  la acción S .

Ejemplo de tiro parabólico.

Recuperando el ejemplo que se ha presentado en el apartado de Newton, supóngase que se lanza una pelota a 45º de inclinación. Se desea calcular su movimiento en el tiempo, es decir su cinemática. Se trata de calcular la lagrangiana, y como hay dos grados de libertad independientes x e y que son las componentes del vector de posición \vec s, habrá que resolver dos ecuaciones de Euler-Lagrange.

Newton Tiro Parabolico
Tiro parabólico

La lagrangiana es la energía cinética menos la potencial, ya que la fuerza depende del potencial gravitatorio y las ligaduras no dependen del tiempo, ya que en este caso la partícula es libre y no hay ligaduras, entonces

\mathcal{L} = \underbrace{\frac{1}{2}m\mid \vec v \mid^2}_{E_c}-\underbrace{mgy}_{E_p}

que tomando las componentes de la velocidad queda

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)-mgy

o bien escribiéndolo en la notacion con punto

\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(\dot {x}^2+\dot {y}^2)-mgy

Esta sería la función Lagrangiana

Ahora hay que resolver dos ecuaciones de Euler-Lagrange, una para cada coordenada.  No hay que olvidar que como se ha comentado antes la derivación debe ser formal.  La correspondiente a la coordenada x se puede calcular como sigue

{d\over dt }\left( {\partial \mathcal L\over\partial\dot{x}}\right ) -{\partial \mathcal L\over\partial x}=0 {d\over dt }\left( {\frac{1}{2}m2 \dot{x}}\right )-0=0 m \dot{x} =cte. v_x =cte.

Que es la primera ley de Newton para el eje X.

La ecuación correspondiente a la coordenada y se puede calcular así

{d\over dt }\left( {\partial \mathcal L\over\partial\dot{y}}\right ) -{\partial \mathcal L\over\partial y}=0 {d\over dt }\left( {\frac{1}{2}m2 \dot{y}}\right )-mg=0 \ddot{y}=g

Que es la segunda ley de Newton para el movimiento acelerado en el eje Y.

Con lo que se demuestra que la mecánica Lagrangiana equivale a la de Newton en este caso.  Para terminar de resolver el problema se puede mirar en el mismo ejemplo expuesto en el artículo de física Newtoniana en este mismo sitio aquí.

Ejemplo con el péndulo simple.

Se desea calcular la cinemática de un péndulo simple. En este caso es claro que solo tiene un grado de libertad, que es el ángulo del péndulo respecto de la vertical \theta. Conociendo este ángulo para cualquier instante se tiene el problema resuelto.

La función lagrangiana es la energía cinética menos la potencial, ya que la fuerza gravitatoria depende del potencial gravitatorio, y las ligaduras no dependen del tiempo, o sea que el brazo del péndulo se considerará rígido en este caso.

NOTA: Si el brazo del péndulo se deformara pero no como un muelle elástico (su potencial sería del tipo \frac{1}{2}kx^2) sino como un material con pérdidas de energía, no se podría realizar la afirmación de que la lagrangiana es la diferencia de energías.

Sean I el momento de inercia y \omega la velocidad angular, o sea \dot{\theta}. Teniendo en cuenta que el centro de coordenadas está en el techo, se tiene que

E_c=\frac{1}{2}I\omega^2= \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 E_p=-mglcos(\theta) \mathcal{L} =\underbrace{ \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2}_{E_c} + \underbrace{mgl\cos(\theta)}_{E_p }

Esta sería la función lagrangiana

Ahora se resuelve la única ecuación de Euler-Lagrange para el único grado de libertad \theta

{d\over dt }\left( {\partial \mathcal L\over\partial\dot{\theta}}\right ) -{\partial \mathcal L\over\partial \theta}=0 ml^2\ddot{\theta}+mglsen(\theta)=0

¡Anda! si no es lineal.  Pero al menos para pequeños ángulos podemos aproximar sen(\theta)=\theta y limpiar m y una l

l\ddot{\theta}+g\theta=0

Cuya solución es una función periódica sinusoidal

\theta=Acos({\omega}t+\phi)

con \omega = \sqrt{g \over l}

¡Siendo la frecuencia independiente de A, la amplitud angular de la oscilación, \phi la fase inicial y la masa! lo que permite fabricar relojes de péndulo sin preocuparse del material con el que se construye. Curiosamente sin embargo un péndulo no bate igual al nivel del mar que en lo alto de una montaña (varía la g, y los fabricantes lo solucionan permitiendo subir o bajar la lenteja con un tornillito, lo que ajusta el otro único parámetro que puede afectar l, la longitud del brazo).

La solución del caso no lineal es muy interesante, pero se sale del ámbito de este artículo acerca de Lagrange, la acción, el principio de mínima accion y las ecuaciones de Euler-Lagrange, así que este post termina aquí. Para saber más de mecánica no dejes de visitar la entrada Mecánica Hamiltoniana.

Espero haber aclarado el concepto de acción en mecánica clásica, y que al que lo lea le haya servido para algo. Como siempre cualquier comentario o sugerencia son bienvenidos.

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